Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?

[Cos(x-pi/2)]

Мне думается, что может быть важным то, что в точном решении задачи двух тел в виде

$\Psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \, t)=\varphi(\mathbf{R},t)\,\psi(\mathbf{r},t)$

мы в общем случае не обязаны рассматривать только стационарные состояния центра масс. (И не обязаны рассматривать только стационарные состояния относительного движения; хотя для этого, конечно, поводов меньше, так что под $\psi(\mathbf{r},t)$ обычно подразумеваются стационарные состояния).

Выбор $\varphi(\mathbf{R},t)$ в виде плоской волны с определённым $\mathbf{P},$ увы, не описывает атом, находящийся мало-мальски в определённом месте. (Причём, состояние с $\mathbf{P}=0,$ имхо, вообще не физическое: не знаю, как такую "плоскую волну" приготовить).

Если мы хотим, чтобы рассматриваемый атом водорода смирно покоился перед нами "в начале координат", то должны выбрать точное решение $\varphi(\mathbf{R},t)$ для свободного движения центра масс в виде покоящегося волнового пакета (например, гауссова): c $\langle \mathbf{R}\rangle=0$ и $\langle \mathbf{P}\rangle=0.$ Т.е. слова "система покоя центра масс", имхо, не обязательно означают $\mathbf{P}=0,$ достаточно требовать $\langle \mathbf{P}\rangle=0.$

Большая величина массы атома $M=m_1+m_2$ (по сравнению с $\mu=\frac{m_1m_2}{M})$ обеспечит большое время расплывания центра масс, если пакет $\varphi$ в начальный момент времени не слишком узкий.

Такая интуиция подсказывает (не знаю, верно ли, надо бы написать и проверить всё аккуратнее), что пакет $\varphi(\mathbf{R},t)$ может быть довольно долгое время "похож" на $\delta (\mathbf{R}).$ Ну, а если это так, и можно полагать $\mathbf{R}=0$, то, видимо, как и говорит ТС, из $\mathbf{R}=0$ следует, что переменную $r/a$ с боровским радиусом $a=\hbar^2/(e^2 \mu )$ с приведённой массой, от которой зависит радиальная часть волновой функции относительного движения $\psi(\mathbf{r}),$ можно понимать и как $r/a=r_1/a_1,$ и как $r/a=r_2/a_2,$ где

$r_1=r\frac{m_2}{M}, \qquad a_1=\frac{\hbar^2}{e^2 m_1},$
$r_2=r\frac{m_1}{M}, \qquad a_2=\frac{\hbar^2}{e^2 m_2}.$

[Alex-Yu]

Roton в сообщении #1299559 писал(а):

Был вопрос. Может ли это повлиять на корреляцию?
Возможные ответы "Да" или "Нет".

Уж коль "причем здесь", то ясно, что ответ "нет". Одно из двух: или операторы, описывающие столкновения (или что там еще за возмущение), действуют по ${\bf r}$,тогда состояние относительного движения меняется (корреляции при этом все равно остаются), и Вы не правы в одном смысле. Или не действуют, тогда состояние относительного движения протона и электрона не меняется вообще, корреляции не разрушаются и подавно!

Что-то я начинаю подозревать, пока (!) лишь подозревать, что Вы -- фрик. А сначала, вроде, вполне все было разумно. Кончайте ваньку валять, и подумайте. Или вообще валите отсюда. Здесь фриков не любят. Весьма квалифицированные люди тратят на Вас время, хотя помочь, а Ваша реакция местами (пока местами, но число мест постепенно увеличивается) довольно странная. Вы что, хотите меня, amon-а и др научить квантовой физике???? Очень смешно.... С Вами разговаривают далеко не студенты, лишь недавно впервые увидевшие довольно элементарный учебник Ландау-Лифшица.

[amon]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1299577 писал(а):

Выбор $\varphi(\mathbf{R},t)$ в виде плоской волны с определённым $\mathbf{P},$ увы, не описывает атом, находящийся мало-мальски в определённом месте.

Если вспомнить, что водород - газ, то надежда найти атом в определенном месте становится совсем призрачной ;) (Про доплеровскую ширину линии не мне Вам рассказывать.) А вообще, про это (движение центра масс и его влияние на спектр) в стандартных учебниках действительно почти ничего не сказано, равно как и про влияние "закрепления" атома на его спектр.

