Некоторые странности ОТО

[epros]

monky99 в сообщении #1297671 писал(а):

Это результат негласной договорённости. Так уж исторически сложилось. Но если Вы стремитесь к математической точности, то эту негласную договорённость надо сделать гласной.

Этой договорённости уже тысячи лет - с тех пор, как изобрели часы. Поздновато "делать её гласной".

monky99 в сообщении #1297671 писал(а):

неважно, это реальные или воображаемые часы.

Невозможно даже вообразить, чтобы все часы (хотя бы над горизонтом) показывали координатное время Шварцшильда.

monky99 в сообщении #1297671 писал(а):

Если это белая дыра, то и электрон и позитрон вылетят из под гравитационного радиуса. А если чёрная дыра - то упадут в сингулярность. Почему?

Решение таково.

monky99 в сообщении #1297671 писал(а):

А разве в ОТО есть гравитационное поле? Насколько я знаю, там есть материя и искривленное пространство-время. А Вы говорите о какой-то сущности "гравитационное поле" которому можно приписать свойство "масса"...

А принцип эквивалентности по-Вашему о чём? По-сути он и определяет понятие "гравитационного поля".

monky99 в сообщении #1297671 писал(а):

на мой взгляд, довольно любопытная "спиральная мультивселенная" получается и метрика там везде на гравитационных радиусах гладкая.

Там не может быть никакой спиральный мультивселенной, ибо к координатам Крускала-Секереша ничего не пришьёшь. К тому же в центре этих координат нет никакой особенности.

monky99 в сообщении #1297671 писал(а):

Законы механики ведь симметричны относительно времени? Т. е. если взять изолированную систему, которая эволюционировала во времени из состояния $A$ в состояние $B$, и в состоянии $B$ поменять 3-импульсы частиц на противоположные, то система опять вернется в состояние $A$ (разумеется здесь 3-импульсы частиц тоже будут противоположными)?

Для ОТО обратимость по времени означает, что помимо импульсов частиц нужно развернуть ещё и метрику пространства-времени.

monky99 в сообщении #1297680 писал(а):

Решение уравнений Эйнштейна для пустого по определению пространства это плоское пространство-время, которое используется в СТО.
Геометрия Шварцшильда для непустого по определению пространства. Смотрите постановку задачи.

Это неверно. Пустое пространство - значит с нулевым ТЭИ, оно не обязательно плоское. Геометрия Шварцшильда получена как раз для пустого пространства.

[Someone]

monky99 в сообщении #1297680 писал(а):

Решение уравнений Эйнштейна для пустого по определению пространства это плоское пространство-время, которое используется в СТО.

Неверно. Как в электродинамике существуют поля без источника, так и в ОТО существуют поля без источника, и таких решений известно очень большое количество. Решение Шварцшильда — одно из таких решений.

monky99 в сообщении #1297671 писал(а):

В конце концов, когда Шварцшильд описывал, каким образом определить временную координату при помощи часов, он ведь не ожидал, что решение уравнений Эйнштейна сделает невозможным осуществить эту процедуру на практике в некоторой области пространства.

Более того, насколько я помню, он сам (формула (14)) определил радиальную координату так, что горизонт событий имел нулевое значение координаты, а отрицательные значения координаты не рассматривались.

monky99 в сообщении #1297671 писал(а):

Хорошо. Сформулирую вопрос следующим образом. Под гравитационным радиусом родилась пара электрон-позитрон. (При определённых условиях пара виртуальных частиц ведь может стать парой реальных) Если это белая дыра, то и электрон и позитрон вылетят из под гравитационного радиуса.

Совсем не обязательно. Белая дыра — штука крайне неустойчивая. Как только в неё что-нибудь упадёт, она тут же превратится в чёрную. И относительно квантового рождения частиц в сильном гравитационном поле она тоже неустойчивая. Вдобавок вообще совершенно непонятно, как она могла бы образоваться. А так называемая "реликтовая" белая дыра в реальной Вселенной окружена всяким веществом, стремящимся в неё упасть.

И даже если белая дыра долго-долго не будет превращаться в чёрную, из неё ничто не обязано вылетать, и она со временем спокойно превратится в чёрную.

[monky99]

epros в сообщении #1297705 писал(а):

Это неверно. Пустое пространство - значит с нулевым ТЭИ, оно не обязательно плоское. Геометрия Шварцшильда получена как раз для пустого пространства.

Someone в сообщении #1297716 писал(а):

Неверно. Как в электродинамике существуют поля без источника, так и в ОТО существуют поля без источника, и таких решений известно очень большое количество. Решение Шварцшильда — одно из таких решений.

