Некоторые странности ОТО

[monky99]

Geen в сообщении #1292891 писал(а):

Дайте, пожалуйста, определение "области".

Если пространство-время рассматривать как некое множество, то область пространства-времени будет подмножеством этого множества.

Geen в сообщении #1292891 писал(а):

Кто говорит? Цитату, пожалуйста.

Обсуждение теории и авторов теории Большого Взрыва несколько выходит за рамки данной темы. Так что может быть Вы просто погуглите?

Geen в сообщении #1292891 писал(а):

И пояснения того, какое отношение это имеет к "Шварцшильду".

А я то откуда это знаю? Это ведь вы задали следующий вопрос:

Geen в сообщении #1292878 писал(а):

Откуда оно взялось?

Так что это у Вас надо спросить, какое отношение имеет происхождение трехмерного пространства к "Шварцшильду"?

[Geen]

monky99 в сообщении #1292894 писал(а):

область пространства-времени будет подмножеством этого множества.

Произвольным?

-- 16.02.2018, 21:43 --

monky99 в сообщении #1292894 писал(а):

Обсуждение теории и авторов теории Большого Взрыва несколько выходит за рамки данной темы.

Так зачем Вы завели этот оффтоп?

monky99 в сообщении #1292894 писал(а):

какое отношение имеет происхождение трехмерного пространства к "Шварцшильду"?

Вы же определяете некие "точки" в неком "трёхмерном пространстве" - вот и сформулируйте что Вы имели в виду.

[monky99]

Geen в сообщении #1292902 писал(а):

Произвольным?

Что Вы имеете в виду?

Geen в сообщении #1292902 писал(а):

Так зачем Вы завели этот оффтоп?

Кто? Я????!!!!!!!!!!!

Geen в сообщении #1292902 писал(а):

Вы же определяете некие "точки" в неком "трёхмерном пространстве" - вот и сформулируйте что Вы имели в виду.

То же самое, что имеют в виду при формулировании школьных задач, типа: из пункта А в пункт В вышел пешеход........ а из пункта В в пункт А выехал велосипедист...........

[arseniiv]

Так там ведь не ОТО, там вообще аристотелевское абсолютное пространство-время. Даже а галилеевом точки пространства уже не существуют независимо от системы отсчёта.

[epros]

monky99 в сообщении #1292875 писал(а):

В таком случае мои координаты в этом самом Вашем некотором смысле координаты Шварцшильда.

Нет. Координаты Шварцшильда имеют разрыв только на $r=2M$, но не на $r=30M$.

monky99 в сообщении #1292875 писал(а):

Где вы тут разрыв метрики увидели?!!

На $r=30M$.

monky99 в сообщении #1292875 писал(а):

Я имею в виду точки в трехмерном пространстве.

Как я сказал, материальные точки изображаются времени-подобными линиями. Линия $r=\operatorname{const}$ под горизонтом таковой не является.

monky99 в сообщении #1292875 писал(а):

Так вот, где эти области можно однозначно определить не привлекая к этому ни метрику, ни длины интервалов. Каким образом это сделать, я описал в предыдущем сообщении.

Это невозможно. Световой конус определяется именно метрикой, т.е. интервалами. Стало быть, не описали.

monky99 в сообщении #1292875 писал(а):

И если взять линию $r=\operatorname{const}$, проходящую через вершину светового конуса, то верхняя её половина лежит в области абсолютного будущего, а нижняя - в области абсолютного прошлого (если рисовать диаграмму как это обычно принято).

Неверно, и потому так не может быть принято. Световой конус в Шварцшильде под горизонтом ориентирован либо справа налево (если это чёрная дыра), либо слева направо (если это белая дыра).

monky99 в сообщении #1292875 писал(а):

Интервал вдоль этой линии в самом деле пространственно-подобный. Но это не делает координату $t$ пространственной. Под горизонтом этот признак деления координат на пространственные и временные просто не работает.

Именно это и есть единственный признак, делающий координату пространственной. И под горизонтом в том числе.

monky99 в сообщении #1292875 писал(а):

В МТУ говорят о сжимающейся СК Эддингтона-Финкельштейна и о расширяющейся СК Эддингтона-Финкельштейна.

