2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14  След.
 
 Re: Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)
Сообщение17.07.2016, 11:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
whitefox в сообщении #1138386 писал(а):
В то время как интерпретированная формула всё это приобретает.

Насколько я понимаю в интерпретациях, интерпретаций формулы является подмножество предметов домена, а интерпретацией замкнутой формулы является либо пустое множество, либо домен (ерунду написал) либо тождественно истинный, либо тождественно ложный предикат. Что Вам это даёт в плане понимания того, является ли замкнутая формула высказыванием или нет?

whitefox в сообщении #1138386 писал(а):
одна и та же формула может иметь не тождественные интерпретации, например, формулу $P(a)$ можно интерпретировать как "Два чётное число" и как "Берлин столица Франции"

А Вас не смущает, что одну и ту же формулу $1+0=1$ в разных интерпретациях можно применять к яблокам, литрам или секундам?

-- Вс июл 17, 2016 12:44:03 --

Someone в сообщении #1138390 писал(а):
Ну, в естественном языке полно таких неоднозначностей, которые приходится разрешать по контексту.

Да, естественный язык - контекстно зависим. Иногда в контекстно-зависимых грамматиках контекст позволяет интерпретировать как высказывание фразу, которую без контекста никак интерпретировать не удаётся. Но в данном примере никакой контекст не поможет интерпретировать данную фразу как корректное высказывание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)
Сообщение17.07.2016, 12:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
epros в сообщении #1138392 писал(а):
Что Вам это даёт в плане понимания того, является ли замкнутая формула высказыванием или нет?
Нет, нет, речь вовсе не об этом. А о том, что в синтаксисе формальной теории, имхо, полезно вместо термина высказывание использовать термин формула. А термин высказывание оставить интерпретациям данной формальной теории.

epros в сообщении #1138392 писал(а):
А Вас не смущает, что одну и ту же формулу $1+0=1$ в разных интерпретациях можно применять к яблокам, литрам или секундам?
Ровно об это я и написал. Про разные интерпретации одной и той же формулы. Как пример сомнения в тождественности формулы и высказывания (если под формулой понимать не интерпретированную формулу, а под высказыванием — интерпретированную).

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)
Сообщение17.07.2016, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
whitefox в сообщении #1138394 писал(а):
в синтаксисе формальной теории, имхо, полезно вместо термина высказывание использовать термин формула. А термин высказывание оставить интерпретациям данной формальной теории

Идея понятна, но я её не поддерживаю. Высказывание - это часть языка, а не предметной области, к описанию которой применяется язык. Поэтому высказыванием следует считать $1+0=1$, а не его интерпретацию на яблоках. Если мы будем всё, высказанное собеседником, считать высказыванием только после того, как у себя в голове проинтерпретируем его каким-либо образом, то рискуем быть непонятыми. Например, проинтерпретировав упомянутое $1+0=1$ на яблоках, мы можем сказать собеседнику: "Вы говорили, что если прибавить к яблоку...", а в ответ услышим: "Извините, но про яблоки я ничего не говорил, я имел в виду груши". :wink:

Так что лучше всё же именовать "высказыванием" непосредственно то, что высказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)
Сообщение17.07.2016, 12:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
epros в сообщении #1138398 писал(а):
"Извините, но про яблоки я ничего не говорил, я имел в виду груши". :wink:
Чаще всего так и бывает. :wink:
Имхо, попытки исключения подобных взаимонепониманий и привели к появлению различных формальных теорий.

epros в сообщении #1138398 писал(а):
Идея понятна, но я её не поддерживаю.
А можете привести пример согласного с Вами автора, в книге которого термин высказывание имеет формальное определение в формальной грамматике формального языка какой-нибудь формальной логики?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)
Сообщение17.07.2016, 13:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
whitefox в сообщении #1138402 писал(а):
А можете привести пример согласного с Вами автора, в книге которого термин высказывание имеет формальное определение в формальной грамматике формального языка какой-нибудь формальной логики?

Не думаю, что поиск такого примера имеет смысл (это не значит, что их нет), ибо речь идёт всего лишь о слове - синониме к уже существующему термину "формула". При обсуждении формальных языков многие авторы могут не прибегать к употреблению синонимов, а применять только термин "формула". Но это не значит, что употребление слова - синонима запрещено или что ему обязательно нужно придумать другое определение.

А вот примеры того, когда слову "высказывание" придумывается другое определение, по-моему как раз заслуживают хорошей трёпки критики. В частности, упомянутый Вами автор явно неадекватен во многих своих определениях. И в этом - тоже. Ибо "интерпретированная замкнутая формула" (в любых интерпретациях) может иметь всего лишь два значения: "истина" или "ложь". А это значит, что в смысле любой разумной интерпретации высказывания $1+0=1$ и $0+1=1$ - тождественны. То бишь, все истинные (как и все ложные) в данной интерпретации высказывания упомянутый автор, по-сути, предлагает считать "одним и тем же". Согласитесь, как-то странно считать, что высказывания $1+0=1$ и "Лондон - столица Великобритании" - про одно и то же.

