Уравнение Больцмана и его свойства

[epros]

warlock66613 в сообщении #1308589 писал(а):

Но вопрос в том, можно ли, основываясь на этом факте, обосновать некорректность вывода?

Вопрос в том, что считать "некорректностью". Если Вы хотите получить уравнения, полностью изоморфные исходным, то некорректен. А если хотите получить уравнения адекватные нашим инструментальным возможностям, то корректен.

Я бы сказал, что некорректными являются некоторые Ваши рассуждения об отбраковке каких-то начальных условий и об энтропии, присущей микросостояниям. На самом деле ничего отбраковывать не нужно, а энтропию имеет смысл считать только для макросостояний. Уравнение Больцмана прекрасно работает, потому что заложенная в нём неопределённость адекватна нашим инструментальным ограничениям. Если подстроить начальные условия так, чтобы молекулы через час собрались в углу сосуда, то уравнение Больцмана этого не предскажет. Но это не значит, что уравнение неадекватно реальности, ибо не имея возможности заранее рассчитать или каким-то иным образом предсказать это событие, мы скорее всего его даже не заметим. В крайнем случае, интерпретируем как необычайно редкую флуктуацию.

[warlock66613]

epros в сообщении #1308600 писал(а):

На самом деле ничего отбраковывать не нужно

Без этого не получиться доказать $H$-теорему Больцмана. Только постулировать. А вопрос — можно ли доказать? И ответ: можно, но только используя космологическое предположение. То есть, в предположении о фундаментальности обратимых законов динамики, успешность уравнения Больцмана означает не больше и не меньше, как то, что начальные условия Вселенной были весьма экзотическими. Это важный положительный результат, который нельзя получить, оставаясь в рамках информационной энтропии. [Хотя в целом то, что вы говорите про энтропию, похоже на то, что в книге [1], из которой я творчески переписал вывод кинетического уравнения, называется "объективизацией информационной энтропии" и излагается в следующем параграфе*, но без этой самой "объективизации", по сути — без физики.]

* А в следующем обсуждаются полугруппы и бифуркации, а ещё дальше связь с декогеренцией в квантовой механике. Вот реально — практически всё, что обсуждалось в этой теме, и по-видимо, даже всё, что ещё не обсуждалось — это всё есть в [1], и много больше того (например, глубокая параллель между уравнением Больцмана и фейнмановской "бесполевой" электродинамикой). Но, конечно, всё по-необходимости очень кратко.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1308605 писал(а):

Без этого не получиться доказать $H$-теорему Больцмана. Только постулировать. А вопрос — можно ли доказать? И ответ: можно, но только используя космологическое предположение. То есть, в предположении о фундаментальности обратимых законов динамики, успешность уравнения Больцмана означает не больше и не меньше, как то, что начальные условия Вселенной были весьма экзотическими.

Я не уверен, что использование каких бы то ни было предположений, позволяющих доказать H-теорему Больцмана, имеет отношение к выбору "правильных" траекторий. Тем более, если выбирать придётся исключительно по начальным условиям. У нас просто нет возможностей обнаружить, что начальные условия таковы, что через час молекулы соберутся в одном углу сосуда. Это микросостояние ни по каким видимым признакам не выделяется из других состояний. И даже если мы попытаемся предсказать эту ситуацию с помощью компьютерного расчёта, то скорее всего у нас ничего не выйдет из-за экспоненциально нарастающей погрешности.

И уж точно это не имеет никакого отношения к "начальным условиям Вселенной".

warlock66613 в сообщении #1308605 писал(а):

называется "объективизацией информационной энтропии"

Это очень странная философия. Так же странно, как говорить про "объективизацию" натуральных чисел с помощью счётных палочек. Мол, натуральные числа - абстрактная, не имеющая отношения к физике концепция, но если взять счётные палочки, то её можно "объективизировать". Так и с энтропией. Формула ведь та же самая? Так в чём проблема? Разумеется в теории мы имеем дело с абстрактной величиной. Но она придумана не для развлечения теоретиков, а для тех самых физических приложений, в которых её значение оказывается вполне измеримым.

