Гипотеза Гольдбаха

[Батороев]

Батороев в сообщении #1241277 писал(а):

В своих сновидениях я два раза "находил" доказательство гипотезы Гольдбаха, при этом ход доказательства был оба раза похож. И оба раза меня брала оторопь: "Как это я сразу не догадался!". И оба раза, просыпаясь, я никак не мог вспомнить этот ход.

Сейчас на "свежую голову" (не обремененную старыми мыслями по проблеме) проанализировал возможный ход доказательства и получил следующее:
Допустим, имеется четное число $n$.
Рассмотрим произведение

$$(\dfrac{n}{2})^2\cdot ((\dfrac {n}{2})^2-1)\cdot ((\dfrac {n}{2})^2-2^2)\cdot ((\dfrac {n}{2})^2-3^2)... ((\dfrac {n}{2})^2 -(\dfrac{n}{2}-1)^2) \eqno (1)$$

Т.к. в этом произведении каждая скобка является произведением двух чисел, равноудаленных от $\dfrac{n}{2}$, то число простых делителей этой скобки будет равно суммарному количеству простых делителей пары чисел, в сумме дающих $n$. При этом отметим, что суммарное число простых делителей всего произведения равно числу простых делителей факториала $n!$.

Число простых делителей до $n$ можно оценить, как $A=n\cdot \ln n$
Число простых чисел до $n$ оценивается, как $P=\dfrac {n}{\ln n}$

Допустим, гипотеза Гольдбаха не верна. Тогда все простые числа до $n$ дают число $n$ в сумме с составными.
Обозначим число делителей каждой из таких сумм через:

$$k\geq 3\eqno (2)$$

.
Тогда общая сумма простых делителей всех таких сумм:

$$B=\dfrac{kn}{\ln n}$$

А число таких пар $P$.

Незадействованными в суммах, в которых одно число простое, остается $C=n \ln n-\dfrac{kn}{\ln n}$ делителей числа $n!$.

Зато они задействованы в остальных суммах, в которых оба слагаемые составные.
Обозначим число простых делителей в таких суммах через:

$$m\geq 4\eqno (3)$$

Тогда число таких сумм должно быть:

$$D=\dfrac {n\ln n -\dfrac{kn}{\ln n}}{m}\eqno (4)$$

А общее число сумм не должно превышать половину числа $n$:

$$D+P=\dfrac {n\ln n-\dfrac{kn}{\ln n}}{m}+\dfrac {n}{\ln n}\leq\dfrac{n}{2}\eqno (5)$$

Преобразовав выражение (5) и произведя замену и $x=\ln n$, решаем неравенство:

$$x^2-\dfrac{m}{2}x+(m-k)\leq 0\eqno (6)$$

$x_{1,2}=\dfrac{m}{4}\pm\sqrt{\dfrac{m^2}{16}-(m-k)}$

Из условия положительности дискриминанта, с учетом (2) и (3) получаем ограничения на числа $k$ и $m$:

$m^2-16m+16k\geq 0$

$m_{1,2}=8\pm\sqrt {64-16k}$

$4\geq k\geq 3\eqno (7)$

$12\geq m\geq 4\eqno (8)$

Подставив максимальные значение $m$, получаем:
ограничение по $x$:
$x^2-\dfrac{12}{2}x+(12-k)\leq 0$

$x_{1,2}=3\pm\sqrt{k-3}$

$\ln n_{1,2}=3\pm\sqrt{k-3}$
Исходя из ограничения (7), получаем, что неравенство (5) может выполняться для $n<55$ ($\ln {55}>4$), т.е. для них гипотеза Гольдбаха может быть не верна. В остальных случаях - верна.

[kotenok gav]

Батороев в сообщении #1243594 писал(а):

факториала $n!$.

Не-а.

[Батороев]

kotenok gav в сообщении #1243596 писал(а):

Не-а.

Исправил выражение (1).

[Toucan]

Отделено от темы «Давайте делиться снами (с нами)»

[vicvolf]

Батороев Соотношения, которые Вы используете - асимптотические, поэтому нельзя их рассматривать при небольших значениях $n$.

