В своих сновидениях я два раза "находил" доказательство гипотезы Гольдбаха, при этом ход доказательства был оба раза похож. И оба раза меня брала оторопь: "Как это я сразу не догадался!". И оба раза, просыпаясь, я никак не мог вспомнить этот ход.
Сейчас на "свежую голову" (не обремененную старыми мыслями по проблеме) проанализировал возможный ход доказательства и получил следующее:
Допустим, имеется четное число

.
Рассмотрим произведение

Т.к. в этом произведении каждая скобка является произведением двух чисел, равноудаленных от

, то число простых делителей этой скобки будет равно суммарному количеству простых делителей пары чисел, в сумме дающих

. При этом отметим, что суммарное число простых делителей всего произведения равно числу простых делителей факториала

.
Число простых делителей до

можно оценить, как

Число простых чисел до

оценивается, как

Допустим, гипотеза Гольдбаха не верна. Тогда все простые числа до

дают число

в сумме с составными.
Обозначим число делителей каждой из таких сумм через:

.
Тогда общая сумма простых делителей всех таких сумм:

А число таких пар

.
Незадействованными в суммах, в которых одно число простое, остается

делителей числа

.
Зато они задействованы в остальных суммах, в которых оба слагаемые составные.
Обозначим число простых делителей в таких суммах через:
Тогда число таких сумм должно быть:

А общее число сумм не должно превышать половину числа

:

Преобразовав выражение (5) и произведя замену и

, решаем неравенство:


Из условия положительности дискриминанта, с учетом (2) и (3) получаем ограничения на числа

и

:



Подставив максимальные значение

, получаем:
ограничение по

:



Исходя из ограничения (7), получаем, что неравенство (5) может выполняться для

(

), т.е. для них гипотеза Гольдбаха может быть не верна. В остальных случаях - верна.