2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?
Сообщение25.03.2018, 03:49 
Заслуженный участник


29/09/14
1144
Мне думается, что может быть важным то, что в точном решении задачи двух тел в виде

$\Psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \, t)=\varphi(\mathbf{R},t)\,\psi(\mathbf{r},t)$

мы в общем случае не обязаны рассматривать только стационарные состояния центра масс. (И не обязаны рассматривать только стационарные состояния относительного движения; хотя для этого, конечно, поводов меньше, так что под $\psi(\mathbf{r},t)$ обычно подразумеваются стационарные состояния).

Выбор $\varphi(\mathbf{R},t)$ в виде плоской волны с определённым $\mathbf{P},$ увы, не описывает атом, находящийся мало-мальски в определённом месте. (Причём, состояние с $\mathbf{P}=0,$ имхо, вообще не физическое: не знаю, как такую "плоскую волну" приготовить).

Если мы хотим, чтобы рассматриваемый атом водорода смирно покоился перед нами "в начале координат", то должны выбрать точное решение $\varphi(\mathbf{R},t)$ для свободного движения центра масс в виде покоящегося волнового пакета (например, гауссова): c $\langle \mathbf{R}\rangle=0$ и $\langle \mathbf{P}\rangle=0.$ Т.е. слова "система покоя центра масс", имхо, не обязательно означают $\mathbf{P}=0,$ достаточно требовать $\langle \mathbf{P}\rangle=0.$

Большая величина массы атома $M=m_1+m_2$ (по сравнению с $\mu=\frac{m_1m_2}{M})$ обеспечит большое время расплывания центра масс, если пакет $\varphi$ в начальный момент времени не слишком узкий.

Такая интуиция подсказывает (не знаю, верно ли, надо бы написать и проверить всё аккуратнее), что пакет $\varphi(\mathbf{R},t)$ может быть довольно долгое время "похож" на $\delta (\mathbf{R}).$ Ну, а если это так, и можно полагать $\mathbf{R}=0$, то, видимо, как и говорит ТС, из $\mathbf{R}=0$ следует, что переменную $r/a$ с боровским радиусом $a=\hbar^2/(e^2 \mu )$ с приведённой массой, от которой зависит радиальная часть волновой функции относительного движения $\psi(\mathbf{r}),$ можно понимать и как $r/a=r_1/a_1,$ и как $r/a=r_2/a_2,$ где

$r_1=r\frac{m_2}{M}, \qquad a_1=\frac{\hbar^2}{e^2 m_1},$
$r_2=r\frac{m_1}{M}, \qquad a_2=\frac{\hbar^2}{e^2 m_2}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?
Сообщение25.03.2018, 06:33 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
Roton в сообщении #1299559 писал(а):
Был вопрос. Может ли это повлиять на корреляцию?
Возможные ответы "Да" или "Нет".


Уж коль "причем здесь", то ясно, что ответ "нет". Одно из двух: или операторы, описывающие столкновения (или что там еще за возмущение), действуют по ${\bf r}$,тогда состояние относительного движения меняется (корреляции при этом все равно остаются), и Вы не правы в одном смысле. Или не действуют, тогда состояние относительного движения протона и электрона не меняется вообще, корреляции не разрушаются и подавно!

Что-то я начинаю подозревать, пока (!) лишь подозревать, что Вы -- фрик. А сначала, вроде, вполне все было разумно. Кончайте ваньку валять, и подумайте. Или вообще валите отсюда. Здесь фриков не любят. Весьма квалифицированные люди тратят на Вас время, хотя помочь, а Ваша реакция местами (пока местами, но число мест постепенно увеличивается) довольно странная. Вы что, хотите меня, amon-а и др научить квантовой физике???? Очень смешно.... С Вами разговаривают далеко не студенты, лишь недавно впервые увидевшие довольно элементарный учебник Ландау-Лифшица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?
Сообщение25.03.2018, 15:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Cos(x-pi/2) в сообщении #1299577 писал(а):
Выбор $\varphi(\mathbf{R},t)$ в виде плоской волны с определённым $\mathbf{P},$ увы, не описывает атом, находящийся мало-мальски в определённом месте.
Если вспомнить, что водород - газ, то надежда найти атом в определенном месте становится совсем призрачной ;) (Про доплеровскую ширину линии не мне Вам рассказывать.) А вообще, про это (движение центра масс и его влияние на спектр) в стандартных учебниках действительно почти ничего не сказано, равно как и про влияние "закрепления" атома на его спектр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?
Сообщение25.03.2018, 19:10 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
Cos(x-pi/2) в сообщении #1299577 писал(а):
Если мы хотим, чтобы рассматриваемый атом водорода смирно покоился перед нами "в начале координат",



Можно еще добавить в гамильтониан потенциал (типа ямы), зависящий лишь от ${\bf R}$. Тогда устраивая яму очень глубокой и узкой можно сколь угодно приблизиться к упомянутой дельта-функции. Вот только такой потенциал физически реализовать никак нельзя. Опять некие формальные игры.