На самом деле, высказывания, которые хоть в чём-то отличаются синтаксически, уже следует считать разными. В частности, $1+0=1$ и $0+1=1$ - разные высказывания, хотя с точки зрения банальной эрудиции здравого смысла большинство могут посчитать, что они - "про одно и то же".

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)
Сообщение17.07.2016, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
whitefox в сообщении #1138402 писал(а):
попытки исключения подобных взаимонепониманий и привели к появлению различных формальных теорий
И решение, предлагаемое формальной теорией, как раз и состоит в том, чтобы не обращать внимание на интерпретации. Сила математики как раз в том и состоит, что интерпретация формальной теории может быть произвольной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)
Сообщение17.07.2016, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
epros в сообщении #1138406 писал(а):
Не думаю, что поиск такого примера имеет смысл (это не значит, что их нет), ибо речь идёт всего лишь о слове - синониме к уже существующему термину "формула".

Вот я и высказал сомнение в том, что эти термины действительно синонимы. Так как во всех, доступных мне книгах, они употребляются в различных контекстах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)
Сообщение17.07.2016, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
whitefox в сообщении #1138412 писал(а):
Вот я и высказал сомнение в том, что эти термины действительно синонимы. Так как во всех, доступных мне книгах, они употребляются в различных контекстах.

А можно какие-нибудь другие примеры, помимо Войшвилло?

Насколько я знаю, термин "высказывание" в смысле, независимом от интерпретаций, широко употребляется при описании исчисления высказываний (что звучит даже в наименовании сей дисциплины). Очевидно во избежании путаницы между логиками при описании исчисления предикатов для замкнутых формул более часто применим термин "предложение" (иногда даже употребляют термин "слово", а иногда намеренно не употребляют ничего, кроме "формулы"). Но в силу того, что одно исчисление - часть другого, термин "высказывание" оказывается применимым и в исчислении предикатов. Некоторые авторы могут не употреблять термин "высказывание" применительно к формальным языкам, зарезервировав его для неформальных языков. На этом известные мне адекватные варианты употребления термина "высказывание" заканчиваются. Употребления сего термина в смысле как у Войшвилло по моим понятиям уже являются неадекватными. Поэтому интересно было бы ознакомиться с другими примерами определения термина на предмет рассмотрения их адекватности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)
Сообщение17.07.2016, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
epros в сообщении #1138406 писал(а):
Но это не значит, что употребление слова - синонима запрещено или что ему обязательно нужно придумать другое определение.
Думаю, что термину высказывание авторы никакого нового определения не придумывают, а пользуются тем, что дал Аристотель (возможно в другой формулировке).

epros в сообщении #1138406 писал(а):
А вот примеры того, когда слову "высказывание" придумывается другое определение, по-моему как раз заслуживают хорошей трёпки критики.
Видимо поэтому авторы и не придумывают для слова "высказывание" других определений, а пользуются аристотелевским.

epros в сообщении #1138406 писал(а):
В частности, упомянутый Вами автор явно неадекватен во многих своих определениях.
Не горячитесь, просто приведите ещё парочку примеров неадекватных, с Вашей точки зрения, определений.

epros в сообщении #1138406 писал(а):
Ибо "интерпретированная замкнутая формула" (в любых интерпретациях) может иметь всего лишь два значения: "истина" или "ложь".
Разве Войшвилло утверждает другое? Просто он отождествляет с "высказыванием" не "формулу", а "интерпретированную замкнутую формулу". С учётом этого Ваше утверждение должно звучать так:
Код:
Ибо "высказывание" (в любых интерпретациях) может иметь всего лишь два значения: "истина" или "ложь".
Ну прям как у Аристотеля — tertium non datur. :-)

epros в сообщении #1138406 писал(а):
То бишь, все истинные (как и все ложные) в данной интерпретации высказывания упомянутый автор, по-сути, предлагает считать "одним и тем же".
Наговариваете.

epros в сообщении #1138406 писал(а):
Согласитесь, как-то странно считать, что высказывания $1+0=1$ и "Лондон - столица Великобритании" - про одно и то же.
Согласен, это интерпретации разных формул. Считать их тождественными было бы очень странно. И Вы уверены, что Войшвилло так считал? Но и Вы согласитесь, что очень странно считать за одно и тоже две разные интерпретации одной и той же формулы:
whitefox в сообщении #1138386 писал(а):
формулу $P(a)$ можно интерпретировать как "Два чётное число" и как "Берлин столица Франции"

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)
Сообщение17.07.2016, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
whitefox в сообщении #1138425 писал(а):
Видимо поэтому авторы и не придумывают для слова "высказывание" других определений, а пользуются аристотелевским.

