2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Гипотеза Гольдбаха
Сообщение28.08.2017, 11:21 


23/01/07
3198
Новосибирск
Батороев в сообщении #1241277 писал(а):
В своих сновидениях я два раза "находил" доказательство гипотезы Гольдбаха, при этом ход доказательства был оба раза похож. И оба раза меня брала оторопь: "Как это я сразу не догадался!". И оба раза, просыпаясь, я никак не мог вспомнить этот ход. :cry:

Сейчас на "свежую голову" (не обремененную старыми мыслями по проблеме) проанализировал возможный ход доказательства и получил следующее:
Допустим, имеется четное число $n$.
Рассмотрим произведение $$(\dfrac{n}{2})^2\cdot ((\dfrac {n}{2})^2-1)\cdot ((\dfrac {n}{2})^2-2^2)\cdot ((\dfrac {n}{2})^2-3^2)... ((\dfrac {n}{2})^2 -(\dfrac{n}{2}-1)^2)     \eqno (1)$$
Т.к. в этом произведении каждая скобка является произведением двух чисел, равноудаленных от $\dfrac{n}{2}$, то число простых делителей этой скобки будет равно суммарному количеству простых делителей пары чисел, в сумме дающих $n$. При этом отметим, что суммарное число простых делителей всего произведения равно числу простых делителей факториала $n!$.

Число простых делителей до $n$ можно оценить, как $A=n\cdot \ln n$
Число простых чисел до $n$ оценивается, как $P=\dfrac {n}{\ln n}$

Допустим, гипотеза Гольдбаха не верна. Тогда все простые числа до $n$ дают число $n$ в сумме с составными.
Обозначим число делителей каждой из таких сумм через: $$k\geq 3\eqno (2)$$.
Тогда общая сумма простых делителей всех таких сумм:
$$B=\dfrac{kn}{\ln n}$$
А число таких пар $P$.

Незадействованными в суммах, в которых одно число простое, остается $C=n \ln n-\dfrac{kn}{\ln n}$ делителей числа $n!$.

Зато они задействованы в остальных суммах, в которых оба слагаемые составные.
Обозначим число простых делителей в таких суммах через: $$m\geq 4\eqno (3)$$
Тогда число таких сумм должно быть: $$D=\dfrac {n\ln n -\dfrac{kn}{\ln n}}{m}\eqno (4)$$
А общее число сумм не должно превышать половину числа $n$:
$$D+P=\dfrac {n\ln n-\dfrac{kn}{\ln n}}{m}+\dfrac {n}{\ln n}\leq\dfrac{n}{2}\eqno (5)$$
Преобразовав выражение (5) и произведя замену и $x=\ln n$, решаем неравенство:
$$x^2-\dfrac{m}{2}x+(m-k)\leq 0\eqno (6)$$

$x_{1,2}=\dfrac{m}{4}\pm\sqrt{\dfrac{m^2}{16}-(m-k)}$

Из условия положительности дискриминанта, с учетом (2) и (3) получаем ограничения на числа $k$ и $m$:

$m^2-16m+16k\geq 0$

$m_{1,2}=8\pm\sqrt {64-16k}$

$4\geq k\geq 3\eqno (7)$

$12\geq m\geq 4\eqno (8)$

Подставив максимальные значение $m$, получаем:
ограничение по $x$:
$x^2-\dfrac{12}{2}x+(12-k)\leq 0$

$x_{1,2}=3\pm\sqrt{k-3}$

$\ln n_{1,2}=3\pm\sqrt{k-3}$
Исходя из ограничения (7), получаем, что неравенство (5) может выполняться для $n<55$ ($\ln {55}>4$), т.е. для них гипотеза Гольдбаха может быть не верна. В остальных случаях - верна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Давайте делиться снами (с нами)
Сообщение28.08.2017, 11:38 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
Батороев в сообщении #1243594 писал(а):
факториала $n!$.

Не-а.

 Профиль  
                  
 
 Re: Давайте делиться снами (с нами)
Сообщение28.08.2017, 11:52 


23/01/07
3198
Новосибирск
kotenok gav в сообщении #1243596 писал(а):
Не-а.

Исправил выражение (1).

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Гольдбаха
Сообщение28.08.2017, 12:13 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8951
 i  Отделено от темы «Давайте делиться снами (с нами)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Гольдбаха
Сообщение28.08.2017, 12:52 


23/02/12
1593
Батороев Соотношения, которые Вы используете - асимптотические, поэтому нельзя их рассматривать при небольших значениях $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Гольдбаха
Сообщение28.08.2017, 17:04 
Заслуженный участник


14/01/11
1778
Батороев,
не очень понятны некоторые термины. Например, что такое "число простых делителей до $n$"?
Или вот:
Батороев в сообщении #1243594 писал(а):
Обозначим число делителей каждой из таких сумм через: $$k\geq 3\eqno (2)$$.