Ну да. Совсем упустил из виду, что нулевой тензор Риччи в четырехмерном пространстве не гарантирует того, что тензор кривизны будет нулевым.

Someone в сообщении #1297716 писал(а):

Совсем не обязательно. Белая дыра — штука крайне неустойчивая. Как только в неё что-нибудь упадёт,..............

Вобщем дело ясное, что дело тёмное. Но за ответ спасибо.

epros в сообщении #1297705 писал(а):

Там не может быть никакой спиральный мультивселенной, ибо к координатам Крускала-Секереша ничего не пришьёшь. К тому же в центре этих координат нет никакой особенности.

К координатам Шварцшильда тоже вроде ничего не пришьёшь. Тем не менее многообразие на котором уравнения Эйнштейна имеют решение расширили.
Так что речь именно о расширении многообразия.

epros в сообщении #1297705 писал(а):

Для ОТО обратимость по времени означает, что помимо импульсов частиц нужно развернуть ещё и метрику пространства-времени.

В общем случае да.
Но есть случаи, когда это необязательно. Если я стою под яблоней и мне в руку упало яблоко, то если я ему придам такой же импульс, с которым оно ко мне прилетело, но противоположный по направлению, то оно после этого прилетит в то место, откуда упало. (Ну, если за всё это время не поднимется очень сильный ветер) Поскольку в рамках данного эксперимента метрику пространства-времени вокруг яблони можно считать не зависящей от времени.
Метрика Шварцшильда не зависит от времени. Получается, что если что-то куда-то прилетело, то оно вполне способно улететь обратно. Вопрос следующий. На чём основана убежденность в том, что из чёрной дыры ничто, даже свет не способно вылететь?

[Erleker]

Метрика Шварцшильда статична только над горизонтом. А выбор направления времени под ( и на) уже играет роль, черная дыра это или белая.

[Someone]

monky99 в сообщении #1299377 писал(а):

Вобщем дело ясное, что дело тёмное.

И. Д. Новиков, В. П. Фролов. Физика чёрных дыр. "Наука", Москва, 1986. § 13.2.

monky99 в сообщении #1299377 писал(а):

К координатам Шварцшильда тоже вроде ничего не пришьёшь.

Это только на первый взгляд так кажется. А если разобраться в структуре пространства-времени Шварцшильда, то неполнота внешнего решения становится явной.

monky99 в сообщении #1299377 писал(а):

Так что речь именно о расширении многообразия.

А некуда его расширять. У него нет границ, которых частицы могли бы достичь.

monky99 в сообщении #1299377 писал(а):

На чём основана убежденность в том, что из чёрной дыры ничто, даже свет не способно вылететь?

Это не убеждённость. Это результат расчётов. Если хотите — математическая теорема.

И "ничто" — неправильное слово. Вследствие некоторых квантовых эффектов чёрные дыры испаряются. Из вращающейся чёрной дыры можно извлекать энергию.

[monky99]

Someone в сообщении #1299381 писал(а):

А некуда его расширять. У него нет границ, которых частицы могли бы достичь.

Насколько я понимаю, на диаграмме Крускала I квадрант соответствует нашей вселенной. III квадрант какой-то другой вселенной, с которой мы не связаны причинно-следственными связями. IV квадрант это белая дыра. Вы уверены, что мировые линии, которые в III квадранте выходят из белой дыры, и мировые линии, которые в I квадранте выходят из белой дыры, выходят из одной и той же белой дыры?
И аналогично по поводу чёрной дыры...

[Someone]

monky99 в сообщении #1299382 писал(а):

Вы уверены, что мировые линии, которые в III квадранте выходят из белой дыры, и мировые линии, которые в I квадранте выходят из белой дыры, выходят из одной и той же белой дыры?
И аналогично по поводу чёрной дыры...

Ах, Вы хотите разрезать и склеивать. Это не называется расширением. И у Вас возникнут лишние сингулярности там, где их нет в координатах Крускала—Секереша.

[monky99]

Someone в сообщении #1299384 писал(а):

Ах, Вы хотите разрезать и склеивать.

Ну да. Разрезаем диаграмму по линии горизонта между I и IV квадрантом до точки $0,0$. И подклеиваем к квадранту I еще одну белую дыру, а к квадранту IV ещё одну вселенную. И этот процесс доклеивания продолжаем до бесконечности по спирали. Разве с точки зрения метрики что-то поменяется?

Someone в сообщении #1299384 писал(а):

Это не называется расширением.

Во всяком случае бумаги в результате потребуется в бесконечное количество раз больше, чем на исходную диаграмму. Чем не расширение?

