Как найти волновую функцию протона в атоме водорода?

[Roton]

1. Ограничимся обычным уравнением Шредингера, то есть сделаем вид, что мы ничего не знаем о кварках, струнах, Дираке, стандартной модели и пр.
2. Искомая функция должна дать просто амплитуду вероятности обнаружить протон на различных растояниях от центра тяжести системы протон-электрон.
3. Навскидку напрашивается такой ответ. Потенциал действующий на протон и электрон с точностью до знака один и тот же $U(\vec{r_1}-\vec{r_2})$, массы разные. Поэтому в окончательных формулах для хорошо известных волновых функций электрона заменяем $m_e$ на $m_p$. При этом волновая функция протона будет локализована в области в 1836 раз меньшей, чем волновая функция электрона.

Вопрос. Что можно возразить против такого "шустрого" решения?

[Red_Herring]

Roton в сообщении #1299166 писал(а):

Что можно возразить против такого "шустрого" решения?

А то, что если протон вы рассматриваете как квантовую частицу, вы должны писать $\Psi(\mathbf{Q},\mathbf{q})$ совместную волновую функцию двух квантовых частиц. При этом мы делаем вид, что ничего не знаем про спины. Потом надо отделять движение центра масс. А можно и наоборот: сначала отделить движение центра масс, а затем квантовать

[Munin]

Roton в сообщении #1299166 писал(а):

Вопрос. Что можно возразить против такого "шустрого" решения?

Слишком шустрое, а так - верное. Более формальное обоснование см. в ЛЛ-3 глава 5, по аналогии с задачей двух тел.

Red_Herring
Но результат-то будет именно тот.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1299179 писал(а):

Но результат-то будет именно тот.

Только это не волновая функция протона. В этой задаче у протона вообще нет волновой функции (одночастичной!!!), только матрица плотности. А волновая функция есть только двухчастичная.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1299194 писал(а):

Только это не волновая функция протона.

Ну, "орбиталь" :-) Главное, что она имеет тот же смысл, что и общеизвестные картинки электронных облачков - для электрона.

[Roton]

Munin писал(а):

Более формальное обоснование см. в ЛЛ-3 глава 5, по аналогии с задачей двух тел.

Благодарю!

В ЛЛ-3 гл 5 гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей описывающих движение центра инерции и движение одной частицы с приведенной массой и новым радиус вектором.

1. Можно ли движение центра инерции полностью исключить перейдя c самого начала в систему координат в которой он покоится? Я понимаю, что все равно при взвимодействии с прибором будут наблюдаться ненулевые значения центра инерции даже в новой системе координат (Гейзенберг рулит). Но в целях нахождения картинок облачка протона нужна волновая функция ДО взаимодействия с прибором.

2. Можно ли далее додавить задачку следующим путем чтобы соблюсти все приличия :
Решаем уравнение для одной частицы с приведенной массой.
Заменяем приведенную массу сначала на массу протона, потом на массу электрона.
Перемножаем две новые функции, получаем двухчастичную волновую функцию.
Интегрируем по координатам электрона, получаем множитель единица.
То, что останется и будет одночастичная волновая функция протона.

Alex-Yu писал(а):

Только это не волновая функция протона. В этой задаче у протона вообще нет волновой функции (одночастичной!!!), только матрица плотности. А волновая функция есть только двухчастичная.

При стандатном подходе волновая функция протона как бы игнорируется и решение называют волновой функцией электрона. Что нужно сделать чтобы получилось наоборот, то есть неважно где мы обнаружим электрон, важно где будет протон. Или другими словами как можно немного переформулировать задачу чтобы на выходе была одночастичная ВФ протона?

Red_Herring писал(а):

А можно и наоборот: сначала отделить движение центра масс, а затем квантовать

Можно ли отделить движение центра масс просто переходом в новую систему отсчета как в классике или в КМ все будет иначе?

[Red_Herring]

Roton в сообщении #1299366 писал(а):

Можно ли отделить движение центра масс просто переходом в новую систему отсчета как в классике или в КМ все будет иначе?

Можно ли отделить движение центра масс просто переходом в новую систему отсчета как в классике, а потом квантовать, получитдя то же самое

Roton в сообщении #1299366 писал(а):

Перемножаем две новые функции, получаем двухчастичную волновую функцию.

С какого фонаря?

Roton в сообщении #1299366 писал(а):

Но в целях нахождения картинок облачка протона нужна волновая функция ДО взаимодействия с прибором.

А для этого волновая функция протона не нужна, а нужна его матрица плотности.

[Munin]

Roton в сообщении #1299366 писал(а):

1. Можно ли движение центра инерции полностью исключить перейдя c самого начала в систему координат в которой он покоится?

Обратите внимание на такую тонкость во фразе (§ 32):

Цитата:

Соответственно этому, можно искать $\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ в виде произведения $\varphi(\mathbf{R})\psi(\mathbf{r}),$ где функция $\varphi(\mathbf{R})$ описывает движение центра инерции (как свободное движение частицы с массой $m_1+m_2$), а $\psi(\mathbf{r})$ описывает относительное движение частиц (как движение частицы массы $m$ в центрально-симметричном поле $U = U(r)$).

