2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение18.04.2018, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3645
ФТИ им. Иоффе СПб
Red_Herring в сообщении #1305417 писал(а):
Математическую теорию таких уравнений начал изучать Торстен Карлеман, такие уравнения появляются при изучении разреженного газа
А у меня такое (наверно, неправильное) впечатление, что всякие математическо-существовательно-едиственные свойства уравнения Больцмана по крайней мере не уступают таковым для Навье-Стокса, поскольку Навье-Стокс это Больцман в гидродинамическом пределе. Но про всякие премии за доказательства чего-либо для уравнения Больцмана я не слышал. Возможно, что интерес к этому уравнению у математиков отбил Пуанкаре, который кинетику объявил лженаукой (не без оснований), а Больцмана - фриком.

 i  Eule_A: Выделено из темы «Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема».

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение18.04.2018, 22:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8775
Hogtown
amon в сообщении #1305420 писал(а):
А у меня такое (наверно, неправильное) впечатление, что всякие математическо-существовательно-едиственные свойства уравнения Больцмана по крайней мере не уступают таковым для Навье-Стокса,
Только такие теоремы для Н-С начали появляться тоже не то чтобы совсем давно (О.А.Ладыженская). А Карлеман написал свою работу в 1933
amon в сообщении #1305420 писал(а):
поскольку Навье-Стокс это Больцман в гидродинамическом пределе.
Только этот предельный переход обосновать нужно. И это очень нетривиальная математическая задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение19.04.2018, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68356
amon в сообщении #1305420 писал(а):
кинетику объявил лженаукой (не без оснований)

Я понимаю, что офтопик, но что за основания?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение19.04.2018, 03:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5420
amon в сообщении #1305420 писал(а):
Но про всякие премии за доказательства чего-либо для уравнения Больцмана я не слышал.


https://en.wikipedia.org/wiki/Cedric_Villani

Цитата:
Villani received the Fields Medal for his work on Landau damping and the Boltzmann equation.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение19.04.2018, 11:07 
Аватара пользователя


31/08/17
10/04/19
1366
Red_Herring в сообщении #1305424 писал(а):
amon в сообщении #1305420

писал(а):
А у меня такое (наверно, неправильное) впечатление, что всякие математическо-существовательно-едиственные свойства уравнения Больцмана по крайней мере не уступают таковым для Навье-Стокса, Только такие теоремы для Н-С начали появляться тоже не то чтобы совсем давно (О.А.Ладыженская). А Карлеман написал свою работу в 1933


Но ведь первую теорему существования для Навье-Стокса доказал Лере тоже в районе 1933. Слабые решения, единственность не доказана.
В этом смысле воз и ныне там, в 3D по крайней мере. Кстати, почему-то всегда вспоминают про Навье-Стокса, а ведь с уравнением Эйлера таже ситуация

-- 19.04.2018, 12:14 --

кажется я офтопить начинаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение19.04.2018, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8775
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1305480 писал(а):
Слабые решения, единственность не доказана.
Уже вроде доказана неединственность слабых решений https://dxdy.ru/topic126078.html (надо аккуратно посмотреть--каких)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение19.04.2018, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3645
ФТИ им. Иоффе СПб
g______d, спасибо! Развеяли темноту и невежество.
Munin в сообщении #1305438 писал(а):
что за основания?
Те самые, что указал Red_Herring перед Вашим сообщением - доказывать надо. А у Больцмана в работах на месте доказательств часто стояли длинные словесные рассуждения, видимо и взбесившие Пуанкаре. Точно не помню, но по моему, последний придумал точно решаемую модель (одномерный газ), частично опровергавшую рассуждения Больцмана. Однако, по прошествии времени в физике фамилия Больцман встречается не реже, а может и чаще фамилии Пуанкаре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение19.04.2018, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68356
amon в сообщении #1305541 писал(а):
доказывать надо

Простите, доказывать что? Одно дело - доказательство связи с Навье-Стоксом, и совсем другое - объявление кинетики "лженаукой" самой по себе.

