Квантовая механика в школе

[Red_Herring]

fred1996 в сообщении #1225529 писал(а):

Но вот переход к сферической симметрии как раз и является камнем преткновения

А для этого многомерный гармонический осциллятор и нужен. У него перемденные хорошо разделяются, причем как декартовы, так и сферические. И из-за первого с.ф. выписываются через произведения . функций Эрмита

[Metford]

Red_Herring в сообщении #1225526 писал(а):

Зато с многомерным гармоническим осциллятором собственные значения и функции очень простые.

Да, вот с этим не поспоришь.

Red_Herring в сообщении #1225526 писал(а):

Ну, волновые функции простые ($\sin kx, \cos kx $ при $|x|<a$, $e^{-\ell |x|} $ при $|x|>a$, что гораздо проще спецфункций (там же нужны и Лагранж, и Лагер).

Ну, полиномы Лагерра выписывать легко и приятно. Никто ведь не заставляет приводить общую формулу для них! А вот Лагранжа Вы упомянули - я что-то запамятовал... Помнится, там какая-то гипергеометрия вылезает... Жуть, конечно, это правда.

В общем, наверное, Вы правы, прямоугольная яма не такая плохая. Мне сначала не понравилось то, что получается функция, из кусков составленная. В школе такие могут и не встречаться до того. Ну, пусть посмотрят. Хотя о чём это я? Кто бы стал это школьникам показывать? Нынешние школьные учителя?..

[Red_Herring]

Metford в сообщении #1225536 писал(а):

Лагранжа

Mille pardo, Лежандр

[fred1996]

Red_Herring в сообщении #1225531 писал(а):

fred1996 в сообщении #1225529 писал(а):

Но вот переход к сферической симметрии как раз и является камнем преткновения

А для этого многомерный гармонический осциллятор и нужен. У него перемденные хорошо разделяются, причем как декартовы, так и сферические. И из-за первого с.ф. выписываются через произведения . функций Эрмита

Ну да, ну да.
Собственые функции, собственные значения, ортонормированные базисы в бесконечномерных гильбертовых пространствах, спектральная теория самосопраженных операторов...
Я понимаю, как все это красиво и греет душу.
Но перед вами дети!
Эти дети еще толком не проходили курс линейной алгебры.
Для них разложение Фурье и стоячие волны в струне - это пока верх математической абстракции.

[Red_Herring]

fred1996 в сообщении #1225558 писал(а):

Собственые функции, собственные значения, ортонормированные базисы в бесконечномерных гильбертовых пространствах, спектральная теория самосопраженных операторов...
Я понимаю, как все это красиво и греет душу.

Не надо громких слов. Просто если разбирать сферически симметричное уравнение Шрёдингера, то гармонический осциллятор проще, чем водород.

[fred1996]

Ну разве что осциллятор.

Но в любом случае сферически симметричный Шредингер - это и есть та абстракция, об которую все ломается.
Дети умеют преобразовывать системы координат, но они еще не поимают реально, что такое частные производные. В терминах стандартного американского образования это Stewart, из которого в продвинутых школах проходят первую половину. А вторая половина даже издается отдельно, наверное чтобы не пугать преждевременно и все-таки изучается исключительно в ВУЗах.
Я не знаю ни одного школьника, кто бы реально понял, как из трехмерного Шредингера получить сферического, даже если им это расписать.
Лично проверял.

[Red_Herring]

fred1996 в сообщении #1225567 писал(а):

то бы реально понял, как из трехмерного Шредингера получить сферического, даже если им это расписать.

Я расписываю через квадратичные формы. Немного сложнее теоретически, зато без громоздких вычислений. Впрочем, у меня речь идет о третьекурсниках (но не математиках: физиках, астрономах, химиках, статистиках, ...).

[Metford]

Red_Herring в сообщении #1225571 писал(а):

Я расписываю через квадратичные формы.

Можно полюбопытствовать насчёт деталей? В моём представлении там обычное разделение переменных в сферических координатах делается и фактически главным образом требуется лапласиан в этих координатах. Если его знать, то ничего особенного не остаётся (я помню, что речь о школьниках изначально шла). Как использовать здесь квадратичные формы? Действительно, интересно.