(подчёркивание моё). Можно - не значит нужно; неверно, что всякая $\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ распадается в такое произведение, и это существеннейшее отличие квантовой задачи от классической. В квантовой задаче, "подсистемы" $\varphi(\mathbf{R})$ и $\psi(\mathbf{r})$ могут оказаться сцепленными ("запутанными", entangled), и никуда от этого не деться, и эволюция системы этого не исправит.

Максимум, на что вы можете полагаться, это что всевозможные произведения $\varphi(\mathbf{R})\psi(\mathbf{r})$ образуют базис искомого пространства состояний.

Roton в сообщении #1299366 писал(а):

2. Можно ли далее додавить задачку следиющим путем чтобы соблюсти все приличия :
...
То, что останется и будет одночастичная волновая функция протона.

Как вам правильно указал Alex-Yu, то, что останется, будет матрица плотности. См. ЛЛ-3 § 14.

Roton в сообщении #1299366 писал(а):

При стандатном подходе волновая функция протона как бы игнорируется и решение называют волновой функцией электрона.

Не надо путать стандартный подход, и его полупопулярное изложение со "срезанными углами". Стандартный подход - это ровно то, что в ЛЛ-3.

[Alex-Yu]

Roton в сообщении #1299366 писал(а):

Или другими словами как можно немного переформулировать задачу чтобы на выходе была одночастичная ВФ протона?

Нет, нельзя. Ну разве что если считать электрон бесконечно тяжелым Но это физически бессмысленно. Бесконечно тяжелый протон -- это приближение. Бесконечно тяжелый электрон --- чушь какая-то.

Нет ни одночастичной ВФ протона, ни одночастичной ВФ электрона (если не считать протон бесконечно тяжелым). Есть двухчастичная ВФ. Правда, она устроена довольно просто, плоская волна по координатам центра тяжести и как бы одночастичная волновая функция по остальным координатам, соответствующим относительному расположению электрона и протона. Движение протона скоррелировано с движением электрона. Скажем, когда электрон слева от центра масс, протон гарантированно справа. И т.д. Причем расстояния от центра масс тоже связаны друг с другом (иначе ЦМ не будет в нужном месте). Поэтому и получается одночастичная задача с приведенной массой. В принципе нет никакой разницы через какую координату выражать ВФ этой эффективной одночастичной задачи (в ней координаты электрона и протона "жестко сцеплены"). Можно и через координаты протона. Но только надо понимать, что это НЕ ВФ ПРОТОНА!

-- Сб мар 24, 2018 12:49:40 --

Roton в сообщении #1299366 писал(а):

Что нужно сделать чтобы получилось наоборот, то есть неважно где мы обнаружим электрон, важно где будет протон.

Если не важно где электрон, то все, никакой волновой функции. Только матрица плотности. Впрочем, ее вполне достаточно для нахождения плотности вероятности расположения протона.

Обратите внимание, что "не важно где электрон" это совсем не то же самое, что получается, когда координаты электрона выражаются через координаты протона так, что бы центр масс был в заданном месте. Именно второй вариант фигурирует в приведенной задаче. Никакого "не важно где электрон" в этой задаче нет.

[Roton]

Попробуем все вопросы разделить на две категории:
А. Уточнение терминологии
B. Все остальное

А. Уточняем.
Вопрос. Как вычислить вероятность нахождения протона на раличных растояниях от центра тяжести атома водорода? Ответ можно получить используя результаты гл 5 ЛЛ-3 для абстрактной частицы с приведенной массой. Возврщаемся от координат абстрактной частицы $\vec{r}$ к координатам протона $\vec{r_p}$ и электрона $\vec{r_e}$:

$$\vec{r_p}= -\frac{m_e}{m_e + m_p}\vec{r}, \ \ \ \ \ \ \ \vec{r_e}= \frac{m_p}{m_e + m_p}\vec{r}$$

При этом картинка (оболако, орбиталь) для электрона сожмется по координатам едва заметно, а картинка для протона сожмется в 1837 раз.

B. Остальное

Munin писал(а):

Обратите внимание на такую тонкость во фразе (§ 32):

Цитата:

Соответственно этому, можно искать $\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ в виде произведения $\varphi(\mathbf{R})\psi(\mathbf{r}),$ ...

(подчёркивание моё). Можно - не значит нужно; неверно, что всякая $\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ распадается в такое произведение, и это существеннейшее отличие квантовой задачи от классической. В квантовой задаче, "подсистемы" $\varphi(\mathbf{R})$ и $\psi(\mathbf{r})$ могут оказаться сцепленными ("запутанными", entangled), и никуда от этого не деться, и эволюция системы этого не исправит.

