Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)

[whitefox]

epros в сообщении #1138486 писал(а):

Разве Вы не защищаете идею о том, что высказывание становится таковым только при наличии "смысла" и значения истинности?

Нет
Идею о несинонимичности формулы и высказывания — да.

[epros]

whitefox в сообщении #1138473 писал(а):

Так как по аристотелевскому определению любое высказывание должно иметь определённое истинностное значение, а формула может его не иметь вне интерпретации.

Неудачная мысль - трактовать эту фразу Аристотеля именно как определение высказывания. Она всего лишь про то, что в языке могут быть другие элементы, помимо высказываний. Для них его (Аристотелева) логика не берёт на себя обязательств присваивать значения истинности. Лично я склонен интерпретировать эту фразу таким образом, что понятие высказывания было определено где-то ДО этой фразы.

-- Вс июл 17, 2016 20:29:53 --

whitefox в сообщении #1138488 писал(а):

Идею о несинонимичности формулы и высказывания — да

Тогда непонятно, что превращает формулу в высказывание. До сих пор я слышал, что интерпретация.

[whitefox]

epros в сообщении #1138486 писал(а):

Любая интерпретация должна присваивать значение истинности любому высказыванию языка

Замените высказывание на замкнутая формула и я с Вами соглашусь. В синтаксисе термин высказывание не определён и он не синоним термина формула, имхо.

[epros]

whitefox в сообщении #1138473 писал(а):

любое высказывание должно иметь определённое истинностное значение, а формула может его не иметь вне интерпретации

Кстати, перечитав ещё раз, независимо от того принадлежит эта мысль Аристотелю или нет, я её в такой форме не понял. Как такое может быть в математической логике: Высказывание должно иметь значение истинности (в интерпретации?), а формула - не должна иметь его вне интерпретации? Это что, подразумевает какое-то различие между ними?

[whitefox]

epros в сообщении #1138489 писал(а):

До сих пор я слышал, что интерпретация.

Вы это не просто слышали, Вы это утверждали:

epros в сообщении #1138486 писал(а):

Любая интерпретация должна присваивать значение истинности любому высказыванию языка

Ведь в синтаксисе высказывание не определено, и Вы заменили им формулу (имхо, незаконно).

[epros]

whitefox в сообщении #1138490 писал(а):

В синтаксисе термин высказывание не определён и он не синоним термина формула, имхо.

Видите ли, речь была о том, допустимо ли его доопределять как синоним. Я соглашусь с тем, что это недопустимо, если он имеет иное более или менее общепринятое определение. Но пока я вижу, что иное определение "не сложилось", не смотря на все попытки.

[whitefox]

epros в сообщении #1138491 писал(а):

Высказывание должно иметь значение истинности (в интерпретации?), а формула - не должна иметь его вне интерпретации? Это что, подразумевает какое-то различие между ними?

А понимать должно так: в синтаксисе формальной теории нужно использовать формулу, а в семантике можно и высказывание.

[epros]

whitefox в сообщении #1138494 писал(а):

Ведь в синтаксисе высказывание не определено, и Вы заменили им формулу (имхо, незаконно).

Всё-таки я не понял, Вы вообще возражаете против использования термина "высказывание"? Или Вы настаиваете на том, что он не может определяться как синоним "формулы", потому что он должен определяться иначе?

Относительно того, что "в семантике" нужно употреблять какую-то отдельную терминологию - это требование мне вообще крайне удивительно.

[whitefox]

epros в сообщении #1138495 писал(а):

Но пока я вижу, что иное определение "не сложилось", не смотря на все попытки.

Так вот и я о том же. Формального определения термин высказывание не имеет, а неформальное — не позволяет считать его синонимом термина формула.

-- 17 июл 2016, 20:01 --

epros в сообщении #1138499 писал(а):

Всё-таки я не понял, Вы вообще возражаете против использования термина "высказывание"?

В синтаксисе — да, возражаю. Так как он не имеет формального определения.

epros в сообщении #1138499 писал(а):

Относительно того, что "в семантике" нужно употреблять какую-то отдельную терминологию - это требование мне вообще крайне удивительно.

Здесь я с Вами соглашусь. Некоторые авторы и в семантике последовательно используют термин формула. Другие же отдают дань традиции и используют термин высказывание.

[epros]

whitefox в сообщении #1138500 писал(а):

Формального определения термин высказывание не имеет, а неформальное — не позволяет считать его синонимом термина формула.