[epros]

Давайте лучше я предложу Вам схему вывода второго начала термодинамики безо всяких дурацких операторов Цванцига.

Рассмотрим множество всех возможных микросостояний системы. Макросостоянием $s$ назовём распределение вероятностей на этом множестве микросостояний. Обозначим как $p_s(x)$ функцию плотности распределения вероятностей для макросостояния $s$, где переменная $x$ обозначает микросостояния. Равновесным будем называть макросостояние, которому соответствует равномерное распределение по всем микросостояниям. Замечу, что количество микросостояний может быть конечным или бесконечным, например, определяться точкой фазового пространства. В последнем случае равномерным будем считать распределение, при котором равны вероятности при равных фазовых объёмах.

Уравнение динамики запишем в форме:

$p_{s_{\text{кон}}}(x) = \int P(x|y)~p_{s_{\text{нач}}}(y)~dy$,

где $s_{\text{кон}}$ - конечное макросостояние (в момент $t_{\text{кон}}$), $s_{\text{нач}}$ - начальное макросостояние (в момент $t_{\text{нач}}$), а $P(x|y)$ - функция вероятностей переходов из микросостояния $y$ в микросостояние $x$, удовлетворяющая условию $\int P(x|y)~dx = 1$. Очевидно, что такая форма записи достаточно общая для того, в том числе, чтобы в ней можно было записать и любые "точные" законы механики частиц.

В качестве замены Вашего "космологического" условия потребуем, чтобы равновесному $s_{\text{нач}}$ соответствовало равновесное $s_{\text{кон}}$. Обратите внимание, что это условие не имеет никакого отношения к "начальным условиям Вселенной" или к отбору "правильных" начальных микросостояний. Оно касается только самих законов динамики - чтобы они не переводили равновесное состояние в неравновесное. Кстати, если говорить конкретно о механике частиц, то данное условие следует из той самой теоремы Лиувилля.

Осталось доказать равносильность этого условия закону неубывания энтропии, что в силу того, что определение энтропии макросостояния у нас имеется, является чисто математической задачей.

[warlock66613]

epros, вы постулируете ваше "уравнение динамики". А его надо вывести. А если вы запишете законы механики частиц в означенной форме, то получите не закон возрастания энтропии, а закон её постоянства.

Но действительно, возрастание энтропии можно получить "в обход", не прибегая к уравнению Больцмана и $H$-теореме, используя только статистические аргументы. Но и здесь аргументация Пуанкаре применима, и если можно вывести закон возрастания энтропии, то точно также можно вывести и закон убывания, применив ко всему рассуждению преобразование $\mathfrak R$. И только начальные/конечные условия могут определить, какой из двух вариантов будет иметь место. Если начальная энтропия низкая — энтропия будет (в среднем) расти, а если низкая конечная — те же рассуждения покажут, что энтропия будет убывать. Так что вывод другой (но очень похожий), а результат тот же: в предположении справедливости обратимой микроскопической динамики, существование закона возрастания энтропии обусловлено космологическими причинами.

Кстати, может возникнуть вопрос, почему я всё время делаю оговорку "в предположении справедливости обратимой микроскопической динамики". Разве может быть иначе? Да, может. Именно, может существовать некий фундаментальный оператор Цванцига, так что именно динамика определяемых им макросостояний является точной, истинной (а обратимая динамика — приближение). Например, было предположение, что оператор Цванцига, объявляющий иррелевантной информацию, находящуюся по другую сторону горизонта событий, является таковым. И хотя в принципе эти ситуации различимы, но на самом деле разница будет заметна только на масштабах времени порядка времени возвращения Пуанкаре.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1308670 писал(а):

epros, вы постулируете ваше "уравнение динамики". А его надо вывести.

