Уважаемые участники!
Думаю, что тему закрывали не по причине исчерпания, а потому, что некоторые некорректно себя повели. Просьба не отклоняться от темы, вопросы задавать по существу. Кто не хочет- могут очень просто открыть свою тему и упражняться там в навешивании ярлыков и т.п.
Прошу прощения за отступление. Попробую ещё раз изложить суть доказательства, акцентируя внимание на некоторых моментах. Просьба не спешить сразу с вопросами, а проанализировать предлагаемые выкладки. Быть может, что-то и из ранее сказанного будет полезно посмотреть.
Итак:
![\[
x^n + y^n = z^n
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/8/618d457755432a1370f117494e357c6482.png "\[
x^n + y^n = z^n
\]")
(1)
x,y,z –попарно взаимно простые числа, n-простое
![\[
\ge 3
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/7/09788df277ff04a59e56000e2e70922f82.png "\[
\ge 3
\]")
(2)
Для них найдётся такое k, что
![\[
x + y = z + k
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/a/5bac29ce92963ed73357026dc35a922c82.png "\[
x + y = z + k
\]")
(3)
Возведём обе части уравнения (3) во вторую степень и запишем в виде:
![\[
x^2 + y^2 = z^2 + k^2 - 2(x - k)(y - k) = z^2 + k_2
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/3/093887b1990b8dc0d17118f6f63864f482.png "\[
x^2 + y^2 = z^2 + k^2 - 2(x - k)(y - k) = z^2 + k_2
\]")
(4)
и тогда, если x,y,z взаимно просты и удовлетворяют уравнению второй степени
![\[
x^2 + y^2 = z^2
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/a/dda997c4cb0428ec6cfb65adcc44ffc682.png "\[
x^2 + y^2 = z^2
\]")
, (5)
то z и k - взаимно простые.
Возведём обе части уравнения (3) во третью степень и запишем в виде:
![\[
x^3 + y^3 = z^3 + k^3 - 3(x - k)(y - k)(x + y) = z^3 + k_3
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/f/b3fabc0b438c4251b1272cf6091fc5e382.png "\[
x^3 + y^3 = z^3 + k^3 - 3(x - k)(y - k)(x + y) = z^3 + k_3
\]")
(6)
и тогда, если x,y,z взаимно просты и удовлетворяют уравнению третьей степени
![\[
x^3 + y^3 = z^3
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/a/33a07b7d1e2b893080d09e19a6cadcb982.png "\[
x^3 + y^3 = z^3
\]")
, (7)
то z и k должны иметь общий делитель q.
Возведём обе части уравнения (3) в n-ю степень и запишем в виде:
![\[
x^n + y^n = z^n + k^n - n(x - k)(y - k)(x + y)F = z^n + k_n
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/c/82ca16c95f34410eb6f8fa85bcb711a182.png "\[
x^n + y^n = z^n + k^n - n(x - k)(y - k)(x + y)F = z^n + k_n
\]")
(8)
где величина F зависит от n
и тогда, если x,y,z взаимно просты и удовлетворяют уравнению n-й степени
(9)
z и k должны иметь общий делитель q.
Принципиальное различие состоит в том, что при
![\[
n = 2
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/2/902a60545bc92cd184670f823d83792e82.png "\[
n = 2
\]")
z и k взаимно простые, а при любом другом простом n z и k имеют общий делитель.
Таким образом, невозможно существование одновременно решения уравнений второй степени (5) и n-й степени (9). Это не означает, что не существует представления любой
n-й степени уравнения (3) в виде(8) при выполнении условия (5). Покажем это, проанализировав уравнение:
![\[
x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/7/897838b3430c98d60f08fc89301f8e7c82.png "\[
x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}
\]")
(10)
Представим его в виде:
![\[
(x^n )^2 + (y^n )^2 = (z^n )
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/5/565ab713f1be153cadc190a106d6f6cb82.png "\[
(x^n )^2 + (y^n )^2 = (z^n )
\]")
(11)
Это уравнение второй степени, для которого найдётся (по аналогии с (1),(3))такое
![\[
k_n
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/0/4806630b8b1571e803331b299c4acc8082.png "\[
k_n
\]")
, что
![\[
x^n + y^n = z^n + k_n
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/d/4dd168f05e67ba0e65c21a2cdd1e22a382.png "\[
x^n + y^n = z^n + k_n
\]")
(12)
при этом с учётом (5)
![\[
z^n
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/0/b203221af950d1b23979f58ab4d7354082.png "\[
z^n
\]")
и
должны быть взаимно простыми.
А теперь сравните (8) и (12) – одно и то же уравнение.
Таким образом, если существует тройка взаимно простых x,y,z , удовлетворяющих уравнению (5), то обязательно найдётся такое
, взаимно простое с
, что выполняется уравнение (8), т.е. уравнение (10), представленное в виде (11), показывает взаимосвязь уравнения (5) с уравнением (8), независимо от простого n.
Таким образом, уравнение (10) является общим для всех простых
![\[
n \ge 2
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/3/6b3e0c831912c129b4c4df94b65a411d82.png "\[
n \ge 2
\]")
.
А теперь проверим, возможно ли существование второй степени уравнения (3) в виде (4) при выполнении условия (9). Для этого проанализируем уравнение (10), представив его в виде :
![\[
(x^2 )^n + (y^2 )^n = (z^2 )^n
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/2/a8255c189790488f7b871f8cabc1bd9982.png "\[
(x^2 )^n + (y^2 )^n = (z^2 )^n
\]")
(13)
Это уравнение n-й степени, для которого найдётся (по аналогии с (1),(3)) такое
![\[
k_2
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/c/5bc4bb9eb6976c7b4c98310432d7c44382.png "\[
k_2
\]")
,что:
![\[
x^2 + y^2 = z^2 + k_2
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/3/39380df82a554ca9fb6328845fdbad1282.png "\[
x^2 + y^2 = z^2 + k_2
\]")
(14)
при этом, с учётом (9)
![\[
z^2
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/9/0d94d49a4e8bdfb9c0160b87b77ffd7a82.png "\[
z^2
\]")
и
должны иметь общий делитель q.
При этом на q должна делиться сумма
![\[
(x^2 + y^2 )
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/7/de7b3b0f1092d26db7115378fca8925282.png "\[
(x^2 + y^2 )
\]")
, что невозможно.
(Сошлюсь на формулы Абеля:
![\[
x + y = q^n
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/2/b8297d19ef559be4f99584e57a4ea5b382.png "\[
x + y = q^n
\]")
при
![\[
n \ge 3
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/6/be6f502e53e0e4ddd03c3f45f97cb12982.png "\[
n \ge 3
\]")
).
Таким образом, предполагая, что существует тройка взаимно простых x,y,z, удовлетворяющих уравнению (1), приходим к невозможности существования уравнения (14), т.е. второй степени уравнения (3) –уравнения (4). Т.е. не существует тройки взаимно простых x,y,z, удовлетворяющих уравнению (1) , что и требовалось доказать.
Рассуждения справедливы для любого простого n≥3, поэтому можно утверждать, что теорема Ферма верна для всех простых
.