Первая распространяется на ту область, которая называется чёрной дырой, вторая - на ту, что называется белой дырой.

monky99 в сообщении #1292875 писал(а):

А в расширяющейся СК - мировыми линиями падающих фотонов. (Если не верите гляньте в МТУ. Я это не сам придумал.)

Это называется не горизонт событий, а горизонт частиц.

Вам бы при Ваших знаниях поменьше выпендриваться.

[monky99]

epros в сообщении #1292945 писал(а):

monky99 в сообщении #1292875 писал(а):

В таком случае мои координаты в этом самом Вашем некотором смысле координаты Шварцшильда.

Нет. Координаты Шварцшильда имеют разрыв только на $r=2M$, но не на $r=30M$.

monky99 в сообщении #1292875 писал(а):

Где вы тут разрыв метрики увидели?!!

На $r=30M$.

А что такое "разрыв координат"? Я тут заглянул в учебники, но такого термина не нашел.

Ладно. Давайте разбираться с разрывом метрики.
Метрика это набор из десяти функций от координат. В случае моих координат везде над гравитационным радиусом это следующие функции:
$g_t_t=2M/r-1$, $g_r_r=\frac{1}{1-2M/r}$, $g_{\theta \theta}=r^2$, $g_{\varphi \varphi}=r^2\sin^2\theta$
Остальные функции тождественно равны $0$.

Теперь смотрим на определение непрерывности функции.
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального счисления. Т.1, 1967.

Согласно этому определению, над гравитационным радиусом все функции метрики непрерывны, т.е. разрывов нет. Если у всех функций разрывов нет, то и разрывов метрики тоже нет.

А Вы увидели разрыв при $r=30M$. Объясните, пожалуйста, почему Вы решили, что там есть разрыв метрики.

[Geen]

monky99 в сообщении #1293014 писал(а):

Согласно этому определению, над гравитационным радиусом все функции метрики непрерывны

Неверно. И это очевидно даже троечнику в матанализе.

[monky99]

Geen в сообщении #1293017 писал(а):

monky99 в сообщении #1293014 писал(а):

Согласно этому определению, над гравитационным радиусом все функции метрики непрерывны

Неверно. И это очевидно даже троечнику в матанализе.

Докажите свое утверждение.
Если честно, то Ваши голословные утверждения уже начинают доставать...

[epros]

monky99 в сообщении #1293014 писал(а):

Объясните, пожалуйста, почему Вы решили, что там есть разрыв метрики.

Читайте внимательнее, чтобы не приходилось повторяться:

epros в сообщении #1292791 писал(а):

В том смысле, что между точками с бесконечно близкими координатами имеет место ненулевой интервал.

Вообще, это довольно забавная идея - объявлять дельта-функцию Дирака непрерывной (в нуле) на том основании, что она слева и справа от нуля имеет одинаковые значения.

[realeugene]

monky99 в сообщении #1292766 писал(а):

Так ведь системы координат от балды строятся. Так что имею полное право выпендриваться как хочу.

Знакомы ли вы с понятием "многообразие"? Если нет - кончайте с троллингом и идите читать учебники. Для понимания ОТО требуется знание (псевдо)римановой геометрии, и никак иначе.

[monky99]

epros в сообщении #1293020 писал(а):

monky99 в сообщении #1293014 писал(а):

Объясните, пожалуйста, почему Вы решили, что там есть разрыв метрики.

Читайте внимательнее, чтобы не приходилось повторяться:

epros в сообщении #1292791 писал(а):

В том смысле, что между точками с бесконечно близкими координатами имеет место ненулевой интервал.

Вообще, это довольно забавная идея - объявлять дельта-функцию Дирака непрерывной (в нуле) на том основании, что она слева и справа от нуля имеет одинаковые значения.

Если честно, то этой фразы - "В том смысле, что между точками с бесконечно близкими координатами имеет место ненулевой интервал." - я не понимаю. Честное слово, я хочу понять. Объясните, пожалуйста. Или дайте ссылку, где почитать.

