2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 00:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
fred1996 в сообщении #1225529 писал(а):
Но вот переход к сферической симметрии как раз и является камнем преткновения

А для этого многомерный гармонический осциллятор и нужен. У него перемденные хорошо разделяются, причем как декартовы, так и сферические. И из-за первого с.ф. выписываются через произведения . функций Эрмита

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 01:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Red_Herring в сообщении #1225526 писал(а):
Зато с многомерным гармоническим осциллятором собственные значения и функции очень простые.

Да, вот с этим не поспоришь.
Red_Herring в сообщении #1225526 писал(а):
Ну, волновые функции простые ($\sin kx, \cos kx $ при $|x|<a$, $e^{-\ell |x|} $ при $|x|>a$, что гораздо проще спецфункций (там же нужны и Лагранж, и Лагер).

Ну, полиномы Лагерра выписывать легко и приятно. Никто ведь не заставляет приводить общую формулу для них! А вот Лагранжа Вы упомянули - я что-то запамятовал... Помнится, там какая-то гипергеометрия вылезает... Жуть, конечно, это правда.

В общем, наверное, Вы правы, прямоугольная яма не такая плохая. Мне сначала не понравилось то, что получается функция, из кусков составленная. В школе такие могут и не встречаться до того. Ну, пусть посмотрят. Хотя о чём это я? Кто бы стал это школьникам показывать? Нынешние школьные учителя?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 01:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Metford в сообщении #1225536 писал(а):
Лагранжа

Mille pardo, Лежандр

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 04:05 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Red_Herring в сообщении #1225531 писал(а):
fred1996 в сообщении #1225529 писал(а):
Но вот переход к сферической симметрии как раз и является камнем преткновения

А для этого многомерный гармонический осциллятор и нужен. У него перемденные хорошо разделяются, причем как декартовы, так и сферические. И из-за первого с.ф. выписываются через произведения . функций Эрмита


Ну да, ну да.
Собственые функции, собственные значения, ортонормированные базисы в бесконечномерных гильбертовых пространствах, спектральная теория самосопраженных операторов...
Я понимаю, как все это красиво и греет душу.
Но перед вами дети!
Эти дети еще толком не проходили курс линейной алгебры.
Для них разложение Фурье и стоячие волны в струне - это пока верх математической абстракции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 04:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
fred1996 в сообщении #1225558 писал(а):
Собственые функции, собственные значения, ортонормированные базисы в бесконечномерных гильбертовых пространствах, спектральная теория самосопраженных операторов...
Я понимаю, как все это красиво и греет душу.
Не надо громких слов. Просто если разбирать сферически симметричное уравнение Шрёдингера, то гармонический осциллятор проще, чем водород.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 06:07 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Ну разве что осциллятор.

Но в любом случае сферически симметричный Шредингер - это и есть та абстракция, об которую все ломается.
Дети умеют преобразовывать системы координат, но они еще не поимают реально, что такое частные производные. В терминах стандартного американского образования это Stewart, из которого в продвинутых школах проходят первую половину. А вторая половина даже издается отдельно, наверное чтобы не пугать преждевременно и все-таки изучается исключительно в ВУЗах.
Я не знаю ни одного школьника, кто бы реально понял, как из трехмерного Шредингера получить сферического, даже если им это расписать.
Лично проверял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 07:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
fred1996 в сообщении #1225567 писал(а):
то бы реально понял, как из трехмерного Шредингера получить сферического, даже если им это расписать.
Я расписываю через квадратичные формы. Немного сложнее теоретически, зато без громоздких вычислений. Впрочем, у меня речь идет о третьекурсниках (но не математиках: физиках, астрономах, химиках, статистиках, ...).

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 07:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Red_Herring в сообщении #1225571 писал(а):
Я расписываю через квадратичные формы.

