Никому не охота посмотреть на креатиффчеГ?

[pogulyat_vyshel]

Про теорему Нетер, кстати, следовало бы написать как следует. Ну то есть в таком порядке: сперва понять ,что это такое, а уж потом писать. В частности, вот это на стр 14

Цитата:

Само выражение
∂L
∂t
=0
нам не дало ничего конкретного, поэтому посчитаем для разнообразия полную производную
лагранжиана по времени, куда входит и эта частная производная

очень наивно выглядит. Разберитесь как из теоремы Нетер выводится интеграл энергии.

[

[madschumacher]

Извиняюсь за долгое молчание. Потихоньку пытаюсь разобраться с замечаниями.

amon в сообщении #1334028 писал(а):

Инвариантным должно быть действие, а не функция Лагранжа.

Я заглянул в Арнольда и в Голдстейна: в обоих источником инварианта идёт лагранжиан, а о действии вообще нигде не упоминается. Где конкретно можно найти про действие в классмехе?

amon в сообщении #1334028 писал(а):

Про энергию - пурга,

Да, конечно, это пурга. Я пытался хоть из каких-то соображений, не требующих более высоких материй, вывести ЗСЭ. Можно ли этот вывод хотя бы формально поправить, не претендуя на сверхточность, или лучше не стоит?

pogulyat_vyshel в сообщении #1334304 писал(а):

Первая строчка в формуле (2.1) не имеет смысла. Какой еще интеграл по контуру от функции?

Спасибо! Совершенно всё забыл. Спасибо!

pogulyat_vyshel в сообщении #1334304 писал(а):

Вторая строчка -- это свойство гладких функций.

А разве это не одно из требований к потенциалу? Эквивалентное тому, что ротор дивергенции потенциала -- это ноль?

pogulyat_vyshel в сообщении #1334304 писал(а):

оскомину уже набила эта "минимальность"

Зато просто, и полезно для дальнейшего использования, скажем, в квантмехе. Неужели это настолько плохо, что вообще нельзя использовать ни под каким предлогом, даже с дисклеймером о приблизительности рассуждений?

pogulyat_vyshel в сообщении #1334304 писал(а):

всевозможные не можем, можем только с определенными краевыми условиями

а как называются применённые условия?

pogulyat_vyshel в сообщении #1334304 писал(а):

это чепуха,

А что конкретно? то что они малые, или то, что они произвольные?

pogulyat_vyshel в сообщении #1334304 писал(а):

ни как из ваших рассуждений не следует

А там же есть краевые условия на $\delta q $ в тексте, что на краях -- это ноль?

pogulyat_vyshel в сообщении #1334938 писал(а):

Разберитесь как из теоремы Нетер выводится интеграл энергии.

Я бы честно говоря, скорее отказался бы от вывода ЗСЭ, или заменил бы его дешёвым суррогатом, чем давал бы тот аппарат, что для этого применяется в том же Голдстейне. Ведь, к сожалению для меня, и к счастью для других -- это не основная тема данного pulp fiction.

[Red_Herring]

madschumacher в сообщении #1336176 писал(а):

Зато просто, и полезно для дальнейшего использования, скажем, в квантмехе.

А принцип стационарного действия еще проще, не менее полезно и к тому же верен.

[madschumacher]

Red_Herring в сообщении #1336184 писал(а):

А принцип стационарного действия еще проще, не менее полезно и к тому же верен.

Но ведь они ничем не отличаются по формулировке? Просто заменой слов, что это не минимум (поскольку мы на экстремальность не делаем проверки)?

[amon]

madschumacher в сообщении #1336176 писал(а):

в обоих источником инварианта идёт лагранжиан, а о действии вообще нигде не упоминается. Где конкретно можно найти про действие в классмехе?

Я бы как-нибудь так это построил (математики, закройте глаза). Пусть наша система устроена так, что в ней ничего не меняется при некоторых непрерывных преобразованиях. Например, ничего не зависит от выбора начала отсчета координат или ориентации осей и т.п. Пусть эти преобразования для начала не затрагивают время. Поскольку такое преобразование координат ничего в механике не меняет, то не должны меняться и уравнения движения. Посмотрим на это дело с точки зрения принципа наименьшего действия. Уравнения движения получаются как точка стационарности функционала $S[q]=\int\limits_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt.$ Сдвинем $q_0$ (классическую траекторию, удовлетворяющую уравнению Эйлера-Лагранжа) таким преобразованием (для трансляционной инвариантности, например, сдвинем начало отсчета $q_0\to q_0+\delta q$). С одной стороны, функционал действия не должен поменяться, с другой стороны, вылезет внеинтегральный член $\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q\rvert^{t_2}_{t_1}.$ Поскольку действие поменяться не должно, и времена $t_1$ и $t_2$ произвольны, то $\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q=\operatorname{const}.$ Дальше, выражая $\delta q$ через параметры группы инвариантности получаем разные законы сохранения. Вы это наверняка и без меня знаете, но я хотел подчеркнуть, что сохраняющаяся величина получается как вариация действия. При этом "концы" не фиксируются, и результат сидит во внеинтегральном члене.

