Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема

[Student85]

Помогите пожал правильно понять геометрическую интерпретацию теоремы Лиувилля. Используя гамильтоновы уравнения
можно показать что функция распределения постоянна вдоль фазовой траектории системы, т.е. $\frac{d\rho}{dt}=0$. А геометрически это интерпретируют как сохранение объема фазового пространства системы. Я это понимаю следующим образом. Допустим у нас есть ансамбль Гиббса, в момент времени $t=0$ мы изображаем состояние каждой системы из ансамбля точкой в фазовом пространстве, а т.к. у нас в пределе бесконечное число систем в ансамбле то мы имеем в нулевой момент какую то 6N-мерную "лужу" в фазовом пространстве. Состояние систем непрерывно меняется во времени и через какое то время форма "лужи" примет другую форму. Теорема Лиувилля утверждает что объем "лужи" останется неизменным. Насколько правильна эта интерпретация? Везде пишут что фазовый объем сохраняется, но почему то не дается ясное объяснение того как вообще это понимать

[amon]

Student85 в сообщении #1305079 писал(а):

геометрически это интерпретируют как сохранение объема фазового пространства системы.

В общем, правильно понимаете, только можно и без Гиббса. У нас есть какая-то точка $(q_0,p_0)$ фазового пространства. Если мы выберем эту точку в качестве начального условия для Гамильтоновой системы уравнений, то через время $t$ эта точка перейдет в какую-то точку $(q(t),p(t)).$ Теперь выберем в фазовом пространстве некую достаточно хорошую область $\Omega_0$ (для нее как, минимум должен, считаться объем $V(\Omega_0)$) и над каждой точкой произведем вышеописанную манипуляцию. Область $\Omega_0$ перейдет в какую-то область $\Omega(t)$. Теорема Лиувилля утверждает, что у этой новой области, полученной переносом старой области вдоль траекторий, во-первых, есть объём, а во-вторых, этот объем равен объему исходной области.

[Student85]

Спасибо, такое объяснение мне кажется намного понятнее чем с ансамблем. Вот почему Сасскинд в своих лекциях соединял точки из объемов кривыми.

[Gickle]

"С ансамблем" важно для статистической механики.

[pogulyat_vyshel]

В стартовом посте смешались несколько понятий. Будем разлеплять.

Инвариантная мера. Пусть имеется гладкая динамическая система $\dot x=v(x),\quad x\in\mathbb{R}^m$ все решения которой бесконечно продолжаемы и влево и вправо. Измеримая функция (на самом деле псевдоскаляр) $\rho(x)$ называется плотностью инвариантной меры (или плотностью интегрального инварианта), если интеграл

$$\int_{g^t(D)}\rho(x)dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m$$

не зависит от времени для любого суммируемого множества $D$. Здесь $g^t$ поток системы $\dot x=v(x)$.

Теорема Лиувилля 1. Непрерывно дифференцируемая функция $\rho$ является плотностью интегрального инварианта $\Longleftrightarrow\frac{\partial (\rho v^i)}{\partial x^i}=0.$

Теорема Лиувилля 2. Если $\rho,\nu\ne 0$ -- плотности интегральных инвариантов, то $\rho/\nu$ -- первый интеграл.

Всякая гамильтонова система имеет инвариантную меру с плотностью $1$ (в канонических координатах), поэтому плотности всякой другой инвариантной меры $\rho$ отвечает первый интеграл $\rho/1$ в канонических координатах!

[Student85]

pogulyat_vyshel
Никакой физики я здесь не вижу

-- 17.04.2018, 18:49 --

Gickle в сообщении #1305104 писал(а):

"С ансамблем" важно для статистической механики.

Именно в стат механике этот вопрос у меня возник

[pogulyat_vyshel]

Student85 в сообщении #1305119 писал(а):

Никакой физики я здесь не вижу

Ваша проблема

[amon]

Student85 в сообщении #1305119 писал(а):

Никакой физики я здесь не вижу

Попробую перевести с латыни на латинский язык. Мое утверждение на языке уважаемого pogulyat_vyshel это $\int_{g^t(D)}dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m$ не зависит от времени. Т.е. величина $\rho$ для "сдвига фазового объема вдоль траектории" равна единице. Для простоты и ясности в последующих формулах эта величина ($\rho$) обозначена буквой $\nu$. Теперь мы на фазовом пространстве зададим некую плотность (например, вероятность найти систему в окрестности некой точки $(q_0,p_0)$ фазового пространства). Ее по вышеописанным соображениям мы обозначим буквой $\rho$. Теорема 2 утверждает, что при "сдвиге вдоль траектории" $\rho(q_0,p_0)= \rho(q(t),p(t)).$ Это другое утверждение, отличное от того, что я пытался объяснить. Так что физика тут по полной.

