Некоторые странности ОТО

[monky99]

Прежде чем поговорим о первой странности, давайте решим следующую задачу.
Система единиц измерений - в которой $c=1$
Есть уединенное не вращающееся сферически симметричное тело массой $M=1$. Шварцшильдовские координаты. Вдоль радиуса на тело падает фотон. Нужно определить его координатную скорость на $r=1$.

Решение.
Для данного случая интервал
$ds^2=-(1-2M/r)dt^2+\frac{dr^2}{(1-2M/r)}+r^2(\sin^2\theta d\varphi ^2+d\theta^2)$
Интервал для мировой линии фотона $ds=0$, а поскольку фотон падает вдоль радиуса, то для неё $d\theta=0$ и $d\varphi=0$.
В результате получаем следующее уравнение:
$-(1-2M/r)dt^2+\frac{dr^2}{(1-2M/r)}=0=dt^2-dr^2$
Это уравнение имеет два решения:
$dr/dt=1$ и $dr/dt=-1$
Одно соответствует падающему фотону, т. е. нашему случаю. Другое соответствует вылетающему фотону.

А теперь небольшой опрос общественного мнения. Какое решение
какому случаю соответствует?

А потом я напишу свой вариант.

[realeugene]

monky99 в сообщении #1282791 писал(а):

В результате получаем следующее уравнение:
$-(1-2M/r)dt^2+\frac{dr^2}{(1-2M/r)}=0=dt^2-dr^2$

Уравнение должно содержать одно равенство, а не сразу два. Второе ваше равенство из первого не следует.
Соответственно. и решения у вас ошибочные.

[monky99]

realeugene в сообщении #1282826 писал(а):

monky99 в сообщении #1282791 писал(а):

В результате получаем следующее уравнение:
$-(1-2M/r)dt^2+\frac{dr^2}{(1-2M/r)}=0=dt^2-dr^2$

Уравнение должно содержать одно равенство, а не сразу два. Второе ваше равенство из первого не следует.
Соответственно. и решения у вас ошибочные.

Хорошо. Чтобы не было неясностей распишу подробнее.
В результате получаем следующее уравнение:
$-(1-2M/r)dt^2+\frac{dr^2}{(1-2M/r)}=0$
После подстановки исходных данных оно приобретает вид:
$dt^2-dr^2=0$
Ну а далее по тексту.
Теперь решения правильные?

[Erleker]

realeugene в сообщении #1282826 писал(а):

Уравнение должно содержать одно равенство, а не сразу два. Второе ваше равенство из первого не следует.
Соответственно. и решения у вас ошибочные.

Ну ТС же явно написал, что $M=1$, подставляет $r=1$, то есть находит значение метрического тензора в данный момент времени в $T_{-}$- области, где $r$ и $t$ "меняются ролями", одна теперь временная координата, другая пространственная. Результат неудивительный.

По теме:
Для падающего тут будет $dt/dr=1$. (обратно $R$-области, присутствует разрыв на $r=2$).

Но, вообще говоря, и поменять знак у $t$ в карте под горизонтом тоже можем.

[realeugene]

Erleker в сообщении #1282871 писал(а):

Ну ТС же явно написал, что $M=1$, подставляет $r=1$,

А, ну да.

Но тогда оба решения под горизонтом соответствуют "падающему вдоль радиуса фотону".

[Erleker]

Оба они, конечно, движутся со временем $r$ к сингулярности. Смысл вопроса, как я понимаю, в том, чья мировая линия может быть продлена в $R$-область.

[realeugene]

Erleker в сообщении #1282881 писал(а):

Смысл вопроса, как я понимаю, в том, чья мировая линия может быть продлена в $R$-область.

Мне сложно сказать, в чём именно был смысл этого вопроса, пока ТС не закончит его формулировку. Но понятно, что в координатах Шварцшильда нельзя продлить никакую линию из одной области в другую, так как нет ни одной карты, покрывающей горизонт.

[Erleker]

Продление мировой линии вещь от СК независящая. Неважно, что она в этих координатах разрывна. Суть в том, что один мог в прошлом быть вне $T_{-}$ -области (он "падающий), а другой нет.
Можете посмотреть эти решения в Леметра, чтобы был виден наглядный смысл этих двух фотонов (один "падает" по координате $R$, другой "вылетает").
А выбор знака $t$ в карте под горизонтом, собственно, делаем, как:


-- 10 янв 2018 13:58 --

Собственно, по рисунку и видно, что после $2$ $dr/dt$ меняет знак у мировых линий падающих частиц/ фотонов.

[realeugene]

Erleker в сообщении #1282891 писал(а):

Продление мировой линии вещь от СК независящая.

Вы же сами ранее заметили:

Erleker в сообщении #1282871 писал(а):

Но, вообще говоря, и поменять знак у $t$ в карте под горизонтом тоже можем.

Это значит, что для каждой области Шварцшильда можно выбрать своё отображение на общие координаты Леметра. Ну, появится где-то дополнительный минус.

[Erleker]

Это да, но от этого сам факт "деления" фотонов на 2 типа не изменится (у каждого поменяется знак).
Но еще один выбор выделяется тем, что преобразования от СК без координатной сингулярности сразу к 2-м картам записываются без функций типа "сигнум", хотя, с учетом разрыва и "независимости" этих 2 карт по $t$, другой выбор тоже имеет место быть.
(Я привел картинку с выбранным выбором из МТУ, по нему и отвечал).

[monky99]

Erleker в сообщении #1282871 писал(а):

Для падающего тут будет $dt/dr=1$. (обратно $R$-области, присутствует разрыв на $r=2$).

Erleker в сообщении #1282891 писал(а):

Собственно, по рисунку и видно, что после $2$ $dr/dt$ меняет знак у мировых линий падающих частиц/ фотонов.

А разве алгоритм решения данной задачи зависит от того в какой области она решается?
Если я правильно Вас понял, вы считаете, что над горизонтом скорость падающего фотона отрицательна, а под горизонтом она становится положительной. Тогда следующий вопрос. А почему Вы решили, что над горизонтом она отрицательна?

[Erleker]

Над горизонтом $r$ уменьшается с течением $t$.
Под горизонтом есть, в силу разрывности (это уже другая карта), произвол в выборе знака у $t$ (уже пространственной координаты). Я ответил по тому, как выбран знак у МТУ на рисунке.

[realeugene]

Erleker в сообщении #1282904 писал(а):

но от этого сам факт "деления" фотонов на 2 типа не изменится (у каждого поменяется знак).

Не будем забывать про две оставшиеся координаты.

[Erleker]

realeugene
Что хотите сказать?

[realeugene]

Я хочу сказать, что два класса фотонов образуются только для фотонов без орбитального момента, в общем случае существует множество промежуточных случаев, так как световой конус будущего является двумерной гиперповерхностью и направлен для точек внутренности Шварцшильда в сторону уменьшения r. Кстати, утверждение про невозможность продолжить одного из лучей светового конуса прошлого через Леметра на внешность Шварцшильда выглядит странно, но я эти лучи пока что не считал и, поэтому, ничего утверждать по этому поводу сейчас не буду.