Несколько забавно, что в двухчастичной задаче движение центра масс полностью и точно отделяется от относительного движения частиц. В отличие от приближения Борна-Оппенгеймера, где разделение движения ядер и электронов лишь приближенное (и в высших порядках бывают так называемые неадиабатические переходы, или, лучше сказать, неадиабатические поправки).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?
Сообщение25.03.2018, 19:21 
Заслуженный участник


29/09/14
1144
amon, конечно, Вы правы: для каждой задачи надо выбирать соответствующее ей описание, и если рассматривается газ, то выбор $\varphi(\mathbf{R})=\text{const}$ хорош.

Просто я попытался понять, как придать смысл вопросу топикстартера о нахождении "распределения вероятности для координат протона $\mathbf{r}_2$ в атоме водорода", и заодно о "распределении вероятности для координат электрона $\mathbf{r}_1$ в атоме водорода". Похоже, все, кто в этой теме откликнулись, сразу или позже, всё сразу же и поняли; и дали хорошие ответы.

Ну а я, поскольку плохо и с большим тау запаздывания соображаю "в уме", то люблю, когда высказанные устно простые ответы всё-таки лежат перед глазами в форме явных вычислений, и прошу позволить мне дописать их:

Распределение вероятности для координат протона $\mathbf{r}_2$ даётся диагональной частью матрицы плотности $\rho_2$ протона (пусть протон у нас - частица "2", а электрон - частица "1"):

$\rho_2(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2)=\int d^3 \mathbf{r}_1 |\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)|^2=\int d^3 \mathbf{r}_1 |\varphi(\mathbf{R},t)|^2\, |\psi(\mathbf{r})|^2 \, ,$

где $\mathbf{R}=(m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2 )/M, \qquad \mathbf{r}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2, \qquad M=m_1+m_2.$

Аналогично, распределение вероятности для координат электрона $\mathbf{r}_1$ есть

$\rho_1(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_1)=\int d^3 \mathbf{r}_2 |\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)|^2=\int d^3 \mathbf{r}_2 |\varphi(\mathbf{R},t)|^2\, |\psi(\mathbf{r})|^2 \, .$

Если мы выберем волновую функцию центра масс $\varphi(\mathbf{R},t)$ в виде плоской волны, то получим $|\varphi(\mathbf{R},t)|^2=\text{const},$ и оба интеграла дают:

$\rho_2=\text{const}, \qquad \rho_1=\text{const}.$

Такой результат заранее ясен: если центр масс атома равновероятно обнаруживается в любом месте заданного нормировочного объёма, то тогда, конечно же, и входящие в состав атома протон и электрон обнаруживаются равновероятно в любом месте. Для описания газа атомов это годится, но это, видимо, не та задача, в которой хотел разобраться ТС.

Поэтому выберем $\varphi(\mathbf{R},t)$ в виде покоящегося волнового пакета. И если считать не хочется, некогда, или не получается, то предположим, что $|\varphi(\mathbf{R},t)|^2\approx \delta(\mathbf{R}).$

Тогда (за нормировкой не слежу):

$\rho_2 \approx |\psi(-\mathbf{r}_2 M/m_1)|^2, \qquad \rho_1 \approx |\psi(\mathbf{r}_1 M/m_2)|^2 \, .$

Ну, и поскольку радиальная часть в $\psi(\mathbf{r})$ зависит от $r/a$ с боровским радиусом $a$ с приведённой массой, то получается, что в этом приближении "облака вероятности" $\rho_2$ и $\rho_1$ устроены одинаково, с той только разницей, что $\rho_2$ зависит от $r_2/a_2$ с "протонным боровским радиусом", а $\rho_1$ зависит от $r_1/a_1$ с "электронным боровским радиусом".

Присоединяюсь к предложению уважаемого amon о том, чтобы ТС привёл свои выкладки и пояснил своё текущее отношение к вопросам этой своей темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?
Сообщение25.03.2018, 22:42 
Аватара пользователя


22/03/18
19
amon' писал(а):
Проведите пожалуйста все необходимые математические выкладки для основного состояния атома водорода и покажите, что
Roton' писал(а):
волновая функция протона будет локализована в области в 1836 раз меньшей, чем волновая функция электрона.