А при чём здесь дельта-функция? И кто её объявляет непрерывной (в нуле)?

[monky99]

При падении в чёрную дыру частицы, обладающей массой, её скорость при приближении к гравитационному радуиусу стремится к скорости света (по расчётам в координатах Шварцшильда).
В самом деле, для мировой линии падающего фотона $dr/dt=2M/r-1$
Для мировой линии падающей с радиуса $R$ частицы $dr/dt=\frac{(2M/r-2M/r)^{1/2}(2M/r-1)}{(1-2M/R)^{1/2}}$
Оба выражения при стремлении $r$ к $2M$ стремятся к $0$.
Правда, говорят, что это всё шутки координатной сингулярности и в действительности эта частица скорости света не достигает. И это видно в других, несингулярных системах координат.
Глянем, что в координатах Эддингтона-Финкельштейна.
Сжимающаяся система координат.
Преобразование координат $r=r$, $V=t+r+2M \ln|r/2M-1|$

$dr=dr$
$dV=dt+\frac{dr}{(1-2M/r)}$
$dV/dr = dt/dr + 1/(1-2M/r)$

Для падающего фотона $dV/dr = 1/(2M/r-1) + 1/(1-2M/r)=0$
Для падающей частицы $dV/dr =\frac{(1-2M/R)^{1/2}}{(2M/r-2M/R)^{1/2}(2M/r-1)} + 1/(1-2M/r)$ и предел этого выражения при $r$ стремящемся к $2M$ равен $0$.

Заодно и для вылетающих. Частица, естественно, долетит только до радиуса $R$
Для вылетающего фотона $dV/dr = 1/(1-2M/r) + 1/(1-2M/r)=2/(1-2M/r)$
Для вылетающей частицы $dV/dr =\frac{(1-2M/R)^{1/2}}{(2M/r-2M/R)^{1/2}(1-2M/r)} + 1/(1-2M/r)$
Оба выражения стремятся к бесконечности при стремлении $r$ к $2M$.

Расширяющаяся система координат.
Преобразование координат $r=r$, $U=t-r-2M \ln|r/2M-1|$

$dr=dr$
$dU=dt-\frac{dr}{(1-2M/r)}$
$dU/dr = dt/dr - 1/(1-2M/r)$

Для падающего фотона $dU/dr = 1/(2M/r-1) - 1/(1-2M/r)=-2/(1-2M/r)$
Для падающей частицы $dU/dr =\frac{(1-2M/R)^{1/2}}{(2M/r-2M/R)^{1/2}(2M/r-1)} - 1/(1-2M/r)$ и предел этого выражения при $r$ стремящемся к $2M$ равен минус бесконечности.

Ну и для вылетающих.
Для вылетающего фотона $dU/dr = 1/(1-2M/r) - 1/(1-2M/r)=0$
Для вылетающей частицы $dV/dr =\frac{(1-2M/R)^{1/2}}{(2M/r-2M/R)^{1/2}(1-2M/r)}- 1/(1-2M/r)$
И это выражение стремятся к $0$ при стремлении $r$ к $2M$.

Я ничего не напутал?

[epros]

monky99 в сообщении #1293022 писал(а):

Честное слово, я хочу понять.

Какое слово тут непонятно? Метрика - это функция, определяющая расстояния (интервалы) между точками A и В: $s(A, B)$. Метрический тензор - это дифференциальная форма записи данной функции для заданных координат, т.е. в пределе малых изменений $dx^i$ - координат точки B относительно выбранной точки A, имеющей координаты $x^i$: $ds^2(x^i, x^i+dx^i) = g_{jk}(x^i) dx^j dx^k$. В Ваших координатах, если разности координат точек A и B малы, причём точка A лежит слева от линии $r=30M$, а точка B - справа, интервал $s(A, B)$ между ними остаётся всё же не малым. Это значит, что функция $s(A, B)$ имеет разрыв на линии $r=30M$.

Да, левый и правый пределы $g_{ij}$ на линии $r=30M$ остаются равны. Ну и что? Это как с интегралом от дельта-функции: Он имеет разрыв в нуле, хотя левый и правый пределы самой дельта-функции равны.

