Следствие из Утверждения 5
Пусть сумматорная арифметическая функция имеет асимптотику:

,
где

, а арифметическая функция

- ограничена.
Тогда предельное распределение сумматорной арифметической функции функции

является нормальным.
Доказательство приводить не буду, так как статья еще не опубликована. Только намекну.
Условие Утверждения 5 об ограниченности арифметической функции

выполнены, а условие асимптотики
математических ожиданий получается, если разделить асимптотику для

на

.
Это некоторый аналог центральной предельной теоремы для суммы независимых одинаково распределенных случайных величин.
Вспомним из темы "Асимптотическая независимость слагаемых арифметических функций", что из оценки
вытекала асимптотическая независимость слагаемых арифметических функций

и соответственно квази
асимптотическая независимость соответствующих случайных величин, а из ограниченности этих функций вытекает ограниченность
математических ожиданий и дисперсий соответствующих случайных величин. Одинаковой распределенности слагаемых в полной мере нет,
но это компенсируется малостью отличия их математических ожиданий.
Поясню использование следствия на примере.
Асимптотика сумматорной функции равна:

, где

- постоянная.
Проверим выполнение условий следствия.
Арифметическая функция

- ограничена сверху

.

.
Таким образом, для указанной сумматорной функции все условия следствия выполнены.
-- 22.11.2018, 17:30 --счетная аддитивность выполняется в данном конкретном случае
Доказательства не вижу.
Занимаюсь этим.