Выводить тут нечего, потому что это наиболее общая форма записи любых уравнений динамики (через совместное распределение начальных и конечных состояний). Даже динамика Мухтара, при всей её изощрённости, таким способом описывается.

warlock66613 в сообщении #1308670 писал(а):

А если вы запишете законы механики частиц в означенной форме, то получите не закон возрастания энтропии, а закон её постоянства.

Вообще-то получается закон неубывания энтропии, т.е. обратимые процессы не исключаются. И он выводится из правила сохранения равновесного состояния, потому что функцию $P(x|y)$, вообще говоря, можно выбрать и так, что она будет "собирать" все начальные микросостояния в одно конечное, т.е. уменьшать энтропию.

warlock66613 в сообщении #1308670 писал(а):

Но и здесь аргументация Пуанкаре применима, и если можно вывести закон возрастания энтропии, то точно также можно вывести и закон убывания, применив ко всему рассуждению преобразование $\mathfrak R$.

Здесь преобразование $\mathfrak R$ не применяется. Аргументация о симметричном выводе закона убывания энтропии не работает, потому что никакой симметрии между возрастанием и убыванием энтропии нет. Такова изначальная особенность вероятностного описания. Скажем, как пример динамики с возрастанием энтропии можно выбрать функцию $P(x|y)$ такой, что она будет сразу переводить любое состояние в равновесное. "Симметричного" к нему процесса не существует, потому что эта функция не биективна. Т.е. выбрать динамику с уменьшением энтропии можно (если отказаться от правила сохранения равновесного состояния), но она не будет "симметричной".

warlock66613 в сообщении #1308670 писал(а):

результат тот же: в предположении справедливости обратимой микроскопической динамики, существование закона возрастания энтропии обусловлено космологическими причинами

Никакие "космологические причины" здесь не рассматриваются. Рассматриваются только законы динамики. Конечно, как я сказал выше, это не закон возрастания, а закон неубывания энтропии. Т.е. при некоторых дополнительных предположениях (на "микроскопическую", как Вы выражаетесь, динамику) можно получить и закон сохранения энтропии. Вопрос только в том, насколько эти предположения адекватны нашим инструментам. Если Вы считаете, что рассеяние молекул на молекулах нельзя рассматривать как точки бифуркации (т.е. Вы обязуетесь с абсолютной точностью проследить результат оного рассеяния), то функцию $P(x|y)$ мы выберем такой, что энтропия расти не будет. Но если мы можем определить результат рассеяния лишь с некоторой ограниченной точностью, то на каждом таком событии энтропия будет возрастать.

Важно другое: что в этой модели энтропия ни при каких условиях не будет убывать.

[warlock66613]

epros в сообщении #1308711 писал(а):

Выводить тут нечего, потому что это наиболее общая форма записи любых уравнений динамики (через совместное распределение начальных и конечных состояний).

Форма-то общая, а вот вероятности переходов придётся постулировать. А требуется их вывести из первых принципов.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1308732 писал(а):

Форма-то общая, а вот вероятности переходов придётся постулировать. А требуется их вывести из первых принципов.

Из каких первых принципов? Через вероятности переходов $P(x|y)$ просто-напросто записываются законы динамики (любые). Например, если имеем динамику равномерного прямолинейного движения точки со скоростью $v$:

$x_{\text{кон}}=x_{\text{нач}}+v(t_{\text{кон}}-t_{\text{нач}})$,

то:

$P(x|y)=\delta(x-y-v(t_{\text{кон}}-t_{\text{нач}}))$.

[warlock66613]

epros в сообщении #1308751 писал(а):

Из каких первых принципов?

Например, из законов механики для кучки одинаковых попарно взаимодействующих частиц.