Поэтому такие (разрывные по метрике) координаты в дифференциальной геометрии не используются.

monky99 в сообщении #1293035 писал(а):

скорость при приближении к гравитационному радуиусу стремится к скорости света

Не заморачивайтесь этими расчётами. Они не имеют смысла по следующим причинам:
1) "Скорость" - это величина, зависимая от системы отсчёта, а поэтому Вам сначала необходимо разобраться с тем, как связать систему отсчёта с координатами (а это не всегда возможно, например, под горизонтом связать систему отсчёта с координатами Щварцшильда или Эддингтона-Финкельштейна невозможно).
2) Корректное определение скорости (той, которая относительно системы отсчёта) отличается от производной одной координаты по другой. Хотя последнюю величину тоже иногда называют "скоростью", но, вообще говоря, это совсем другая величина.
3) Если Вы получаете, что скорость любого падающего под горизонт тела оказывается равной скорости света (а это так для системы отсчёта, связанной с координатами Шварцшильда или Эддингтона-Финкельштейна), то этому не следует слишком удивляться, потому что такова особенность этой системы отсчёта - заканчивающейся на горизонте, который как раз и является движущейся вместе со светом поверхностью.

[monky99]

epros в сообщении #1293060 писал(а):

Да, левый и правый пределы $g_{ij}$ на линии $r=30M$ остаются равны. Ну и что? Это как с интегралом от дельта-функции: Он имеет разрыв в нуле, хотя левый и правый пределы самой дельта-функции равны.

Дельта-функцию может объявить непрерывной только человек либо не знающий определения непрерывности функции, либо не умеющий пользоваться определениями. Левый и правый пределы дельта функции при $x=0$ равны, но это только первое условие. Второе условие - эти пределы должны равняться значению функции в данной точке. А это условие не выполняется.
Так что эта аналогия явно мимо.

epros в сообщении #1293060 писал(а):

Какое слово тут непонятно? Метрика - это функция, определяющая расстояния (интервалы) между точками A и В: $s(A, B)$. Метрический тензор - это дифференциальная форма записи данной функции для заданных координат, т.е. в пределе малых изменений $dx^i$ - координат точки B относительно выбранной точки A, имеющей координаты $x^i$: $ds^2(x^i, x^i+dx^i) = g_{jk}(x^i) dx^j dx^k$. В Ваших координатах, если разности координат точек A и B малы, причём точка A лежит слева от линии $r=30M$, а точка B - справа, интервал $s(A, B)$ между ними остаётся всё же не малым. Это значит, что функция $s(A, B)$ имеет разрыв на линии $r=30M$.

А вы внимательно посмотрите на Вашу фразу

epros в сообщении #1292791 писал(а):

В том смысле, что между точками с бесконечно близкими координатами имеет место ненулевой интервал.

Как я рассуждал. Есть точка $A(x^i)$, есть точка $B(x^i+dx^i)$ (точки с бесконечно близкими координатами). Интервал между ними $ds^2(x^i, x^i+dx^i) = g_{jk}(x^i) dx^j dx^k$. Но интервал равен нулю только по изотропным направлениям. По другим направлениям он ненулевой. А чтобы он был нулевым по всем направлениям необходимо, чтобы метрический тензор был нулевым тензором. Если взять ту же систему координат Шваршильда, то для неё для любой точки можно найти точку с бесконечно близкими координатами и ненулевым интервалом между этими точками. И в этом смысле можно метрику Шварцшильда объявить разрывной в любой точке.
Согласитесь, получилась полная ерунда. Вот я и не поверил, что Вы способны такую ерунду выдать.

На самом деле в моих координатах разрыва метрики нет. Все функции, её определяющие непрерывны.

epros в сообщении #1293060 писал(а):

Да, левый и правый пределы $g_{ij}$ на линии $r=30M$ остаются равны. Ну и что?

И значения функция равны этим пределам. Выполнено и первое условие и второе условие непрерывности функции.

epros в сообщении #1293060 писал(а):

В Ваших координатах, если разности координат точек A и B малы, причём точка A лежит слева от линии $r=30M$, а точка B - справа, интервал $s(A, B)$ между ними остаётся всё же не малым. Это значит, что функция $s(A, B)$ имеет разрыв на линии $r=30M$.