Я понимаю термин "можно" как "разрешено, допустимо", точнее допустимо при всех явных и неявных предположениях и допущениях из гл 5 ЛЛ-3.

Теперь рассмотрим систему очень похожую на атом водорода, но дополненую прикрученой маленькой педалькой, нажимая которую можно менять степень запутанности электрона и протона по координатам от нуля до 100%. Можно ли изменение степени запутанности наглядно изобразить так:

• 100%. Если электрон в точке $\vec{r_e}$, то протон в точке $\vec{r_p}$ (обе точки определены выше)
• 50%. Если электрон в точке $\vec{r_e}$ , то протон вблизи точки $\vec{r_p}$
• 0%. Если электрон в точке $\vec{r_e}$, то протон в любой точке в пределах его облака, которое в 1836 раз компактнее облака электрона.

Вопрос. Какова примерно степень запутанности в атоме водорода в невозбужденном состоянии в вакууме без внешних полей после часа релаксации и без педальки ?

[Munin]

Roton в сообщении #1299525 писал(а):

Я понимаю термин "можно" как "разрешено, допустимо", точнее допустимо при всех явных и неявных предположениях и допущениях из гл 5 ЛЛ-3.

Фишка именно в том, чтобы понять, какие там неявные допущения. Одно из них я вам озвучил.

Roton в сообщении #1299525 писал(а):

Теперь рассмотрим систему очень похожую на атом водорода, но дополненую прикрученой маленькой педалькой, нажимая которую можно менять степень запутанности электрона и протона по координатам от нуля до 100%.

Так низя.

Во-первых, я не говорил про подсистемы "электрон и протон". Я говорил про подсистемы "центр масс" и "приведённая масса".

Во-вторых, степень запутанности не меняется педалькой. Надо чётко расписать базис состояний (двухчастичной системы), и в каких подпространствах вы находитесь при каких ваших "процентах".

В общем, рекомендую прочитать сначала ЛЛ-3 все §§ 1-14.

Чтобы не произносить бессмысленные словосочетания типа "степень запутанности".

[amon]

Roton в сообщении #1299525 писал(а):

Ответ можно получить используя результаты гл 5 ЛЛ-3 для абстрактной частицы с приведенной массой. Возврщаемся от координат абстрактной частицы $\vec{r}$ к координатам протона $\vec{r_p}$ и электрона $\vec{r_e}$:

$$\vec{r_p}= -\frac{m_e}{m_e + m_p}\vec{r},\quad \vec{r_e}= \frac{m_p}{m_e + m_p}\vec{r}$$

Понимая, что дело безнадежное, все-таки спрошу. А как Вам удалось получить эти замечательные формулы?

[Roton]

amonэ писал(а):

А как Вам удалось получить эти замечательные формулы?

Координаты протона и электрона даны в системе центра масс, т.е. из исходных координат вычтено положение центра масс.

Проверяем. Разность координат протона и электрона дает $\vec{r}$, положение нового ц.т. совпадает с началом новой СО.

Термин "возвращаемся" получился немного двусмысленным. В самую первую СО мы не возвращаемся.

-- 24.03.2018, 23:43 --

Munin писал(а):

... я не говорил про подсистемы "электрон и протон". Я говорил про подсистемы "центр масс" и "приведённая масса". ...

Совершенно верно! Этот случай в ЛЛ рассмотрен и сказано, что "... распадается в произведение ..."

Теперь рассматриваем другой случай... с педалькой...
Педалька меняет степень когерентности, т.е. немножко (или множко) возмущает систему.

[Alex-Yu]

Roton в сообщении #1299525 писал(а):

Какова примерно степень запутанности в атоме водорода

Ну, если в такой, несколько необычной, терминологии, то всегда 100 %

-- Вс мар 25, 2018 02:50:40 --

Roton в сообщении #1299525 писал(а):

0%. Если электрон в точке $\vec{r_e}$, то протон в любой точке в пределах его облака, которое в 1836 раз компактнее облака электрона.

Бог его знает, когда такое возможно. Но точно не в атоме водорода!

[amon]

Roton в сообщении #1299532 писал(а):

Координаты протона и электрона даны в системе центра масс

Замечательно! Теперь осталось объяснить, что такое переход в систему центра масс для волновой функции в квантовой механике. Это вполне посильная задача, правда не имеющая ничего общего с той феерической ерундой, которую Вы написали. Если открыть помянутую вами всуе пятую главу, то она начинается с формул (в Ваших обозначениях)

$$ \begin{align} \mathbf{r}&=\mathbf{r}_e-\mathbf{r}_p\\ \mathbf{R}&=\frac{m_e\mathbf{r}_e+m_p\mathbf{r}_p}{m_e+m_p} \end{align} $$

В системе центра масс импульс всей системы равен нулю, волновая функция от $\mathbf{R},$ а значит и от масс не зависит напрямую, а зависит только от $\mathbf{r},$ в который массы не входят. Посему Ваши рассуждения отправляются коту под хвост. Учить мат.часть.