[alien308]

Так, так. Читайте классику, Боголюбова например.
По уравнению Больцмана вы два вопроса смешиваете.
1. Вывод. Исходя из корректных предпосылок сделан Боголюбовым.
2. Существование решения. Математически уравнение Больцмана довольно сингулярно. И решение может существовать только до определённого времени вперёд. Физикам пофиг. Они применяют методы решения которые сильно регуляризуют.
Вот разумные книги:
Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике.
перепечатоно в сборниках трудов "Избранные труды" и в других сборниках
Чемпмен, Каулинг Математическая теория неоднородных газов
Черчиньяни Теория и приложения уравнений уравнений Больцмана
У него переведена и более поздняя книга, насколько помню
Чо, Уленбек Кинетическая теория плотных газов

[warlock66613]

alien308 в сообщении #1340349 писал(а):

вы два вопроса смешиваете

Вообще, мы в этой теме ни один из этих вопросов не обсуждали. Вывод Боголюбова интересен для тех, кого уравнение Больцмана не устраивает (оно ведь только для весьма разреженных газов даёт количественно адекватную картину), поскольку позволяет получить более точные кинетические уравнения. А на существование решения, как вы сами сказали, физикам вообще пофиг.

[alien308]

Откуда взяться стреле времени если исходные уравнения T-инвариантны? В теории естественно ниоткуда. Если при выводе принудительно не вводить стрелу времени, то как было упомянуто, с тем же успехом можно вывести инвертированное во времени уравнение Больцмана или другое кинетическое уравнение. Чем они хуже? Отсюда вывод: стрела времени -- наблюдательный и культурный артефакт. У наоборотников просто определение энтропии другое, растёт она в не в ту сторону.

Уравнение Больцмана относится к статистической физике. В статистической физике, в отличии от динамики, вводятся дополнительные аксиомы (словеса Больцмана, условия Боголюбова, проекционный оператор), приводящие в неравновесном случае к появлению стрелы времени. К сожалению по большей части это делается неявно и даже неосознано. Это обсуждение пример к чему такая практика приводит.
В статистической физике нет проблемы стрелы времени, стрела времени просто есть. В динамике проблемы стрелы времени нет, откуда проблема если нет её причины? Проблема возникает, если из несомненно правильных уравнений динамики мы выводим не менее правильные кинетические уравнения без актуализации аксиоматики. Привет от Геделя и его неполноты.

[warlock66613]

alien308 в сообщении #1340559 писал(а):

Откуда взяться стреле времени если исходные уравнения T-инвариантны?

Это хороший вопрос, но вот это неверно:

alien308 в сообщении #1340559 писал(а):

В теории естественно ниоткуда.

$T$-инвариантность влечёт только, что 1) любой T-неинвариантный закон не может быть справедлив для всех возможных траекторий (парадокс Лошмидта), 2) он не может быть справедлив всегда (парадокс возвращения Пуанкаре). При этом остаётся возможность иметь в инвариантной теории неинвариантный закон, который справедлив - на протяжении времени, много большего возраста Вселенной, - для всех реально встречающихся в нашей Вселенной траекторий. Понимание этих ограничений позволяет понять и как преодолеть второй парадокс Пуанкаре, обсуждавшийся в этой теме.

alien308 в сообщении #1340559 писал(а):

В статистической физике нет проблемы стрелы времени, стрела времени просто есть.

Нет, в статфизике её (стрелы времени) как раз нет. Как вы сами говорите, откуда взяться стреле времени, если исходные уравнения инвариантны? (В этом случае этот аргумент работает.) Статфизика - это же просто исследование физических (в частности, механических) систем статистическими методами (то есть с помощью теории вероятности).

Вы советовали литературу. У меня тоже есть что посоветовать: H. Zeh, The Physical basis of the direction of time. 5th edition, 2007.
Там всё расписано.

[alien308]

Цитата:

Как вы сами говорите, откуда взяться стреле времени, если исходные уравнения инвариантны?

Да, совершенно верно. Только из введением дополнительной аксиомы, например:

Цитата:

Статфизика - это же просто исследование физических (в частности, механических) систем статистическими методами (то есть с помощью теории вероятности).