Someone в сообщении #1299384 писал(а):

И у Вас возникнут лишние сингулярности там, где их нет в координатах Крускала—Секереша.

В каком смысле лишние? Каждая вселенная граничит с одной белой и одной чёрной дырой. Так что вроде всё в порядке.

[Someone]

Вот у Вас в точке $(0;0)$ и возникнет сингулярность. Ничем не мотивированная.

[epros]

monky99 в сообщении #1299377 писал(а):

К координатам Шварцшильда тоже вроде ничего не пришьёшь.

Координаты Крускала-Секереша показывают, куда и как можно продолжить ту часть многообразия, которая отображается в координатах Шварцшильда.

monky99 в сообщении #1299377 писал(а):

Но есть случаи, когда это необязательно. Если я стою под яблоней и мне в руку упало яблоко, то если я ему придам такой же импульс, с которым оно ко мне прилетело, но противоположный по направлению, то оно после этого прилетит в то место, откуда упало. (Ну, если за всё это время не поднимется очень сильный ветер) Поскольку в рамках данного эксперимента метрику пространства-времени вокруг яблони можно считать не зависящей от времени.

Этот пример - про метрику Шварцшильда над горизонтом, которая не только не зависит от времени, но и симметрична по отношению к обращению времени. Если рассматривать метрику Эддингтона-Финкельштейна, то несмотря на её независимость от времени она НЕ симметрична по отношению к обращению времени. Поэтому в этой метрике яблоко недостаточно развернуть в обратном направлении, нужно будет развернуть и метрику.

monky99 в сообщении #1299377 писал(а):

На чём основана убежденность в том, что из чёрной дыры ничто, даже свет не способно вылететь?

Горизонт событий движется со скоростью света. Чтобы пересечь его изнутри наружу, нужно перегнать свет, а значит нарушить причинность.

monky99 в сообщении #1299382 писал(а):

Вы уверены, что мировые линии, которые в III квадранте выходят из белой дыры, и мировые линии, которые в I квадранте выходят из белой дыры, выходят из одной и той же белой дыры?

Что значит "уверены"? Таково решение ОТО. Мы в этом уверены ровно настолько, насколько уверены в том, что решение соответствует ОТО.

monky99 в сообщении #1299385 писал(а):

Разрезаем диаграмму по линии горизонта между I и IV квадрантом до точки $0,0$. И подклеиваем к квадранту I еще одну белую дыру, а к квадранту IV ещё одну вселенную. И этот процесс доклеивания продолжаем до бесконечности по спирали. Разве с точки зрения метрики что-то поменяется?

Поменяется. Возникнет особенность в центре. В решении Крускала-Секереша можно запустить две ракеты из одной точки IV квадранта так, чтобы одна пролетела во II квадрант через I, а другая - во II квадрант через III. Во II квадранте космонавты могут встретиться и обменяться впечатлениями. В Вашей склейке это невозможно.

[monky99]

Ладненько. Лирику немного отложим в сторону.

epros в сообщении #1296062 писал(а):

Крускал-Секереш - это хорошо.

Давайте глянем как описывается падение частиц в этих координатах.
Преобразования координат над гравитационным радиусом:
$u=\sqrt{\frac{r}{2 \, M} - 1} \cosh\left(\frac{t}{4 \, M}\right) e^{\left(\frac{r}{4 \, M}\right)}$
$v=\sqrt{\frac{r}{2 \, M} - 1} e^{\left(\frac{r}{4 \, M}\right)} \sinh\left(\frac{t}{4 \, M}\right)$
Частные производные:
$\partial u/\partial r={{\left(\sqrt{{{{\it r}}\over{2\,{\it M} }}-1}^2+1\right)\,e^{{{{\it r}}\over{4\, {\it M}}}}\,\cosh \left({{{\it t}}\over{4 \,{\it M}}}\right)}\over{4\,{\it M}\, \sqrt{{{{\it r}}\over{2\,{\it M}}}-1}}}$
$\partial u/\partial t=\frac{\sqrt{\frac{r}{2 \, M} - 1} e^{\left(\frac{r}{4 \, M}\right)} \sinh\left(\frac{t}{4 \, M}\right)}{4 \, M}$

$\partial v/\partial r={{\left(\sqrt{{{{\it r}}\over{2\,{\it M} }}-1}^2+1\right)\,e^{{{{\it r}}\over{4\, {\it M}}}}\,\sinh \left({{{\it t}}\over{4 \,{\it M}}}\right)}\over{4\,{\it M}\, \sqrt{{{{\it r}}\over{2\,{\it M}}}-1}}}$
$\partial v/\partialt=\frac{\sqrt{\frac{r}{2 \, M} - 1} \cosh\left(\frac{t}{4 \, M}\right) e^{\left(\frac{r}{4 \, M}\right)}}{4 \, M}$