Вы сильно отстали от развития событий в теме, если цитируете первый пост. Обратите внимание, что далее в теме было сказано, что достаточно матрицы плотности, а не волновой функции и далее был переход просто к картинке и орбитали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?
Сообщение25.03.2018, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Roton в сообщении #1299736 писал(а):
Вы сильно отстали от развития событий в теме, если цитируете первый пост. Обратите внимание, что далее в теме было сказано, что достаточно матрицы плотности, а не волновой функции и далее был переход просто к картинке и орбитали.
Обратите внимание, что вы цитируете довольно старый пост amon. И обратите внимание на полезный совет
Alex-Yu в сообщении #1299595 писал(а):
Кончайте ваньку валять, и подумайте.
И заметьте, что
amon в сообщении #1299555 писал(а):
Тут место нехорошее,
Alex-Yu в сообщении #1299595 писал(а):
Здесь фриков не любят.
«Понедельник начинается в субботу» писал(а):
Не советую, молодой человек, не советую. Съедят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?
Сообщение25.03.2018, 23:04 
Аватара пользователя


22/03/18
19
Cos(x-pi/2) писал(а):
Выбор $\varphi(\mathbf{R},t)$ в виде плоской волны с определённым $\mathbf{P},$ увы, не описывает атом, находящийся мало-мальски в определённом месте. (Причём, состояние с $\mathbf{P}=0,$ имхо, вообще не физическое: не знаю, как такую "плоскую волну" приготовить).

... видимо, как и говорит ТС, из $\mathbf{R}=0$ следует ...

Давайте уточним. Плоскую волну предложил Alex-Yu. Очевидно, что из соотношения Гейзенберга, да и просто из формулы плоской волны следует бесконечная неопределенность сопряженной переменной. Все это даже не КМ, а простейшие понятия из общей физики. Очевидно, волновой пакет как-то решает проблему. Но дело в том, что я уже пытался в теме упомянуть соотношение Гейзенберга, что было проигнорировано. Поэтому второй раз для Алех-Yu писать не стал. К тому же, движение ЦТ, если оно отделяется (а ого отделяется, ЛЛ-3), становится второстепенным. Теперь Alex-Yu стал добавлять еще какие-то внешние потенциалы, но без всего этого вполне можно обойтись. Предлагаю сосредоточиться на внутреннем движении.

-- 26.03.2018, 00:09 --

Red_Herring писал(а):
Обратите внимание, что вы цитируете довольно старый пост amon.

Вы о чем? Я цитирую его последний пост относящияся ко мне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?
Сообщение25.03.2018, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Roton в сообщении #1299744 писал(а):
Теперь Alex-Yu стал добавлять еще какие-то внешние потенциалы, но без всего этого вполне можно обойтись. Предлагаю сосредоточиться на внутреннем движении.
"Внутреннее движение" (то, что получается после отделения центра масс) описывает одну частицу, и разобраться с ней никакого труда не представляет. Беда в том, что эта "одна частица" ни электроном, ни протоном не является.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?
Сообщение25.03.2018, 23:24 
Аватара пользователя


22/03/18
19
Cos(x-pi/2) писал(а):
Просто я попытался понять, как придать смысл вопросу топикстартера о нахождении "распределения вероятности для координат протона $\mathbf{r}_2$ в атоме водорода", и заодно о "распределении вероятности для координат электрона $\mathbf{r}_2$ в атоме водорода".

В теме было уже несколько вариантов и уточнений. Нельзя обсуждать все варианты сразу, вы - промежуточный, я - последний.

Давайте немного снизим накал у упростим вопрос до предела. Во всех книжках есть картинка, часто ее называют орбиталь, обычно ее относят к электрону, но часто и ко всей системе - атому. Вопрос. Как нарисовать аналогичную картинку для протона? Когда все поймен на пальцах, начнем наворачивать матрицы плотности и все, что потребуется. Мой ответ на пальцах такой. Картинка для протона в 1836 раз компактнее в пространстве, чем картинка из книжек, где сказано, что картинка дана для электрона. Имеется ли у вас подобный (или совсем другой) ответ на пальцах?

Red_Herring писал(а):
Roton писал(а):
Теперь Alex-Yu стал добавлять еще какие-то внешние потенциалы, но без всего этого вполне можно обойтись. Предлагаю сосредоточиться на внутреннем движении.
"Внутреннее движение" (то, что получается после отделения центра масс) описывает одну частицу, и разобраться с ней никакого труда не представляет. Беда в том, что эта "одна частица" ни электроном, ни протоном не является.

Совершенно верно. Но это не беда, это нормально! Именно в таком ключе я и говорил об этой частице. И далее я говорил о простейшей связи между координатами этой частицы и координатами протона с электроном.