[Alex-Yu]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1299577 писал(а):

Если мы хотим, чтобы рассматриваемый атом водорода смирно покоился перед нами "в начале координат",

Можно еще добавить в гамильтониан потенциал (типа ямы), зависящий лишь от ${\bf R}$. Тогда устраивая яму очень глубокой и узкой можно сколь угодно приблизиться к упомянутой дельта-функции. Вот только такой потенциал физически реализовать никак нельзя. Опять некие формальные игры.


Несколько забавно, что в двухчастичной задаче движение центра масс полностью и точно отделяется от относительного движения частиц. В отличие от приближения Борна-Оппенгеймера, где разделение движения ядер и электронов лишь приближенное (и в высших порядках бывают так называемые неадиабатические переходы, или, лучше сказать, неадиабатические поправки).

[Cos(x-pi/2)]

amon, конечно, Вы правы: для каждой задачи надо выбирать соответствующее ей описание, и если рассматривается газ, то выбор $\varphi(\mathbf{R})=\text{const}$ хорош.

Просто я попытался понять, как придать смысл вопросу топикстартера о нахождении "распределения вероятности для координат протона $\mathbf{r}_2$ в атоме водорода", и заодно о "распределении вероятности для координат электрона $\mathbf{r}_1$ в атоме водорода". Похоже, все, кто в этой теме откликнулись, сразу или позже, всё сразу же и поняли; и дали хорошие ответы.

Ну а я, поскольку плохо и с большим тау запаздывания соображаю "в уме", то люблю, когда высказанные устно простые ответы всё-таки лежат перед глазами в форме явных вычислений, и прошу позволить мне дописать их:

Распределение вероятности для координат протона $\mathbf{r}_2$ даётся диагональной частью матрицы плотности $\rho_2$ протона (пусть протон у нас - частица "2", а электрон - частица "1"):

$\rho_2(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2)=\int d^3 \mathbf{r}_1 |\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)|^2=\int d^3 \mathbf{r}_1 |\varphi(\mathbf{R},t)|^2\, |\psi(\mathbf{r})|^2 \, ,$

где $\mathbf{R}=(m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2 )/M, \qquad \mathbf{r}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2, \qquad M=m_1+m_2.$

Аналогично, распределение вероятности для координат электрона $\mathbf{r}_1$ есть

$\rho_1(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_1)=\int d^3 \mathbf{r}_2 |\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)|^2=\int d^3 \mathbf{r}_2 |\varphi(\mathbf{R},t)|^2\, |\psi(\mathbf{r})|^2 \, .$

Если мы выберем волновую функцию центра масс $\varphi(\mathbf{R},t)$ в виде плоской волны, то получим $|\varphi(\mathbf{R},t)|^2=\text{const},$ и оба интеграла дают:

$\rho_2=\text{const}, \qquad \rho_1=\text{const}.$

Такой результат заранее ясен: если центр масс атома равновероятно обнаруживается в любом месте заданного нормировочного объёма, то тогда, конечно же, и входящие в состав атома протон и электрон обнаруживаются равновероятно в любом месте. Для описания газа атомов это годится, но это, видимо, не та задача, в которой хотел разобраться ТС.

Поэтому выберем $\varphi(\mathbf{R},t)$ в виде покоящегося волнового пакета. И если считать не хочется, некогда, или не получается, то предположим, что $|\varphi(\mathbf{R},t)|^2\approx \delta(\mathbf{R}).$

Тогда (за нормировкой не слежу):

$\rho_2 \approx |\psi(-\mathbf{r}_2 M/m_1)|^2, \qquad \rho_1 \approx |\psi(\mathbf{r}_1 M/m_2)|^2 \, .$

Ну, и поскольку радиальная часть в $\psi(\mathbf{r})$ зависит от $r/a$ с боровским радиусом $a$ с приведённой массой, то получается, что в этом приближении "облака вероятности" $\rho_2$ и $\rho_1$ устроены одинаково, с той только разницей, что $\rho_2$ зависит от $r_2/a_2$ с "протонным боровским радиусом", а $\rho_1$ зависит от $r_1/a_1$ с "электронным боровским радиусом".

Присоединяюсь к предложению уважаемого amon о том, чтобы ТС привёл свои выкладки и пояснил своё текущее отношение к вопросам этой своей темы.

[Roton]

amon' писал(а):

Проведите пожалуйста все необходимые математические выкладки для основного состояния атома водорода и покажите, что

Roton' писал(а):

волновая функция протона будет локализована в области в 1836 раз меньшей, чем волновая функция электрона.