В случае, когда преобразование затрагивает и время, дело становится сложнее, поскольку добавляется вариация траектории за счет сдвига их концов. Подробности есть, например, у В.И. Смирнова в Курсе высшей математики под названием "общая форма первой вариации". Так можно вывести закон сохранения энергии. Правда, ЛЛ этим заморачиваться не стали, видимо посчитав, что это слишком сложно.

[Red_Herring]

madschumacher в сообщении #1336189 писал(а):

Но ведь они ничем не отличаются по формулировке? Просто заменой слов, что это не минимум (поскольку мы на экстремальность не делаем проверки)?

Ну так зачем называть неправильно? Т.б. что есть вполне конкретные задачи (например, нахождение устойчивого равновесия), где ищется именно минимум потенциальной энергии.

[pogulyat_vyshel]

madschumacher в сообщении #1336176 писал(а):

Я заглянул в Арнольда и в Голдстейна: в обоих источником инварианта идёт лагранжиан, а о действии вообще нигде не упоминается. Где конкретно можно найти про действие в классмехе?

У Арнольда интеграл энергии выводится из теоремы Нетер.
А теорема Нетер во всей полноте и общности это уже Олвер Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, но это, конечно, избыточно для ваших целей.
В вашем выводе закона сохранения энергии как таковом, я ничего криминального не увидел

madschumacher в сообщении #1336176 писал(а):

дивергенции потенциала

что за дивергенция от функции?

madschumacher в сообщении #1336176 писал(а):

а как называются применённые условия?

Вы просто прочитайте как это делается либо у Арнольда в мат.методах, либо, действительно в 4 томе Смирнова. Последнее мне нравится больше.

madschumacher в сообщении #1336176 писал(а):

А там же есть краевые условия на $\delta q $ в тексте, что на краях -- это ноль?

у вас этого не написано, у вас написано, что $\delta q$ равны на краях. И то что они на краях ноль это тоже не из воздуха берется. Читайте Смирнова

madschumacher в сообщении #1336176 писал(а):

А что конкретно? то что они малые, или то, что они произвольные?

весь ход рассуждений никуда не годится. Легче всего разобраться по Смирнову

[Munin]

madschumacher в сообщении #1336176 писал(а):

А разве это не одно из требований к потенциалу? Эквивалентное тому, что ротор дивергенции потенциала -- это ноль?

Давайте не путать.

--------------------------------

0.

Разумеется, не дивергенции, а градиента.

--------------------------------

1.

Если у нас есть скалярная функция $\varphi,$ то для неё всегда будет выполнено (если есть нужная дифференцируемость), что

$$\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=0,$$

(что в координатах записывается как)

что в координатах записывается как

$$\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x\,\partial y}-\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial y\,\partial x}=0,\quad\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial z\,\partial x}-\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x\,\partial z}=0,\quad\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial y\,\partial z}-\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial z\,\partial y}=0$$

(первое равенство в 2-мерном случае, остальные два - в 3-мерном).

Никаких дополнительных условий для этого накладывать не надо, делать это просто бессмысленно.

--------------------------------

2.

Если у нас нет ещё скалярной функции $\varphi,$ но есть векторная функция $\mathbf{a},$ которую мы подозреваем в том, что она может быть потенциальным векторным полем, то для неё надо потребовать выполнения

$$\operatorname{rot}\mathbf{a}=0,$$

(что в координатах записывается как)

что в координатах записывается как

$$\dfrac{\partial a_y}{\partial x}-\dfrac{\partial a_x}{\partial y}=0,\quad\dfrac{\partial a_x}{\partial z}-\dfrac{\partial a_z}{\partial x}=0,\quad\dfrac{\partial a_z}{\partial y}-\dfrac{\partial a_y}{\partial z}=0$$

(опять же, я их переставил так, что первое равенство нужно в 2-мерном случае, остальные два - в 3-мерном).