По моим понятиям "неформальные определения" подразделяются на два класса: Формализуемые (это для которых есть формальные определения или, по крайне мере, мы имеем основания предполагать, что они есть) и не являющиеся определениями.

whitefox в сообщении #1138500 писал(а):

он не имеет формального определения

Вы это уже раз пятый повторяете, однако так и не объяснили, что нам мешает это определение дать (раз уж какие-то авторы не пожелали этого сделать).

whitefox в сообщении #1138500 писал(а):

Некоторые авторы и в семантике последовательно используют термин формула. Другие же отдают дань традиции и используют термин высказывание.

Я тоже считаю, что термин "высказывание" - это дань традиции. Но я не вижу в этой традиции ничего плохого. Вот Вы меня раскритиковали за использование этого термина вместо "формула" в этой фразе:

whitefox в сообщении #1138494 писал(а):

Вы это не просто слышали, Вы это утверждали:

epros в сообщении #1138486 писал(а):

Любая интерпретация должна присваивать значение истинности любому высказыванию языка

Ведь в синтаксисе высказывание не определено, и Вы заменили им формулу (имхо, незаконно).

А ведь речь была об интерпретации представлений Аристотеля о логике применительно к современной математической логике. В текстах Аристотеля используется именно термин "высказывание" и поэтому вполне логично, что в интерпретации его представлений звучит ровно тот же термин. И то, что Вы увидели, что на его месте должен был бы находиться термин "формула", не удивительно. Раз уж это не может быть ничем иным, как тем же самым.

[whitefox]

epros в сообщении #1138543 писал(а):

и не являющиеся определениями

Вы и отнесли определение Аристотеля к этому классу:

epros в сообщении #1138489 писал(а):

Неудачная мысль - трактовать эту фразу Аристотеля именно как определение высказывания.

Но аристотелевская "фраза":

Аристотель "Об истолковании" писал(а):

Но не всякая речь есть высказывающая речь, а лишь та, в которой содержится истинность или ложность чего-либо; мольба, например, есть речь, но она не истинна и не ложна.

выполнена по аристотелевской схеме определения — через указание рода и видовых отличий. Почему это нельзя считать определением?

epros в сообщении #1138543 писал(а):

Вы это уже раз пятый повторяете, однако так и не объяснили, что нам мешает это определение дать (раз уж какие-то авторы не пожелали этого сделать).

Мешает авторитет Аристотеля. Если определить высказывание как синоним формулы, появится существенное отличие от аристотелевского определения. И на автора, рискнувшего это сделать, обрушится вал справедливой критики, как Вы справедливо отметили:

epros в сообщении #1138406 писал(а):

А вот примеры того, когда слову "высказывание" придумывается другое определение, по-моему как раз заслуживают хорошей трёпки критики.

Видимо, поэтому некоторые авторы вовсе не используют термин высказывание (разве только в названии исчисления). Другие же дают определение аналогичное аристотелевскому, и используют его не как синоним формулы.

epros в сообщении #1138543 писал(а):

Но я не вижу в этой традиции ничего плохого.

В использовании термина высказывание я тоже не вижу ничего плохого. Плохое начинается, когда начинают высказывание использовать вместо формулы (против обратной замены не возражаю).

epros в сообщении #1138543 писал(а):

А ведь речь была об интерпретации представлений Аристотеля о логике применительно к современной математической логике.

Имхо, интересную интерпретацию дал Лукасевич в "Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики".

epros в сообщении #1138543 писал(а):

В текстах Аристотеля используется именно термин "высказывание"

Вы уверены, что этот термин используется в "Аналитике"? Хм-м, не припомню. Впрочем, одно упоминание таки нашёл:

Аристотель "Вторая Аналитика" глава вторая писал(а):

Высказывание же есть один из [членов] противоречия, а противоречие — такое противопоставление, которое само по себе не имеет ничего промежуточного.

Можете указать другие?

[Someone]

У Аристотеля нет точных определений в современном смысле. То определение, которое Вы цитируете, не противоречит современному.
whitefox, Вы можете показать, где Аристотель говорит о формулах и их отличии от высказываний? Где он говорит о необходимости интерпретации формулы для получения высказывания?

Между прочим, присваивание формулам (высказываниям) значения истинности само по себе является интерпретацией, а если выполняются определённые требования — то и моделью исчисления высказываний.

Также мне кажется чрезвычайно странным, что исчисление высказываний — согласно вашим претензиям — не содержит никаких высказываний, особенно если автор изложения вместо термина "высказывание" употребил какой-то другой.