Вы сильно отстали от развития событий в теме, если цитируете первый пост. Обратите внимание, что далее в теме было сказано, что достаточно матрицы плотности, а не волновой функции и далее был переход просто к картинке и орбитали.

[Red_Herring]

Roton в сообщении #1299736 писал(а):

Вы сильно отстали от развития событий в теме, если цитируете первый пост. Обратите внимание, что далее в теме было сказано, что достаточно матрицы плотности, а не волновой функции и далее был переход просто к картинке и орбитали.

Обратите внимание, что вы цитируете довольно старый пост amon. И обратите внимание на полезный совет

Alex-Yu в сообщении #1299595 писал(а):

Кончайте ваньку валять, и подумайте.

И заметьте, что

amon в сообщении #1299555 писал(а):

Тут место нехорошее,

Alex-Yu в сообщении #1299595 писал(а):

Здесь фриков не любят.

«Понедельник начинается в субботу» писал(а):

Не советую, молодой человек, не советую. Съедят.

[Roton]

Cos(x-pi/2) писал(а):

Выбор $\varphi(\mathbf{R},t)$ в виде плоской волны с определённым $\mathbf{P},$ увы, не описывает атом, находящийся мало-мальски в определённом месте. (Причём, состояние с $\mathbf{P}=0,$ имхо, вообще не физическое: не знаю, как такую "плоскую волну" приготовить).

... видимо, как и говорит ТС, из $\mathbf{R}=0$ следует ...

Давайте уточним. Плоскую волну предложил Alex-Yu. Очевидно, что из соотношения Гейзенберга, да и просто из формулы плоской волны следует бесконечная неопределенность сопряженной переменной. Все это даже не КМ, а простейшие понятия из общей физики. Очевидно, волновой пакет как-то решает проблему. Но дело в том, что я уже пытался в теме упомянуть соотношение Гейзенберга, что было проигнорировано. Поэтому второй раз для Алех-Yu писать не стал. К тому же, движение ЦТ, если оно отделяется (а ого отделяется, ЛЛ-3), становится второстепенным. Теперь Alex-Yu стал добавлять еще какие-то внешние потенциалы, но без всего этого вполне можно обойтись. Предлагаю сосредоточиться на внутреннем движении.

-- 26.03.2018, 00:09 --

Red_Herring писал(а):

Обратите внимание, что вы цитируете довольно старый пост amon.

Вы о чем? Я цитирую его последний пост относящияся ко мне.

[Red_Herring]

Roton в сообщении #1299744 писал(а):

Теперь Alex-Yu стал добавлять еще какие-то внешние потенциалы, но без всего этого вполне можно обойтись. Предлагаю сосредоточиться на внутреннем движении.

"Внутреннее движение" (то, что получается после отделения центра масс) описывает одну частицу, и разобраться с ней никакого труда не представляет. Беда в том, что эта "одна частица" ни электроном, ни протоном не является.

[Roton]

Cos(x-pi/2) писал(а):

Просто я попытался понять, как придать смысл вопросу топикстартера о нахождении "распределения вероятности для координат протона $\mathbf{r}_2$ в атоме водорода", и заодно о "распределении вероятности для координат электрона $\mathbf{r}_2$ в атоме водорода".

В теме было уже несколько вариантов и уточнений. Нельзя обсуждать все варианты сразу, вы - промежуточный, я - последний.

Давайте немного снизим накал у упростим вопрос до предела. Во всех книжках есть картинка, часто ее называют орбиталь, обычно ее относят к электрону, но часто и ко всей системе - атому. Вопрос. Как нарисовать аналогичную картинку для протона? Когда все поймен на пальцах, начнем наворачивать матрицы плотности и все, что потребуется. Мой ответ на пальцах такой. Картинка для протона в 1836 раз компактнее в пространстве, чем картинка из книжек, где сказано, что картинка дана для электрона. Имеется ли у вас подобный (или совсем другой) ответ на пальцах?

Red_Herring писал(а):

Roton писал(а):

Теперь Alex-Yu стал добавлять еще какие-то внешние потенциалы, но без всего этого вполне можно обойтись. Предлагаю сосредоточиться на внутреннем движении.

"Внутреннее движение" (то, что получается после отделения центра масс) описывает одну частицу, и разобраться с ней никакого труда не представляет. Беда в том, что эта "одна частица" ни электроном, ни протоном не является.

Совершенно верно. Но это не беда, это нормально! Именно в таком ключе я и говорил об этой частице. И далее я говорил о простейшей связи между координатами этой частицы и координатами протона с электроном.