Только после этого можно ввести такую функцию $\varphi,$ что

$$\mathbf{a}=\operatorname{grad}\varphi,\qquad\varphi=\int\limits_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}}\mathbf{a}\,d\boldsymbol{\ell}+C,$$

(в координатах)

в координатах

$$a_x=\dfrac{\partial\varphi}{\partial x},\quad a_y=\dfrac{\partial\varphi}{\partial y},\quad a_z=\dfrac{\partial\varphi}{\partial z},\qquad\varphi=\int\limits_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}}(a_x\,dx+a_y\,dy+a_z\,dz)+C.$$

(Во всё это дело физики любят куда-нибудь залепить минус, а для математиков это не принципиально.) Теперь опять же, эти выражения можно подставить в требование $\operatorname{rot}\mathbf{a}=0,$ но смысла нет: оно выполнится автоматически. Вопрос здесь именно в существовании такой функции $\varphi,$ для чего именно векторное поле должно удовлетворять условию потенциальности.

--------------------------------

Замечание: условие

$$\varphi=\int\limits_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}}\mathbf{a}\,d\boldsymbol{\ell}+C\qquad\textit{влечёт за собой}\qquad\oint\mathbf{a}\,d\boldsymbol{\ell}=0,$$

но не в обратную сторону, потому что в последнем утверждении даже никакой буквы $\varphi$ не фигурирует. Опять же, в него можно подставить $\mathbf{a}=\operatorname{grad}\varphi,$ но бессмысленно, поскольку утверждение

$$\oint\operatorname{grad}\varphi\,\,d\boldsymbol{\ell}=0$$

выполняется в векторном анализе тождественно (автоматически).

-- 03.09.2018 11:17:49 --

Munin в сообщении #1336301 писал(а):

Только после этого можно ввести такую функцию $\varphi,$ что

$$\mathbf{a}=\operatorname{grad}\varphi,\,\,(1)\qquad\varphi=\int\limits_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}}\mathbf{a}\,d\boldsymbol{\ell}+C,\,\,(2)$$

Именно это можно считать определением потенциала. А более точно:

(1) - это условие, которому должна удовлетворять функция потенциала,
(2) - это чему фактически эта функция будет равна - в том числе практический способ её вычисления при известной векторной функции $\mathbf{a}.$

Занудно: "существует такая (не единственная!) функция $\varphi$, которая удовлетворяет (1), и для этой функции справедливо (2)".

Условия единственности потенциала сложнее. В некоторой связной области пространства $\mathcal{D}$ можно зафиксировать потенциал в некоторой точке $\varphi(\mathbf{r}_0),$ приравняв его любому числу. И тогда в этой области потенциал будет единственным (если вообще существует). Если у нас несколько не связных между собой областей пространства, то в каждой из них потенциал надо фиксировать отдельно.

[Slav-27]

madschumacher в сообщении #1336176 писал(а):

amon в сообщении #1334028 писал(а):

Инвариантным должно быть действие, а не функция Лагранжа.

Я заглянул в Арнольда и в Голдстейна: в обоих источником инварианта идёт лагранжиан, а о действии вообще нигде не упоминается. Где конкретно можно найти про действие в классмехе?

Посмотрите Gelfand, Fomin. Calculus of variations, страницу 81. Там теорема Нётер сформулирована максимально близко к тому, что обычно пишут в учебниках по механике, но математически корректно и при этом без всяких хитрых математических понятий. (Надо брать именно американское издание под редакцией Silverman'а: оно ощутимо улучшено сравнительно с советским.)

-- 03.09.2018, 17:29 --

madschumacher в сообщении #1336176 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1334304 писал(а):

оскомину уже набила эта "минимальность"

Зато просто, и полезно для дальнейшего использования, скажем, в квантмехе. Неужели это настолько плохо, что вообще нельзя использовать ни под каким предлогом, даже с дисклеймером о приблизительности рассуждений?

Чтобы проверить экстремальность, надо проверить, что зануляется 1-я вариация. Проверять минимальность бывает значительно сложнее, потому что минимум -- это экстремум, но не всякий экстремум -- минимум. Так зачем говорить про минимальность? А где в квантмехе требуется именно мнимальность действия?

[pogulyat_vyshel]

Ладно, напишем, что такое теорема Нетер. Все буду писать конспективно, с расчетом на дальнейшее продумывание этого ТС


И так имеется лагранжева система $L=L(x,\dot x)$, где $x=(x^1,\ldots,x^m)$ -- локальные координаты на конфигурационном многообразии $M$, или как принято говорить в механике обобщенные координаты. Предположим, на $M$ задана однопараметрическая группа диффеоморфизмов $x\mapsto g^s(x)=(g^{1s},\ldots,g^{ms})^T(x)$. Эта группа порождена векторным полем $v=v(x)$. Это значит, что

$$\frac{d}{ds}g^s(x)=v(g^s(x)),\quad g^0(x)=x.$$

По определению, $g^s$ это группа симметрий лагранжевой системы, если для всех $s$ верно равенство

$$L\Big(g^s(x),\frac{\partial g^{s}(x)}{\partial x^i}\dot x^i\Big)=L(x,\dot x).\qquad (1)$$

Ровно это и означает, что лагранжиан не меняется при действии этой группы.