Тогда

$dv/du={{{\it dr}\,\sinh \left({{ {\it t}}\over{4\,{\it M}}}\right)+ {\it dt}\,\cosh \left({{ {\it t}}\over{4\,{\it M}}}\right)(1-2\, {\it M}/r})\over{ {\it dt}\,\sinh \left({{ {\it t}}\over{4\,{\it M}}}\right)(1-2\, {\it M}/r)+ {\it dr}\,\cosh \left({{ {\it t}}\over{4\,{\it M}}}\right)}}$

Для свободно падающей с радиуса $R$ массивной частицы в координатах Шварцшильда
$dt=\frac{\mathit{dr} \sqrt{-\frac{2 \, M}{R} + 1}}{\sqrt{-\frac{2 \, M}{R} + \frac{2 \, M}{r}} {\left(\frac{2 \, M}{r} - 1\right)}}$

И наше выражение приобретает вид
$dv/du=-{{{{\sqrt{{{2{\it M}}\over{{\it r} }}-{{2{\it M}}\over{{\it R}}}}}\over{\sqrt{ 1-{{2\,{\it M}}\over{{\it R}}}}}}\,\sinh \left({{{\it t}}\over{4 \,{\it M}}}\right)-\cosh \left({{ {\it t}}\over{4\,{\it M}}}\right)}\over{ \sinh \left({{{\it t}}\over{4 \,{\it M}}}\right)-{{\sqrt{{{2{\it M}}\over{{\it r} }}-{{2{\it M}}\over{{\it R}}}}}\over{\sqrt{ 1-{{2\,{\it M}}\over{{\it R}}}}}}\,\cosh \left({{ {\it t}}\over{4\,{\it M}}}\right)}}$
А поскольку
$u/v=\frac{\cosh\left(\frac{t}{4 \, M}\right)}{\sinh\left(\frac{t}{4 \, M}\right)}$
То окончательная формула следующая:
$dv/du=-{{{{\sqrt{{{2{\it M}}\over{{\it r} }}-{{2{\it M}}\over{{\it R}}}}}\over{\sqrt{ 1-{{2\,{\it M}}\over{{\it R}}}}}}\ -u/v }\over{ 1 -{{\sqrt{{{2{\it M}}\over{{\it r} }}-{{2{\it M}}\over{{\it R}}}}}\over{\sqrt{ 1-{{2\,{\it M}}\over{{\it R}}}}}}\,(u/v) }}$

При $r=2M$
$dv/du=-\frac{1-u/v}{1-u/v}=-1$
С такой скоростью в координатах Крускала-Шекереса только фотоны летают.

[monky99]

Я таки не угадал с величиной предела. Что-то я всё время спотыкаюсь на пределах. Сделаем всё по правилам. Для этого преобразуем выражение для $dv/du$
$dv/du=-\frac{\frac{\sqrt{2M/r-2M/R}}{\sqrt{1-2M/R}}\sinh(t/(4M))-\cosh(t/(4M))}{\sinh(t/(4M))-\frac{\sqrt{2M/r-2M/R}}{\sqrt{1-2M/R}}\cosh(t/(4M))}=$ $=-\frac{\frac{\sqrt{2M/r-2M/R}}{\sqrt{1-2M/R}}\frac{\exp(t/(4M))-\exp(-t/(4M))}{2}-\frac{\exp(t/(4M))+\exp(-t/(4M))}{2}}{\frac{\exp(t/(4M))-\exp(-t/(4M))}{2}-\frac{\sqrt{2M/r-2M/R}}{\sqrt{1-2M/R}}\frac{\exp(t/(4M))+\exp(-t/(4M))}{2}}=$

$=-\frac{\frac{\sqrt{2M/r-2M/R}}{\sqrt{1-2M/R}}(1-\exp(-t/(2M))) -(1+\exp(-t/(2M)))}{(1-\exp(-t/(2M)))-\frac{\sqrt{2M/r-2M/R}}{\sqrt{1-2M/R}}(1+\exp(-t/(2M)))}=$