Можно полюбопытствовать насчёт деталей? В моём представлении там обычное разделение переменных в сферических координатах делается и фактически главным образом требуется лапласиан в этих координатах. Если его знать, то ничего особенного не остаётся (я помню, что речь о школьниках изначально шла). Как использовать здесь квадратичные формы? Действительно, интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 07:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Metford в сообщении #1225572 писал(а):
фактически главным образом требуется лапласиан в этих координатах
Разумеется. Но можно тупо делать замену координат во вторых производных (громоздко и легло ошибиться), а можно:
\begin{multline*} \iiint \Delta u\cdot v \,dxdydz = - \iiint \nabla u\cdot \nabla v \,dxdydz =\\ 
-\iiint \Bigl(u_r v_r + r^{-2} u_\phi v_\phi + r^{-2}\sin^{-2}(\phi) u_\theta v_\theta\Bigr) r^2 \sin (\phi)\,drd\theta \phi = \\
\iiint \Bigl( (r^2 \sin (\phi) u_r)_r +  (\sin (\phi)u_\phi )_\phi + (\sin^{-1}(\phi)u_\theta)_\theta\Bigr) u\cdot v\, drd\phid\theta =
 \iiint \Lambda u\cdot v  r^2\sin(\phi)\,drd\phid\theta\end{multline*}
где
\begin{multline*}\Lamba u =   r^{-2}\sin^{-1}(\phi)\Bigl( (r^2 \sin (\phi) u_r)_r +  (\sin (\phi)u_\phi )_\phi + (\sin^{-1}(\phi)u_\theta)_\theta\Bigr) u=\\
(r^2u_r)_r + r^{-2}\sin^{-1}(\phi)  (\sin (\phi)u_\phi )_\phi+ r^{-2}\sin^{-2}(\phi)u_{\theta\theta}\end{multline*}

В американской традиции $\phi$ и $\theta$ местами меняются, да и $\rho$ вместо $r$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 09:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
Metford в сообщении #1225524 писал(а):
А для прямоугольной ямы конечной глубины и число связанных состояний ищется довольно громоздко, и волновые функции так себе.

А можно взять более простую модель: прямоугольная яма конечной величины с одной бесконечной стенкой. Там, конечно, выражения для энергии связанных состояний получаются из жуткого и напрямую нерешаемого уравнения, но зато:
  • эта модель показывает (как, конечно? и яма с 2мя конечными стенками), что внутри ямы может и не быть дискретных уровней (типа, хоть потенциал и позволяет, но система не может образовать даже одно связанное состояние);
  • школьников можно заставить поанализировать уравнение для энергий ручками (а чО, пущай тренируют скиллы, нефиг фсё на калькуляторах графики стоить :lol: );
  • эта система является кривой диссоциации двухатомной молекулы, изображённой кубистами, т.е. у неё есть реальный химический прообраз (в отличие от простой ямы).
Ещё можно взять в качестве примера уравнение для 2-мерного жёсткого волчка. Там тоже приложений можно найти: это модель вращения каких-то кусков молекулы, и (одновременно) движения электрона в кольцевых $\pi$-системах. И в обоих случаях можно даже привести сравнение с экспериментальными данными (с ИК-спектрами и с УФ-спектрами, соответственно). :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 09:42 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
madschumacher в сообщении #1225588 писал(а):
А можно взять более простую модель: прямоугольная яма конечной величины с одной бесконечной стенкой.

Так мы просто выберем антисимметричные функции вдвое более широкой ямы со стенками одинаковой высоты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 09:49 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Ладно, господа, вижу я, далеки вы от народа... :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 09:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
DimaM в сообщении #1225589 писал(а):
Так мы просто выберем антисимметричные функции вдвое более широкой ямы со стенками одинаковой высоты.

А зачем? Извините, я просто не очень понял... :?

(2 fred1996)

fred1996, смотря от какого Народа. :lol: Учитывая Ваше географическое положение, в евклидовой метрике в 3D пространстве, лично я сравнительно далёк. Но вот к Народу, который вокруг меня непосредственно, я очень даже близко. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 10:08 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
madschumacher в сообщении #1225593 писал(а):
А зачем? Извините, я просто не очень понял..

Я к тому, что состояния в такой яме с одной бесконечной стенке - это подмножество состояний в яме удвоенной ширины с одинаковыми стенками (антисимметричные, с узлом в середине).

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 10:16 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
madschumacher

(Оффтоп)

Разрешите полюбопытствовать, а какой возраст вашего окружения? Я не имею ввиду ваших приятелей, а тех, кому вы преподаете вышеизложенное вами. Наш канадский друг честно признался, что это 3-й курс естественных наук, но никак не школьный уровень математической подготовки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 72 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group