Теорема Нетер. Если $g^s$ -- группа симметрий, то система имеет первый интеграл

$$F(x,\dot x)=\frac{\partial L}{\partial \dot x^k}v^k.$$

Доказывается эта теорема лобовым вычислением: $\dot F=...=0$. С использованием уравнений Лагранжа и формулы (1) продифференцированной по $s$ в нуле:

$$\frac{\partial L}{\partial x^k}v^k+\frac{\partial L}{\partial \dot x^k}\frac{\partial v^k}{\partial x^i}\dot x^i=0.$$

Задача. Доказать, что группа симметрий переводит решение уравнений Лагранжа в решение.

Теперь об интеграле энергии.

У нас есть вариационный принцип:

$$\delta\int_{t_1}^{t_2}L(x,\dot x)dt=0$$

делаем замену времени:
$t=\psi(\tau)$: штрихами я дальше буду обозначать производные по $\tau$ (а точками, как всегда обозначены производные по $t$)
И так

$$\delta\int_{\tau_1}^{\tau_2}L\Big(x,\frac{x'}{\psi'}\Big)\psi' d\tau=0.$$

Другими словами, мы получили новый лагранжиан от переменных $y=(y^1,\ldots, y^m,y^{m+1})$.

$$y^i=x^i,\quad i\le m;\qquad y^{m+1}=\psi,\quad \tilde L=(y^{m+1})'L\big(y^1,\ldots,y^m,(y^1)'/(y^{m+1})',\ldots,(y^m)'/(y^{m+1})'\big) $$

Этот лагранжиан обладает группой симметрий $(y^1,\ldots,y^{m+1})\mapsto (y^1,\ldots,y^{m+1}+s)$. Именно эта группа и дает интеграл энергии по теореме Нетер.

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1336407 писал(а):

Предположим, на $M$ задана однопараметрическая группа диффеоморфизмов

Можно ли здесь и везде ниже заменить диффеоморфизмы на гладкие отображения? (Группу на семейство (моноид).)

[pogulyat_vyshel]

Если хочется так по-простому объяснить что такое уравнения Лагранжа, то принцип Гамильтона тут уж совсем не подходит. Потому, что выглядит совершенно высосанным из пальца, ну или снятым с потолка. А объяснять можно так.
Пусть у нас точка массы $m$ движется по поверхности, которая задана параметрически: $\boldsymbol r=\boldsymbol r(u^1,u^2)$. Соответственно, $u^1,u^2$ -- локальные координаты поверхности,

$$\boldsymbol e_i=\frac{\partial \boldsymbol r}{\partial u^i}$$

-- базисные векторы в касательной плоскости. (Тут предполагается, что зависимость $\boldsymbol r(u^1,u^2)$ такова, что эти векторы линейно независимы во всех точках поверхности)
На точку действует какая-то сила $\boldsymbol F$. Тогда, как известно, $m\boldsymbol a=\boldsymbol F$. А теперь (и это проверяется прямым вычислением) заметим, что из написанного второго закона Ньютона вытекает следующее:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot u^i}-\frac{\partial T}{\partial u^i}=(\boldsymbol F,\boldsymbol e_i),\quad T=\frac{1}{2}m|\boldsymbol{\dot r}|^2,\quad i=1,2.\qquad (*)$$

Из этих уравнений видно, что составляющая силы $\boldsymbol F$, которая перпендикулярна поверхности в уравнения ни какого вклада не вносит. Выражния $Q_i=(\boldsymbol F,\boldsymbol e_i)$ называются обобщенными силами. Если дифференциальная форма $\omega=Q_idu^i$ точна: $\omega=-dV,\quad V=V(u^1,u^2)$ , то уравнение (*) переписывается в виде

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot u^i}-\frac{\partial L}{\partial u^i}=0,\quad L=T-V.$$

А дальше произносится заклинание (но это правда): а в многомерном случае картина аналогична.

[madschumacher]

Добрый вечер Всем.

Презентую очередную версию креатиффа:
https://yadi.sk/i/PKiZEIwNj1ZBwA
К сожалению, не на каждый косяк была предпринята попытка исправления...

pogulyat_vyshel, прошу прощения, счёл теорему Нётер в полном формате несколько сложной темой для ЦА.
Osmiy, раскомментировал бОльшую часть оглавления.

[Munin]

У вас есть версия с выделенными исправлениями, чтобы не читать по второму разу всё целиком? Там достаточно много.

[Osmiy]

madschumacher в сообщении #1349145 писал(а):

Osmiy, раскомментировал бОльшую часть оглавления.

Спасибо! Вроде книга полезная, буду ждать выхода полной версии.