Во, нашел... сам себя цитирую:

Roton писал(а):

Возврщаемся от координат абстрактной частицы $\vec{r}$ к координатам протона $\vec{r_p}$ и электрона $\vec{r_e}$:

$$\vec{r_p}= -\frac{m_e}{m_e + m_p}\vec{r}, \ \ \ \ \ \ \ \vec{r_e}= \frac{m_p}{m_e + m_p}\vec{r}$$

При этом картинка (оболако, орбиталь) для электрона сожмется по координатам едва заметно, а картинка для протона сожмется в 1837 раз.

Теперь я хотел бы обратить внимание на важнейший момент, который имеется как в физике на пальцах, так и в самой строгой постановке. Если мы примем, что картинка для электрона возможна, то тогда и картинка для протона возможна. Останется ее перерисовать, все дела. Но если мы скажем, что картинка для атома возможна, а для электрона и соответственно протона невозможна, то мы будем долго спорить, чьи слова круче. Но это не беда, а бедой будет то, что половину книг по физике, где дается картинка именно для электрона, надо будет повесить в rest room на гвоздик.

[Red_Herring]

Roton в сообщении #1299750 писал(а):

Совершенно верно. Именно в таком ключе я и говорил об этой частице. И далее я говорил о простейшей связи между координатами этой частицы и координатами протона с электроном.

Святая инквизиция сжигала не всяких еретиков, а только упорствующих в ереси...

[Munin]

Roton в сообщении #1299750 писал(а):

Когда все поймен на пальцах, начнем наворачивать матрицы плотности и все, что потребуется.

Видите ли, физика (и наука вообще) так не работает. Она работает в обратную сторону.

"Во всех книжках" может быть написана какая угодно ерунда. Не важно, какая. Важно, откуда она там взялась? Ответ: из умных и строгих книжек.

А в умных и строгих книжках написано немножко другое. Там написаны точные формулировки, точные формулы, строгие расчёты и строгие доказательства. Если они где-то дальше упрощаются до неправильности - не важно. Важно, что к природе относятся именно эти "навороченные" выкладки.

И сначала физики вычислили эти "навороченные" выкладки, а потом уже они попали в умные книжки, а оттуда просочились во всякие другие, потому что надо же детям картинки показывать. И теперь дети и их учителя могут что-то друг другу "объяснять на пальцах", но это самообман: настоящее объяснение осталось на уровне строгих книжек.

И всё понять вы не сможете, пока на этот уровень не подниметесь, и своими мозолистыми руками не проделаете расчёты.

[Roton]

Red_Herring писал(а):

Roton писал(а):

Совершенно верно. Именно в таком ключе я и говорил об этой частице. И далее я говорил о простейшей связи между координатами этой частицы и координатами протона с электроном.

Святая инквизиция сжигала не всяких еретиков, а только упорствующих в ереси...

Вы о чем? Координаты этой частицы с приведенной массой были получены из координат протона и электрона простейшим преобразованием. Почему преобразование "наоборот" не будет простым?

Munin писал(а):

Там написаны точные формулировки, точные формулы, строгие расчёты и строгие доказательства.

Это вы про ЛЛ-3? Ссылки на Фока, где он макал его книжки дать? А вот ссылки на Боголюбова под рукой нет. Но смеялась вся Престольная.

Типичная цитата с семинара Боголюбова.
- Академик Лифшиц в зале присутствует?
- (после догой паузы) Ога...
- Академик Лифшиц с прозвучавшей критикой согласен?
- (еще более догая пауза) Ога...

[amon]

Roton в сообщении #1299736 писал(а):

Вы сильно отстали от развития событий в теме, если цитируете первый пост.

amon в сообщении #1299562 писал(а):

При это возможны три исхода
- Все наконец поймут Ваше утверждение и согласятся с Вами
- Вы поймете, что заблуждаетесь и все успокоятся
- Вы ничего делать не будете и продолжите сотрясать воздух словесной эквилибристикой

То есть идем по третьему пути. Ну что ж, скатертью дорожка.

[Munin]

Roton в сообщении #1299759 писал(а):

Это вы про ЛЛ-3?

По рассматриваемому вопросу можно открыть множество других учебников: Давыдова, Мессиа, кого там ещё. ЛЛ-3 упоминается только как общедоступный и распространённый, de facto стандарт.

А вот самому научиться писать что-то внятное, хотя бы на уровне ЛЛ-3 (но никто не будет возражать, если на уровне Фока или Боголюбова), - необходимо.