[Sender]

Батороев,
не очень понятны некоторые термины. Например, что такое "число простых делителей до $n$"?
Или вот:

Батороев в сообщении #1243594 писал(а):

Обозначим число делителей каждой из таких сумм через:

$$k\geq 3\eqno (2)$$

.

Что такое "число делителей суммы"?

Ну и замечание vicvolf, конечно, справедливо. Можно перейти от асимптотических оценок к неравенствам, но их необходимо выписать явно и обращаться с ними как с неравенствами.

[Батороев]

vicvolf в сообщении #1243608 писал(а):

Батороев Соотношения, которые Вы используете - асимптотические, поэтому нельзя их рассматривать при небольших значениях $n$.

Гипотеза Гольдбаха проверена вычислительными методами до $4\cdot 10^{18}$. Как мне видится, это достаточная величина для асимптотики.

Sender в сообщении #1243656 писал(а):

Батороев,
не очень понятны некоторые термины

"Число простых делителей до $n$" - подразумевает количество простых делителей числа $n!$.
$k$ - это усредненное значение сумм простых делителей двух чисел, которые в свою очередь в сумме дают $n$ и одно из которых простое. Например, число $n=34$ в сумме дают числа $7+27$, при этом $k=1+3=4$.
Аналогично - $m$, но только оба числа составные.

Sender в сообщении #1243656 писал(а):

Можно перейти от асимптотических оценок к неравенствам, но их необходимо выписать явно и обращаться с ними как с неравенствами.

Я именно то и постарался сделать. Собрал в неравенстве (5) в левой части все пары (в сумме дающие $n$), которые могли бы существовать в случае ошибочности гипотезы Гольдбаха и сравнил с фактическим числом пар (в правой части неравенства). За корректность дальнейшего решения неравенства не ручаюсь, т.к. в них не силен.

[kotenok gav]

Батороев в сообщении #1243753 писал(а):

при этом

При этом, $k=7+3=10$.

[Батороев]

kotenok gav в сообщении #1243754 писал(а):

При этом, $k=7+3=10$.

У числа $7$ всего $1$ простой делитель.

[kotenok gav]

А, а я подумал, что k это сумма простых делителей, а не сумма количества простых делителей.

-- 29 авг 2017, 15:08 --

Батороев в сообщении #1243594 писал(а):

При этом отметим, что суммарное число простых делителей всего произведения равно числу простых делителей факториала $n!$.

Неверно. Произведение равно $n!/n$ и следовательно, у произведения меньше простых делителей.

[Батороев]

kotenok gav в сообщении #1243766 писал(а):

Неверно. Произведение равно $n!/n$ и следовательно, у произведения меньше простых делителей.

Произведение приведено больше для наглядности и в самом рассмотрении не участвует.
То, что в выражении $\pi (n!)=n\ln n$ излишне учтено число собственных простых делителей числа $n$ (не создающего пары), в виду мизерности $\pi (n)$ по сравнению с количеством простых делителей $\pi (n!)$, на ход рассмотрения не влияет.

[Sender]

kotenok gav в сообщении #1243766 писал(а):

Неверно. Произведение равно $n!/n$ и следовательно, у произведения меньше простых делителей.

$\frac{n!}{2}$, я бы сказал.

[kotenok gav]

Ой, да.

[Sender]

Батороев в сообщении #1243753 писал(а):

усредненное значение сумм простых делителей двух чисел

Боюсь, всё это слишком вилами по воде, чтобы участвовать в доказательстве чего либо.

Батороев в сообщении #1243594 писал(а):

А общее число сумм не должно превышать половину числа $n$:

Разве оно не должно в точности равняться $\frac{n}{2}$?

[vicvolf]

Батороев в сообщении #1243594 писал(а):

Исходя из ограничения (7), получаем, что неравенство (5) может выполняться для $n<55$

Нельзя на основании асимптотических соотношений делать вывод, что $n<55$ .