[Red_Herring]

Metford в сообщении #1225572 писал(а):

фактически главным образом требуется лапласиан в этих координатах

Разумеется. Но можно тупо делать замену координат во вторых производных (громоздко и легло ошибиться), а можно:
\begin{multline*} \iiint \Delta u\cdot v \,dxdydz = - \iiint \nabla u\cdot \nabla v \,dxdydz =\\ -\iiint \Bigl(u_r v_r + r^{-2} u_\phi v_\phi + r^{-2}\sin^{-2}(\phi) u_\theta v_\theta\Bigr) r^2 \sin (\phi)\,drd\theta \phi = \\ \iiint \Bigl( (r^2 \sin (\phi) u_r)_r + (\sin (\phi)u_\phi )_\phi + (\sin^{-1}(\phi)u_\theta)_\theta\Bigr) u\cdot v\, drd\phid\theta = \iiint \Lambda u\cdot v r^2\sin(\phi)\,drd\phid\theta\end{multline*}
где
\begin{multline*}\Lamba u = r^{-2}\sin^{-1}(\phi)\Bigl( (r^2 \sin (\phi) u_r)_r + (\sin (\phi)u_\phi )_\phi + (\sin^{-1}(\phi)u_\theta)_\theta\Bigr) u=\\ (r^2u_r)_r + r^{-2}\sin^{-1}(\phi) (\sin (\phi)u_\phi )_\phi+ r^{-2}\sin^{-2}(\phi)u_{\theta\theta}\end{multline*}

В американской традиции $\phi$ и $\theta$ местами меняются, да и $\rho$ вместо $r$

[madschumacher]

Metford в сообщении #1225524 писал(а):

А для прямоугольной ямы конечной глубины и число связанных состояний ищется довольно громоздко, и волновые функции так себе.

А можно взять более простую модель: прямоугольная яма конечной величины с одной бесконечной стенкой. Там, конечно, выражения для энергии связанных состояний получаются из жуткого и напрямую нерешаемого уравнения, но зато:

• эта модель показывает (как, конечно? и яма с 2мя конечными стенками), что внутри ямы может и не быть дискретных уровней (типа, хоть потенциал и позволяет, но система не может образовать даже одно связанное состояние);
• школьников можно заставить поанализировать уравнение для энергий ручками (а чО, пущай тренируют скиллы, нефиг фсё на калькуляторах графики стоить );
• эта система является кривой диссоциации двухатомной молекулы, изображённой кубистами, т.е. у неё есть реальный химический прообраз (в отличие от простой ямы).

Ещё можно взять в качестве примера уравнение для 2-мерного жёсткого волчка. Там тоже приложений можно найти: это модель вращения каких-то кусков молекулы, и (одновременно) движения электрона в кольцевых $\pi$-системах. И в обоих случаях можно даже привести сравнение с экспериментальными данными (с ИК-спектрами и с УФ-спектрами, соответственно).

[DimaM]

madschumacher в сообщении #1225588 писал(а):

А можно взять более простую модель: прямоугольная яма конечной величины с одной бесконечной стенкой.

Так мы просто выберем антисимметричные функции вдвое более широкой ямы со стенками одинаковой высоты.

[fred1996]

Ладно, господа, вижу я, далеки вы от народа...

[madschumacher]

DimaM в сообщении #1225589 писал(а):

Так мы просто выберем антисимметричные функции вдвое более широкой ямы со стенками одинаковой высоты.

А зачем? Извините, я просто не очень понял...

(2 fred1996)

fred1996, смотря от какого Народа. Учитывая Ваше географическое положение, в евклидовой метрике в 3D пространстве, лично я сравнительно далёк. Но вот к Народу, который вокруг меня непосредственно, я очень даже близко.

[DimaM]

madschumacher в сообщении #1225593 писал(а):

А зачем? Извините, я просто не очень понял..

Я к тому, что состояния в такой яме с одной бесконечной стенке - это подмножество состояний в яме удвоенной ширины с одинаковыми стенками (антисимметричные, с узлом в середине).

[fred1996]

madschumacher

(Оффтоп)

Разрешите полюбопытствовать, а какой возраст вашего окружения? Я не имею ввиду ваших приятелей, а тех, кому вы преподаете вышеизложенное вами. Наш канадский друг честно признался, что это 3-й курс естественных наук, но никак не школьный уровень математической подготовки.