2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение17.02.2017, 17:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4892
В этой теме у меня будет несколько вопросов к форумчанам, Богу, жизни, Вселенной и вообще, относительно взаимосвязи вышеупомянутых внутренностей, замыканий и границ. Часть вопросов я уже решил самостоятельно, наклепав контрпримеров к наивной интуиции, часть нашел в учебниках, но на некоторых мозг сломался. Вопросы буду задавать по одному, следующий - после разрешения предыдущего.

Итак, Вопрос № 1. Задача 17.21 из Виро и К, "Элементарная топология".

Доказать, что если в компактном метрическом пространстве замыкание любого открытого шара $B(x, r)$ равно замкнутому шару $D(x, r)$, то любой открытый шар связен.

Первое, что приходит в голову - взять в упомянутом пространстве произвольный шар $B(x, r)$ такой, что $[B(x,r)] = D(x, r)$ и показать, что он связен. Увы, такое утверждение неверно. Рассмотрим, например, пространство $[-10, -5] \cup \{1\} \cup \{2\} \cup [5, 10]$ с канонической топологией и в нем открытый шар $B(1, 3) = \{1, 2\}$. $[B(1, 3)] = D(1, 3)$, но $B(1, 3)$ несвязен. Контпримером к исходному утверждению это, однако, не является, т.к. оно было про "замыкание любого открытого шара $B(x, r)$ равно замкнутому шару $D(x, r)$", а в построенном пространстве это не так, например, для шара $B(2, 3)$. Таким образом, если доказывать от противного, мы не можем взять первый попавшийся несвязный шар и доказать, что для него $[B(x, r)] \ne D(x, r)$ - для него-то это равенство может не выполняться, но существует шар, для которого оно не выполняется - где-то там, вдали, покатись, клубочек, где тут мои семь пар железных сапог? Значит, ткнуть пальцем в несвязный шар - неверный путь. Какой тогда верный?

Далее, неясно, как использовать компактность. Из нее, конечно, следует, что и всякий замкнутый шар компактен, он же замкнутый. Перспектива строить (от противного) открытое покрытие, из которого невозможно выделить конечное подпокрытие, наполняет меня таким суеверным ужасом, что я лучше подумаю о центрированных системах замкнутых множеств. Но и тут я ничего не придумал. Ну, допустим, выберем мы $\varepsilon > 0$ и построим систему замкнутых шаров диаметра $\varepsilon$ с центрами во всех точках. Из компактности следует, что пересечение такой системы непусто. Ну и дальше что? Или, может быть, все-таки про покрытия, покрыть что-нибудь открытыми шарами?

В общем, пните меня, please, в правильном направлении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение17.02.2017, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4341
Указание: в компактном пространстве имеет смысл расстояние от точки до замкнутого множества (которое равно нулю титтк точка лежит в этом множестве).

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение17.02.2017, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
2241
g______d в сообщении #1193437 писал(а):
в компактном пространстве имеет смысл расстояние от точки до замкнутого множества (которое равно нулю титтк точка лежит в этом множестве).
Это верно во всех метрических пространствах, не только в компактных.
Для любого метрического пространства $X$, для любого множества $M\subset X$ и точки $x\in X$ определим $\rho(x,M)=\inf\limits_{y\in M}\rho(x,y)$.
Тогда $\rho(x,M)=0$ в том и только том случае, когда $x$ есть точка прикосновения множества $M$.
Для замкнутых множеств это равносильно $x\in M$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение17.02.2017, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4341
Да, сорри, я плохо выразился. В этой задаче важно, что $\inf \rho(x,y)$ достигается на некоторой точке $y\in M$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение17.02.2017, 21:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4892
Спасибо, после выходных я над этим подумаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение18.02.2017, 01:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1900
СПб
$A\Rightarrow B$ равносильно $\neg B\Rightarrow \neg A$
в нашем случае вторая импликация хороша тем, что там как раз надо просто пример построить: если найдется несвязный открытый шар, то найдется и открытый шар, замыкание которого не совпадает с соответствующим замкнутым шаром

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение18.02.2017, 10:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4892
alcoholist в сообщении #1193515 писал(а):
если найдется несвязный открытый шар, то найдется и открытый шар, замыкание которого не совпадает с соответствующим замкнутым шаром
Проблема в том, что это не обязательно будет этот же шар. И как по одному шару построить другой, я пока не знаю.

g______d в сообщении #1193461 писал(а):
В этой задаче важно, что $\inf \rho(x,y)$ достигается на некоторой точке $y\in M$.
Всегда считал, что это так для любого замкнутого $M$ (не обязательно компактного). Ошибался?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение18.02.2017, 11:23 
Заслуженный участник


11/05/08
31104
Anton_Peplov в сообщении #1193559 писал(а):
Ошибался?

Да. Тривиальный контрпример: пространство, состоящее из двух интервалов.