$$=-\frac{-(\frac{\sqrt{2M/r-2M/R}}{\sqrt{1-2M/R}}+1)\exp(-t/(2M))+(\frac{\sqrt{2M/r-2M/R}}{\sqrt{1-2M/R}}-1)}{-(\frac{\sqrt{2M/r-2M/R}}{\sqrt{1-2M/R}}+1)\exp(-t/(2M))+ (1-\frac{\sqrt{2M/r-2M/R}}{\sqrt{1-2M/R}})}=$
Итак, поскольку при приближении падающей частицы к горизонту $t$ стремится к $\infty$ у нас неопределенность типа $0/0$. Вдоль мировой линии частицы $t$ является функцией от $r$, так что мы можем продифференцировать и числитель и знаменатель по $r$. В результате в числителе будет ненулевым $d(\frac{\sqrt{2M/r-2M/R}}{\sqrt{1-2M/R}}-1)/dr$, а в знаменателе $d(1-\frac{\sqrt{2M/r-2M/R}}{\sqrt{1-2M/R}})/dr$
И значение предела $1$. Ну и $du/dv=1$ тоже.

Но это означает, что на гравитационном радиусе его мировая линия является касательной для мировой линии падающей частицы.

Я решил проверить результат расчётов. Проинтегрировал
$dt=\frac{\mathit{dr} \sqrt{-\frac{2 \, M}{R} + 1}}{\sqrt{-\frac{2 \, M}{R} + \frac{2 \, M}{r}} {\left(\frac{2 \, M}{r} - 1\right)}}$
Для $M=1$ и $R=4$. Получилось следующее выражение для зависимости $r$ от времени для мировой линии свободно движущейся частицы высшая точка которой $R=4$.

Это для участка, на котором частица поднимается
$t=-\sqrt{-r^{2} + 4 \, r} + 4 \, \arcsin\left(\frac{1}{2} \, r - 1\right) - 2 \, \ln\left(\frac{4 \, \sqrt{-r^{2} + 4 \, r}}{r - 2} + \frac{8}{r - 2}\right)+C$
Для участка, на котором частица падает, надо поменять знак.

$C$ я выбрал таким, чтобы частица достигала высшей точки примерно в нулевой момент времени $C=-3,51059$
В координатах Шварцшильда получилась следующая картинка.

Как и следовало ожидать. А потом я взял формулы для преобразования координат и получил следующую картинку для СК Крускала-Шекереса.

Здесь желтым цветом горизонт "чёрной дыры", зеленым - горизонт "белой дыры". А синим и красным мировая линия падающей частицы.
И судя по этой картинке, состояние дел в СК Крускала-Шекереса такое же, как и в СК Шварцшильда. Частицы только приближаются к гравитационному радиусу, а пересекать его не хотят. Кстати, для частицы, падающей из беконечности всё точно так же. Её мировая линия асимтотически приближается к гравитационному радиусу.

И это явно не похоже на то, что нарисовано в МТУ...

[epros]

monky99 в сообщении #1299778 писал(а):

И это явно не похоже на то, что нарисовано в МТУ...

Явно непохоже. А значит ищите ошибку.

[monky99]

epros в сообщении #1299895 писал(а):

Явно непохоже. А значит ищите ошибку.

Нет ошибки. Проинтегрировано правильно. Дифференцирование даёт исходную функцию. Так что зависимость $t(r)$ правильная. Формулы для пересчёта в координаты Крускала-Шекереса в Exel я забил правильные. Так что график точный.
Плюс преобразование координатных скоростей тоже даёт на радиусе $2M$ скорость $1$ для падающей и $-1$ для вылетающей частицы (в пределе).
Так что задача решена двумя путями и результат этих путей совпадает.
На всякий случай я еще в SageMath график построил

Зеленая линия это $r=4$
А это для падающей из бесконечности частицы. $t(r) $ я взял из МТУ.

Простое преобразование координат. Тут трудно ошибиться.
Ну не хотят массивные частицы падать под гравитационный радиус в СК Крускала-Шекереса.


Кстати, в координатах Леметра частица подающая с радиуса $R$ тоже не уйдёт под гравитационный радиус. Для неё и при вылете и при падении на $2M$ координатная скорость одна и та же $1$. Как и у вылетающего фотона.

[epros]

monky99 в сообщении #1299969 писал(а):

Ну не хотят массивные частицы падать под гравитационный радиус в СК Крускала-Шекереса

Даже не хочу разбираться с тем, откуда Вы выкопали эту ерунду. Горизонты в координатах Крускала-Секереша отличаются от других световых геодезических только тем, что они не упираются ни в одну из сингулярностей. При желании можно их вообще не проводить - ничего интересного там нет, такое же пространство-время, как и везде. И геодезические, и всякие иные времени-подобные мировые линии через них без проблем проходят. Похоже, это Ваша специализация на этом форуме - выкладывать здесь всякие ошибочные построения и предлагать нам искать в них ошибки.