Использование статистических методов приводит к эффективному усреднению, возможно к сколь угодно малому, но как показал Зубарев, даже сколь угодного малого размывания фазового пространства (релаксационного члена в уравнениях эволюции) достаточно для появления стрелы времени.
Статистические методы не абсолютно точные и ошибки $1/N$, где $N$ - число степеней свободы в системе достаточно для продолжения банкета.
Если мы направим ось времени в противоположном направлении и сделаем тот же вывод кинетического уравнения то энтропия у нас тоже будет увеличиваться. Энтропия увеличивается как при эволюции во времени как в одном направлении, так и противоположном.
Это проявление спонтанного нарушения симметрии, а мы фактически использовали метод квазисредних Боголюбова. Это, как я понимаю, эквивалентно выбору набора траекторий актуально присутствующих в реальной физической задаче.

[warlock66613]

А, теперь мне понятно, что вы, alien308, имели в виду, говоря

alien308 в сообщении #1340559 писал(а):

Откуда взяться стреле времени если исходные уравнения T-инвариантны? В теории естественно ниоткуда.

Разумеется, если имеется в виду конкретная теория, то есть теория, рассматриваемая как математическая, то это верно. Говоря, что это неверно, я имел в виду не "в теории - конкретной", а "в теории вообще", то есть в теории, не ограниченной набором постулатов, но свободно модернизируемой на основе экспериментальных данных.

alien308 в сообщении #1340722 писал(а):

даже сколь угодного малого размывания фазового пространства (релаксационного члена в уравнениях эволюции) достаточно для появления стрелы времени.

Это объясняет, откуда появляется стрела времени в наших уравнениях. Но это не объясняет, откуда она берётся в природе, и потому оставляет открытым вопрос об адекватности полученных таким образом $T$-неинвариантных уравнений и правомерности такого способа их получения. И это не пустые опасения: вы совершенно правильно говорите, что таким образом можно вывести два разных кинетических уравнения: одно с растущей энтропией, другое с убывающей; но в том-то и дело, что только одно из них правильное (подтверждается экспериментом).

Разгадка в том, что эти два кинетических уравнения используют разные дополнительные аксиомы. И наша Вселенная одной из них удовлетворяет, а другой - нет. Аксиома эта - не усреднение как таковое, а дополнительное требование, которым должны удовлетворять начальные условия, ("неправильная" аксиома требует того же, но от конечных условий). Добавляя релаксационный член, вы на самом деле неявно пользуетесь одной из этих аксиом. В рамках статфизики аксиома формулируется примерно как "система равновероятно находится в любом микросостоянии, удовлетворящем начальным макроусловиям". Но такая формулировка мало что проясняет. К счастью, есть альтернативная, прозрачная (не использующая вероятностный язык) формулировка, которую я приводил в своём большом посте в этой теме.

При этом, если начальные условия этой аксиоме удовлетворяют, то конечные - нет (и наоборот), что объясняет почему из двух кинетических уравнений одно работает, а второе - нет. Фактически, мы и называем начальными те условия, для которых эта аксиома выполняется, а те, для которых не выполняется, - конечными.

Роль упомянутого вами спонтанного нарушения симметрии* при этом в том, что благодаря ему, если начальные условия в какой-то момент удовлетворяют этой аксиоме, то такое положение сохраняется в течение долгого времени.

Стоит ещё заметить, что одного только спонтанного нарушения симметрии совершенно недостаточно для возникновения стрелы времени. Дело в том, что если система изначально находится в равновесии, то она почти наверняка в равновесии и останется. В результате, система будет колебаться около равновесия, и никакой стрелы времени не будет. Поэтому для появления стрелы времени совершенно необходимо, кроме нарушенной симметрии, чтобы начальное состояние системы было низкоэнтропийным, то есть далёким от равновесного.

* Лично я не уверен, что это самое настоящее спонтанное нарушение симметрии. Хотя это точно что-то очень похожее на спонтанное нарушение симметрии, аналогичное ему, но действительно ли это самое настоящее спонтанное нарушение симметрии - я утверждать не берусь. Но раз alien308 говорит, что это спонтанное нарушение симметрии, я тоже буду так это называть.