Вы просто путаете разрыв метрики с разрывом мировой линии(или геодезических). Вот мировые линии частиц в моих координатах действительно имеют разрывы при $r=30M$, за исключением точки $r=30M, t=0$.

О разрыве Вы говорите только потому, что знаете о его существовании. По виду самой метрики Вы этого сказать не сможете.

epros в сообщении #1293060 писал(а):

2) Корректное определение скорости (той, которая относительно системы отсчёта) отличается от производной одной координаты по другой. Хотя последнюю величину тоже иногда называют "скоростью", но, вообще говоря, это совсем другая величина.

Собственно говоря, в данном случае терминологические проблемы, а именно, что называть скоростью, не важны. В любом случае эти величины, как их не назови, пересчитываются одна в другую. Меня интересует соотношение одной и той же величины для фотона и массивной частицы.

epros в сообщении #1293060 писал(а):

3) Если Вы получаете, что скорость любого падающего под горизонт тела оказывается равной скорости света (а это так для системы отсчёта, связанной с координатами Шварцшильда или Эддингтона-Финкельштейна), то этому не следует слишком удивляться, потому что такова особенность этой системы отсчёта - заканчивающейся на горизонте, который как раз и является движущейся вместе со светом поверхностью.

А я этому и не удивляюсь. По моему мнению так и должно быть. Кстати, для координат Крускала это тоже так.
Удивляет меня следующее:

Это иллюстрации из МТУ, том третий.
Если я ничего не напутал в вычислениях, то на этих картинках ерунда нарисована. Не вообще ерунда, разумеется, а в тех местах, которые я отметил.

[epros]

monky99 в сообщении #1293160 писал(а):

Дельта-функцию может объявить непрерывной только человек либо не знающий определения непрерывности функции, либо не умеющий пользоваться определениями.

Это Вы?

monky99 в сообщении #1293160 писал(а):

Левый и правый пределы дельта функции при $x=0$ равны, но это только первое условие. Второе условие - эти пределы должны равняться значению функции в данной точке. А это условие не выполняется.
Так что эта аналогия явно мимо.

Эта аналогия явно в точку, ибо на $r=30M$ у Вас значение $g_{ij}$ будет такое же, как у дельта-функции в нуле.

monky99 в сообщении #1293160 писал(а):

Если взять ту же систему координат Шваршильда, то для неё для любой точки можно найти точку с бесконечно близкими координатами и ненулевым интервалом между этими точками. И в этом смысле можно метрику Шварцшильда объявить разрывной в любой точке.

Для координат Шваршильда разрыв есть только на $r=2M$. В других местах между близкими координатами наблюдаются малые интервалы.

monky99 в сообщении #1293160 писал(а):

И значения функция равны этим пределам. Выполнено и первое условие и второе.

Вы правда не понимаете или троллите?

monky99 в сообщении #1293160 писал(а):

Вы просто путаете разрыв метрики с разрывом мировой линии(или геодезических). Вот мировые линии частиц в моих координатах действительно имеют разрывы при $r=30M$, за исключением точки $r=30M, t=0$.

Это одно и то же. Интервалы между координатно близкими точками на мировой линии малы. Непрерывное преобразование координат сохраняет это условие. А Ваше - разрывное - нарушает.

monky99 в сообщении #1293160 писал(а):

О разрыве Вы говорите только потому, что знаете о его существовании. По виду самой метрики Вы этого сказать не сможете.

Ещё раз: "сама метрика" - это интервалы между точками. Вы просто неправильно посчитали значение $g_{ij}$ на $r=30M$.

monky99 в сообщении #1293160 писал(а):

Удивляет меня следующее:

Это иллюстрации из МТУ, том третий.
Если я ничего не напутал в вычислениях, то на этих картинках ерунда нарисована. Не вообще ерунда, разумеется, а в тех местах, которые я отметил.

Насколько я вижу, на рисунках всё правильно.