[semikolenov]

Моё частное мнение : нельзя говорить об абсолютной истинности реального примера ( лжец-человек ) и математической аналогии : они не могут быть равными.
Если возникает противоречивость рассуждения, то пользуясь одним и тем же инструментом нельзя расширить понимание обсуждения. Это как в примере вытаскивания себя из болота за волосы : можно предлагать разные способы манипуляций, степень освещённости, влажности и наличия комаров - это не изменит результат.
Какой же выход: расширение анализа.
Как пример, возьмём логический элемент "НЕ" электрической схемы.
По аналогии он полностью соответствует пониманию человека-лжеца : если на входе логический "0", то на выходе будет "1" и наоборот. Лжец обладает тем же свойством.
Все парадоксы улетучиваются как раз в тот момент, когда выход логического элемента заводим на его вход.
Можно долго и упорно рассуждать о том, что же будет на выходе . А можно просто взять, подключить и посмотреть. И что же мы увидим ?
На выходе ни "0", ни "1" .
При этом, Булева алгебра не оперирует этим состоянием( а она и есть математический аппарат ).
Это даже не состояние Z, которого в Булевой алгебре нет вообще, но в реальных электрических схемах оно есть.
Какой тогда вывод : любое рассмотрение реального противоречия может иметь частную сущность равенства с математическим парадоксом.
Полной истинности получить нельзя.

[whitefox]

Someone в сообщении #1138596 писал(а):

То определение, которое Вы цитируете, не противоречит современному.

Именно это я и утверждаю:

whitefox в сообщении #1138573 писал(а):

Другие же дают определение аналогичное аристотелевскому, и используют его не как синоним формулы.

Ни один из, известных мне, авторов не определяет высказывание как синоним формулы. Если Вам такие известны, буду весьма признателен за ссылку.

Someone в сообщении #1138596 писал(а):

Вы можете показать, где Аристотель говорит о формулах и их отличии от высказываний?

А Вы снова скажите, что Аристотель философ? К тому же:

whitefox в сообщении #1138377 писал(а):

Теперь Ваша очередь приводить пример обратного.

Просто покажите где Аристотель определяет высказывание как синоним формулы. Кстати, необязательно цитировать именно Аристотеля — просто приведите цитату любого автора в которой высказывание будет определено как синоним формулы.

Someone в сообщении #1138596 писал(а):

исчисление высказываний — согласно вашим претензиям — не содержит никаких высказываний

Вы что-то домысливаете за меня. У меня же только одна претензия — против использования в синтаксисе термина высказывание, в семантике — ради бога. Конкретно, я возразил против Вашего утверждения:

Someone в сообщении #1138193 писал(а):

высказывания определяются чисто синтаксически

Напиши Вы формула вместо высказывание, и претензии не было бы. И эту претензию я сниму если Вы приведёте цитату хотя бы из одного автора о том, что высказывание является синонимом формулы.

[Someone]

whitefox в сообщении #1138607 писал(а):

Ни один из, известных мне, авторов не определяет высказывание как синоним формулы. Если Вам такие известны, буду весьма признателен за ссылку.

Не помню. Я, вообще-то, немного о другом.
Я не вижу абсолютно никакой причины не считать термины "высказывание" и "формула" (и другие аналогичные) синонимами.

Возьмём, например, какую-нибудь формальную теорию первого порядка. В ней есть алфавит и синтаксис, который определяет, что мы называем формулой. Есть набор формул, которые называются аксиомами (включая логические). И есть правила вывода, позволяющие выводить из аксиом другие формулы.

Рассмотрим любую интерпретацию этой теории. Все формулы теперь имеют значение истинности (мы можем назначить их произвольно). Согласно вашим словам, они становятся высказываниями. В другой интерпретации значения истинности могут быть другими, но набор высказываний остаётся тем же самым. Я не понимаю, зачем в такой ситуации отличать формулы от высказываний, если совокупность высказываний при любой интерпретации совпадает с совокупностью формул? Находясь в рамках заданной формальной теории, мы вообще ничего не знаем ни о каких интерпретациях. Нас интересует только выводимость одних формул из других.

Но, конечно, такая произвольная интерпретация не интересна. Поэтому вводится понятие модели. Это такая интерпретация, в которой значения истинности неатомарных формул определяются по правилам исчисления высказываний и исчисления предикатов (если формула имеет свободные переменные, то её следует интерпретировать так, будто на все свободные переменные навешены кванторы всеобщности), все аксиомы истинны, а значения истинности других формул согласованы с правилами вывода.

Теория, в которой можно сформулировать парадокс лжеца, не имеет интерпретации, так как соответствующей формуле нельзя приписать никакого значения истинности.

semikolenov в сообщении #1138606 писал(а):

Моё частное мнение : нельзя говорить об абсолютной истинности реального примера ( лжец-человек ) и математической аналогии : они не могут быть равными.

Мы в курсе, что математика занимается не реальными объектами, а логическими конструкциями. Об этих логических конструкциях мы и говорим. В частности, поведение электрических схем или реального человека-лжеца нас не интересует.