Впрочем, как я понял, вашу фразу следует читать так: "у Пуанкаре основания были, но в сегодняшней физике они основаниями больше не являются". Я вспомнил, что на тот момент, конец 19 - начало 20 века, даже существование атомов было не окончательно доказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение19.04.2018, 15:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3645
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1305564 писал(а):
Впрочем, как я понял, вашу фразу следует читать так: "у Пуанкаре основания были, но в сегодняшней физике они основаниями больше не являются".
Я бы чуть осторожнее сказал. Сейчас появилось понимание того, что дело это (вывод уравнений кинетики) непростое, и что сами уравнения подтверждаются экспериментом (во времена Пуанкаре такой уверенности не было, уравнение Больцмана научились решать где-то в 20-х годах).

-- 19.04.2018, 15:54 --

Основное возражение Пуанкаре заключалось в том, что из Т-инвариантных уравнений механики невозможно никакими строгими манипуляциями получить Т-неинвариантное уравнение Больцмана. Этот аргумент не закрыт до сих пор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение19.04.2018, 17:13 
Аватара пользователя


31/08/17
10/04/19
1366
Red_Herring в сообщении #1305530 писал(а):
Уже вроде доказана неединственность слабых решений

по-моему они рассматривают более слабые решения, чем у Лере, у Лере решение при почти всех $t$ принадлежит $H^1$, а у них еще слабее.Впрочем я дальше определения 1 не смотрел

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение19.04.2018, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68356
amon в сообщении #1305569 писал(а):
сами уравнения подтверждаются экспериментом

Я об этом же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение19.04.2018, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5457
amon в сообщении #1305569 писал(а):
Этот аргумент не закрыт до сих пор.
Вот уж от вас не ожидал. Он давно закрыт и я как раз в ближайшее время (примерно завтра) собираюсь написать как. Но если вкратце, то этот аргумент означает лишь, что 1) уравнение Больцмана не может выполняться всегда, что не мешает ему быть верным для $t \ll t_\text{Возвращения}$, 2) уравнение Больцмана не может быть справедливо для любой траектории. Ни то, ни другое никак не ограничивает применимость кинетического уравнения в физике, так как возраст вселенной мал по сравнению с временем возвращения, и не любая возможная траектория в ней (Вселенной) реализуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение19.04.2018, 20:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3645
ФТИ им. Иоффе СПб
warlock66613 в сообщении #1305617 писал(а):
Он давно закрыт и я как раз в ближайшее время (примерно завтра) собираюсь написать как.
Вот там и поговорим. Только надо отдельную тему открыть

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение19.04.2018, 20:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8775
Hogtown
amon в сообщении #1305642 писал(а):
Только надо отдельную тему открыть
И наверно, гораздо раньше, чем с этого момента. Только если я понял из объяснений, Пуанкаре катил бочку не конкретно на уравнения Больцмана, а на статистическую физику вообще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение19.04.2018, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3645
ФТИ им. Иоффе СПб
amon в сообщении #1305642 писал(а):
Вот уж от вас не ожидал. Он давно закрыт
Ну вот, слава модераторам, можно без оффтопа. То, что Вы пишите - про время возврата, это аргументы Больцмана. Пуанкаре возражал против возможности вывода уравнения Больцмана из уравнений классической механики. Возражение было такого сорта (заранее прошу прощения, читал давно, могу слегка приврать). Есть у нас некоторая система уравнений $\hat{H}=0$ (в нашем случае - уравнения Гамильтона). С помощью некоторых операций $\mathfrak{R}\hat{H}$ мы получим другое уравнение $\hat{B}=0$ (уравнение Больцмана). Если уравнения Гамильтона обладают свойством Т-инвариантности (как это было у Больцмана, и как это делается и сейчас), то $T\hat{H}=\hat{H}$ и проделав манипуляции $\mathfrak{R}T\hat{H}$ мы должны получить $T\hat{B}=\hat{B}.$ Поскольку уравнение Больцмана таким свойством не обладают, то либо исходные уравнения не инвариантны относительно обращения времени, либо операция $\mathfrak{R}$ неоднозначна. К времени возврата, флуктуациям и прочее это рассуждение отношения не имеет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 76 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Парджеттер, Pphantom, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group