По задаче. Возьмите несвязный открытый шар. У него есть компонента связности, содержащая центр и хотя бы одна компонента, не содержащая. Рассмотрите открытый шар с тем же центром радиуса, равного расстоянию от центра до второй компоненты. Его замыкание захватит какую-то точку замыкания второй компоненты (и вот тут-то компактность и существенна). Далее два варианта -- принадлежит эта точка замыканию первой компоненты или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение18.02.2017, 11:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4892
ewert в сообщении #1193563 писал(а):
Тривиальный контрпример: пространство, состоящее из двух интервалов.
Спасибо. Все-таки неистребима привычка, не проверяя, тащить утверждения из $\mathbb R$ в произвольное метрическое пространство. Следишь за собой, следишь - и все равно на чем-нибудь да проколешься.

-- 18.02.2017, 12:16 --

g______d в сообщении #1193461 писал(а):
В этой задаче важно, что $\inf \rho(x,y)$ достигается на некоторой точке $y\in M$.
Да, у этого факта красивое доказательство - через непрерывность метрики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение19.02.2017, 13:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4892
ewert в сообщении #1193563 писал(а):
Возьмите несвязный открытый шар. У него есть компонента связности, содержащая центр и хотя бы одна компонента, не содержащая. Рассмотрите открытый шар с тем же центром радиуса, равного расстоянию от центра до второй компоненты. Его замыкание захватит какую-то точку замыкания второй компоненты (и вот тут-то компактность и существенна). Далее два варианта -- принадлежит эта точка замыканию первой компоненты или нет.
Берем несвязный открытый шар $B(x, r)$. У него есть хотя бы две различные компоненты связности, причем они не могут одновременно содержать центр, т.к. пересекающиеся компоненты связности совпадают. Обозначим компоненту связности, содержащую центр, как $C_1$. Пусть среди остальных компонент связности есть ближайшая к $C_1$. Обозначим ее $C_2$. Рассмотрим открытый шар $B(x, \rho(x, C_2))$. Т.к. $C_2$ - замкнутое (как любая компонента связности) подмножество компактного пространства, оно компактно, и поэтому найдется точка $y \in C_2$ такая, что $\rho(x, C_2) =  \rho(x, y)$. По условию, $[B(x, \rho(x, C_2))] = D(x, \rho(x, C_2))$. То есть $y \in  [B(x, \rho(x, C_2))]$. При этом $y \notin C_1$, т.к. пересекающиеся компоненты связности совпадают.
Остается показать, что $y \in C_1$, и тем самым придти к противоречию. Для этого достаточно показать, что $B(x, \rho(x, C_2)) \subset C_1$. Но это очевидно из того, что $C_2$ - ближайшая к $C_1$ компонента связности, отличная от $C_1$. Следовательно, $B(x, \rho(x, C_2))$ связен, его замыкание связно, и $y_1 \in C_1$. Мы пришли к противоречию, и теорема доказана для случая, когда есть ближайшая к $C_1$ отличная от нее компонента связности $C_2$. А если не существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение19.02.2017, 20:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4341
Идея такая же, но компоненты связности не нужны. Предположим, что всё пространство является объединением двух открыто-замкнутых нетривиальных непересекающихся подмножеств $C_1$ и $C_2$. Пусть $x\in C_1$, $y\in C_2$, $\rho(x,y)=\rho(x,C_2)=d$. Рассмотрим открытый шар $B(x,d)$. Он целиком лежит в $C_1$. Его замыкание -- тоже (поскольку $C_1$ замкнуто). С другой стороны, в его замыкании есть точка $y$.

-- Вс, 19 фев 2017 10:31:24 --

Это я случайно доказал, что всё пространство связно. Из этого, вообще говоря, не следует, что любой открытый шар связен, но доказательство можно повторить для открытого шара.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение19.02.2017, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4341
Кстати, тут есть забавный момент, что в случае, когда мы применяем рассуждение к шару, $C_2$ не обязано быть компактным; тем не менее, точка $y$ всё равно найдётся. Пока не буду подсказывать, почему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение19.02.2017, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4892
Спасибо!

Интересно, что обратной теоремы не существует: легко построить связное компактное подмножество плоскости, в котором найдется $[B(x, r)] \ne D(x, r)$.

-- 19.02.2017, 21:56 --

g______d в сообщении #1193884 писал(а):
когда мы применяем рассуждение к шару, $C_2$ не обязано быть компактным; тем не менее, точка $y$ всё равно найдётся. Пока не буду подсказывать, почему.
Я беру паузу, чтобы почесать в затылке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение20.02.2017, 11:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4892
g______d в сообщении #1193884 писал(а):
когда мы применяем рассуждение к шару, $C_2$ не обязано быть компактным; тем не менее, точка $y$ всё равно найдётся. Пока не буду подсказывать, почему.
Сдаюсь. Не знаю, как использовать то, что речь идет именно о шаре, все рассуждения получаются для пространства вообще, а там без компактности не доказывается...

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение20.02.2017, 18:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4341
У меня была ошибка в рассуждении. Если $x$ -- произвольная точка $C_1$, то может и не найтись.

Нужно дополнительно использовать, что $x$ -- центр исходного шара (при необходимости поменяв местами $C_1$ и $C_2$. Тогда точку $y$ можно искать не во всём $C_2$, а в пересечении $C_2$ с некоторым замкнутым шаром меньшего радиуса, которое уже будет компактным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group