Во, нашел... сам себя цитирую:
Roton писал(а):
Возврщаемся от координат абстрактной частицы $\vec{r}$ к координатам протона $\vec{r_p}$ и электрона $\vec{r_e}$:
$$\vec{r_p}= -\frac{m_e}{m_e + m_p}\vec{r}, \ \ \ \ \ \ \ \vec{r_e}= \frac{m_p}{m_e + m_p}\vec{r}$$При этом картинка (оболако, орбиталь) для электрона сожмется по координатам едва заметно, а картинка для протона сожмется в 1837 раз.


Теперь я хотел бы обратить внимание на важнейший момент, который имеется как в физике на пальцах, так и в самой строгой постановке. Если мы примем, что картинка для электрона возможна, то тогда и картинка для протона возможна. Останется ее перерисовать, все дела. Но если мы скажем, что картинка для атома возможна, а для электрона и соответственно протона невозможна, то мы будем долго спорить, чьи слова круче. Но это не беда, а бедой будет то, что половину книг по физике, где дается картинка именно для электрона, надо будет повесить в rest room на гвоздик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?
Сообщение25.03.2018, 23:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Roton в сообщении #1299750 писал(а):
Совершенно верно. Именно в таком ключе я и говорил об этой частице. И далее я говорил о простейшей связи между координатами этой частицы и координатами протона с электроном.
Святая инквизиция сжигала не всяких еретиков, а только упорствующих в ереси...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?
Сообщение25.03.2018, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Roton в сообщении #1299750 писал(а):
Когда все поймен на пальцах, начнем наворачивать матрицы плотности и все, что потребуется.

Видите ли, физика (и наука вообще) так не работает. Она работает в обратную сторону.

"Во всех книжках" может быть написана какая угодно ерунда. Не важно, какая. Важно, откуда она там взялась? Ответ: из умных и строгих книжек.

А в умных и строгих книжках написано немножко другое. Там написаны точные формулировки, точные формулы, строгие расчёты и строгие доказательства. Если они где-то дальше упрощаются до неправильности - не важно. Важно, что к природе относятся именно эти "навороченные" выкладки.

И сначала физики вычислили эти "навороченные" выкладки, а потом уже они попали в умные книжки, а оттуда просочились во всякие другие, потому что надо же детям картинки показывать. И теперь дети и их учителя могут что-то друг другу "объяснять на пальцах", но это самообман: настоящее объяснение осталось на уровне строгих книжек.

И всё понять вы не сможете, пока на этот уровень не подниметесь, и своими мозолистыми руками не проделаете расчёты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?
Сообщение25.03.2018, 23:51 
Аватара пользователя


22/03/18
19
Red_Herring писал(а):
Roton писал(а):
Совершенно верно. Именно в таком ключе я и говорил об этой частице. И далее я говорил о простейшей связи между координатами этой частицы и координатами протона с электроном.
Святая инквизиция сжигала не всяких еретиков, а только упорствующих в ереси...

Вы о чем? Координаты этой частицы с приведенной массой были получены из координат протона и электрона простейшим преобразованием. Почему преобразование "наоборот" не будет простым?

Munin писал(а):
Там написаны точные формулировки, точные формулы, строгие расчёты и строгие доказательства.

Это вы про ЛЛ-3? Ссылки на Фока, где он макал его книжки дать? А вот ссылки на Боголюбова под рукой нет. Но смеялась вся Престольная.

Типичная цитата с семинара Боголюбова.
- Академик Лифшиц в зале присутствует?
- (после догой паузы) Ога...
- Академик Лифшиц с прозвучавшей критикой согласен?
- (еще более догая пауза) Ога...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?
Сообщение26.03.2018, 00:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Roton в сообщении #1299736 писал(а):
Вы сильно отстали от развития событий в теме, если цитируете первый пост.
amon в сообщении #1299562 писал(а):
При это возможны три исхода
- Все наконец поймут Ваше утверждение и согласятся с Вами
- Вы поймете, что заблуждаетесь и все успокоятся
- Вы ничего делать не будете и продолжите сотрясать воздух словесной эквилибристикой
То есть идем по третьему пути. Ну что ж, скатертью дорожка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?
Сообщение26.03.2018, 00:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Roton в сообщении #1299759 писал(а):
Это вы про ЛЛ-3?

По рассматриваемому вопросу можно открыть множество других учебников: Давыдова, Мессиа, кого там ещё. ЛЛ-3 упоминается только как общедоступный и распространённый, de facto стандарт.

А вот самому научиться писать что-то внятное, хотя бы на уровне ЛЛ-3 (но никто не будет возражать, если на уровне Фока или Боголюбова), - необходимо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 56 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group