Что такое "число делителей суммы"?

Ну и замечание vicvolf, конечно, справедливо. Можно перейти от асимптотических оценок к неравенствам, но их необходимо выписать явно и обращаться с ними как с неравенствами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Гольдбаха
Сообщение29.08.2017, 06:02 


23/01/07
3198
Новосибирск
vicvolf в сообщении #1243608 писал(а):
Батороев Соотношения, которые Вы используете - асимптотические, поэтому нельзя их рассматривать при небольших значениях $n$.

Гипотеза Гольдбаха проверена вычислительными методами до $4\cdot 10^{18}$. Как мне видится, это достаточная величина для асимптотики.
Sender в сообщении #1243656 писал(а):
Батороев,
не очень понятны некоторые термины

"Число простых делителей до $n$" - подразумевает количество простых делителей числа $n!$.
$k$ - это усредненное значение сумм простых делителей двух чисел, которые в свою очередь в сумме дают $n$ и одно из которых простое. Например, число $n=34$ в сумме дают числа $7+27$, при этом $k=1+3=4$.
Аналогично - $m$, но только оба числа составные.
Sender в сообщении #1243656 писал(а):
Можно перейти от асимптотических оценок к неравенствам, но их необходимо выписать явно и обращаться с ними как с неравенствами.

Я именно то и постарался сделать. Собрал в неравенстве (5) в левой части все пары (в сумме дающие $n$), которые могли бы существовать в случае ошибочности гипотезы Гольдбаха и сравнил с фактическим числом пар (в правой части неравенства). За корректность дальнейшего решения неравенства не ручаюсь, т.к. в них не силен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Гольдбаха
Сообщение29.08.2017, 06:05 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
Батороев в сообщении #1243753 писал(а):
при этом

При этом, $k=7+3=10$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Гольдбаха
Сообщение29.08.2017, 06:11 


23/01/07
3198
Новосибирск
kotenok gav в сообщении #1243754 писал(а):
При этом, $k=7+3=10$.

У числа $7$ всего $1$ простой делитель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Гольдбаха
Сообщение29.08.2017, 08:39 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
А, а я подумал, что k это сумма простых делителей, а не сумма количества простых делителей.

-- 29 авг 2017, 15:08 --

Батороев в сообщении #1243594 писал(а):
При этом отметим, что суммарное число простых делителей всего произведения равно числу простых делителей факториала $n!$.

Неверно. Произведение равно $n!/n$ и следовательно, у произведения меньше простых делителей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Гольдбаха
Сообщение29.08.2017, 09:59 


23/01/07
3198
Новосибирск
kotenok gav в сообщении #1243766 писал(а):
Неверно. Произведение равно $n!/n$ и следовательно, у произведения меньше простых делителей.

Произведение приведено больше для наглядности и в самом рассмотрении не участвует.
То, что в выражении $\pi (n!)=n\ln n$ излишне учтено число собственных простых делителей числа $n$ (не создающего пары), в виду мизерности $\pi (n)$ по сравнению с количеством простых делителей $\pi (n!)$, на ход рассмотрения не влияет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Гольдбаха
Сообщение29.08.2017, 10:28 
Заслуженный участник


14/01/11
1778
kotenok gav в сообщении #1243766 писал(а):
Неверно. Произведение равно $n!/n$ и следовательно, у произведения меньше простых делителей.

$\frac{n!}{2}$, я бы сказал. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Гольдбаха
Сообщение29.08.2017, 10:55 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
Ой, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Гольдбаха
Сообщение29.08.2017, 12:53 
Заслуженный участник


14/01/11
1778
Батороев в сообщении #1243753 писал(а):
усредненное значение сумм простых делителей двух чисел

Боюсь, всё это слишком вилами по воде, чтобы участвовать в доказательстве чего либо.
Батороев в сообщении #1243594 писал(а):
А общее число сумм не должно превышать половину числа $n$:

Разве оно не должно в точности равняться $\frac{n}{2}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Гольдбаха
Сообщение29.08.2017, 15:23 


23/02/12
1593
Батороев в сообщении #1243594 писал(а):
Исходя из ограничения (7), получаем, что неравенство (5) может выполняться для $n<55$

Нельзя на основании асимптотических соотношений делать вывод, что $n<55$ .

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group