[Red_Herring]

1. Прежде всего теорема Лиувилля для физиков: если имеется движение по траекториям дифференциальных уравнений $\frac{d\mathbf{z}}{dt}= \mathbf{v}$, и нет стоков и истоков, то
\begin{align} \frac{d\rho}{dt}:= \frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla\rho = - \rho \nabla\cdot \mathbf{v}\iff \tag{1}\\ \frac{\partial\rho}{\partial t}+ \nabla\cdot (\rho\mathbf{v})=0. \tag{2} \end{align}
И это уравнение встречается в физике очень часто (например, в гидродинамике, в "материальных" уравнениях Максвелла $\frac{\partial\rho}{\partial t}+ \nabla\cdot \mathbf{j}=0$). Чтобы $\rho$ не менялось вдоль траекторий, поле $\mathbf{v}$ должно быть бездивергентным: $\nabla\cdot \mathbf{v}=0$.

Если перейти к объемам, то соответствующий поток сохраняет форму объема $dz_1\wedge dz_2\wedge \cdots \wedge dz_N$.

2. Если рассмотреть такое поле, отвечающее Гамильтонову потоку $N=2n$, $\mathbf{z}=(\mathbf{x},\mathbf{p})$, то это условие бездивергентности очевидно выполнено, и потому фазовый объем сохраняется. Т.е. ТС прав: "лужа" меняет форму, но не фазовый объем. В трехмерии $N=6$.

На самом деле такой поток сохраняет гораздо больше: симплектическую форму $\omega:=dx_1\wedge dp_1+\ldots dx_n\wedge dp_n$. И, в частности, форму объема, совпадающую с точностью до множителя с $\omega^{\wedge n}:=\omega\wedge \omega \wedge \cdots \wedge \omega$ ($n$ сомножителей).

3. Опять-таки это имеет больше применений к физике, чем статфизика. И речь идет о фазовом объеме (и соответствующей фазовой плотности): объемы проекций на конфигурационное пространство могут меняться, и очень сильно так что соответствующая пространственная плотность может становиться даже бесконечной (фокусировка и каустики в оптике).

4. И фазовое пространство используется в негамильтоновых системах: уравнения переноса (например нейтронов) и кинетическая теория газа.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1305192 писал(а):

На самом деле такой поток сохраняет гораздо больше: симплектическую форму $\omega:=dx_1\wedge dp_1+\ldots dx_n\wedge dp_n$. И, в частности, форму объема, совпадающую с точностью до множителя с $\omega^{\wedge n}:=\omega\wedge \omega \wedge \cdots \wedge \omega$ ($n$ сомножителей).

Большое спасибо!

[пианист]

Red_Herring в сообщении #1305192 писал(а):

На самом деле такой поток сохраняет гораздо больше: симплектическую форму $\omega:=dx_1\wedge dp_1+\ldots dx_n\wedge dp_n$. И, в частности, форму объема, совпадающую с точностью до множителя с $\omega^{\wedge n}:=\omega\wedge \omega \wedge \cdots \wedge \omega$ ($n$ сомножителей).

Из-за чего имеем симплектического верблюда ;)

[amon]

"Идя навстречу пожеланиям трудящихся" еще раз вернусь сюда со своим крестьянским армяком. Попросили пояснить разницу между первой и второй теоремами. В учебнике ЛЛ есть как минимум две теоремы Лиувилля. Одна "механическая" из параграфа 46 первого тома. Она говорит то, что я пытался донести в первом сообщении - если мы выбрали некоторую область фазового пространства, сосчитали ее объем, а потом сдвинули все точки этой области так, как бы они сдвинулись при механическом движении с некоторым гамильтонианом (все равно каким, лишь бы он был), то объем получившейся сдвинутой области равен объему исходной.

Вообще говоря, другое утверждение, тоже названное теоремой Лиувилля, присутствует в параграфе 3 пятого тома (Статистическая физика). Там показывается, что если мы зададим в какой-то момент времени на фазовом пространстве "функцию распределения" $\rho$ (ту самую "плотность инвариантной меры"), то при дальнейшей эволюции Гамильтоновой системы эта функция не меняется вдоль траектории. Другими словами, если я покрасил некоторую точку $(q_0,p_0),$ нашел $\rho(q_0,p_0),$ то при дальнейшем движении этой точки в соответствии с уравнениями Гамильтона $(q(t),p(t))$ будет $\rho(q_0,p_0)=\rho(q(t),p(t)).$ Всякие обобщения этого приведены выше. На это и обратил наше с Вами внимание pogulyat_vyshel.

[dsge]

Важное применение этого факта в статфизике - https://dxdy.ru/post1301877.html#p1301877.
Разрушает спекуляции по поводу возрастания энтропии.

[Munin]

А разве "вторая теорема" не есть очевидное следствие "первой"?

[amon]

Munin в сообщении #1305375 писал(а):

А разве "вторая теорема" не есть очевидное следствие "первой"?

IMHO, не безумно очевидное. Оно есть следствие того, что по первой теореме в "математической" формулировке

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+ \nabla\cdot (\rho\mathbf{v})=0 $$

траектории будут характеристиками этого уравнения (уравнения Лиувилля). К стати, на последнем свойстве, IMHO, зиждется успешность уравнения Больцмана. Уравнение Больцмана отличается от уравнения Лиувилля тем, что в правую часть добавлен член (интеграл столкновений), который равен нулю на равновесных функциях распределения, а по "второй теореме" после того, как правая часть занулится, функция распределения навечно остается равновесной.