Я вижу, что Войшвилло придумывает. У Аристотеля, насколько я помню, были слова про то, что высказывание "можно" интерпретировать как истину или ложь, но ничего не говорилось про то, что это "уже проинтерпретированная формула".

whitefox в сообщении #1138425 писал(а):
приведите ещё парочку примеров неадекватных, с Вашей точки зрения, определений

Я их не коллекционирую. :-) Но если приведёте ещё какие-нибудь не совпадающие с "синтаксическим" определения, то я готов обсудить их адекватность.

whitefox в сообщении #1138425 писал(а):
Согласен, это интерпретации разных формул. Считать их тождественными было бы очень странно. И Вы уверены, что Войшвилло так считал?

Я сужу о том, что непосредственно написано (а не интерпретирую :-) ):

whitefox в сообщении #1138236 писал(а):
Войшвилло "Символическая логика" стр. 18 писал(а):
... замкнутая формула в результате применения операции $D\varphi$ должныа превращаться ... в ... высказывание

Однако применение данной операции превращает замкнутую формулу в одно из двух логических значений. Стало быть, по мнению Войшвилло, "высказываний" всего два: "истинное" и "ложное".

Если же пытаться интерпретировать, то моя интерпретация такова: Автор сам не до конца понял, о чём он хотел написать.

-- Вс июл 17, 2016 16:45:20 --

whitefox в сообщении #1138425 писал(а):
Но и Вы согласитесь, что очень странно считать за одно и тоже две разные интерпретации одной и той же формулы

Соглашусь. Но отсюда не следует, что высказыванием является интерпретация, а не сама формула.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)
Сообщение17.07.2016, 17:02 


19/03/16

114
mathhelpplanet в Понятие предиката писал(а):
предикат называют также функцией-высказыванием

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)
Сообщение17.07.2016, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
epros в сообщении #1138424 писал(а):
Поэтому интересно было бы ознакомиться с другими примерами определения термина на предмет рассмотрения их адекватности.

Вот некоторые:
Аристотель "Об истолковании" писал(а):
Но не всякая речь есть высказывающая речь, а лишь та, в которой содержится истинность или ложность чего-либо; мольба, например, есть речь, но она не истинна и не ложна.
Ершов "Математическая логика" писал(а):
Высказыванием в русском языке мы называем повествовательное
предложение, про которое можно утверждать, что оно истинно или
ложно.
Гильберт, Аккерман "Основы теоретической логики" писал(а):
Под высказыванием следует понимать каждое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждать, что его содержание истинно или ложно.
Клини "Математическая логика" писал(а):
Мы воспринимаем высказывания через выражающие их повествовательные предложения некоторого языка (предметного языка). Высказывания суть смыслы этих предложений. Повествовательные предложения выражают высказывания (в то время как вопросительные предложения выражают вопросы, а повелительные предложения — приказания, команды).
Слупецкий, Борковский "Элементы математической логики и теория множеств" писал(а):
Здесь следует подчеркнуть, что термин «предложение» в том смысле, в каком он употребляется в логике, обозначает те, и только те фразы, которые истинны или ложны. Таким образом, предложениями в этом смысле являются лишь повествовательные предложения, тем самым ни вопросительные, ни побудительные предложения, о которых говорят в грамматике, не относятся к предложениям в указанном смысле.
Чень, Ли "Математическая логика и автоматическое доказательство теорем" писал(а):
Более формально, высказывание есть утвердительное предложение, которое либо истинно, либо ложно, но не то и другое вместе.

Практически во всех общим местом является требование истинности либо ложности любого высказывания. Вот поэтому у меня и возникает сомнение в синонимичности терминов формула и высказывание. Ведь для формулы, как справедливо было замечено,
Someone в сообщении #1138193 писал(а):
Приплетать сюда какой-то смысл или значение истинности нельзя, потому что ни того, ни другого нет, пока нет интерпретации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)
Сообщение17.07.2016, 18:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
whitefox в сообщении #1138460 писал(а):
Практически во всех общим местом является требование истинности либо ложности любого высказывания

Ни в одной из процитированных фраз я не вижу даже косвенного утверждения о том, что высказыванием является уже проинтерпретированная формула.

Вообще, в классической философии есть такое понимание "суждения", которое Вы сейчас вслед за Войшвилло пытаетесь втащить в математическую логику. Однако эта философия давно протухла. Интерпретировать "высказывания" математической логики в том же смысле, в котором средневековые философы интерпретировали "суждения", оказалось по-просту невозможно. Припоминаю, что когда-то давно на каком-то философском форуме я что-то сказал про беспредметность каких-то суждений, после чего местный гуру принялся меня поучать на тему того, что суждений без предмета не бывает. Здравствуй, средневековый реализм... Когда-то кто-то верил, что любое суждение настолько непосредственно связано с реальностью, что содержит собственный предмет прямо-таки в себе самом. Нет, увы. Высказывание - элемент языка, а предмет ему придаётся в ходе применения высказывания к предметной области. Другое применение и даже другая предметная область не делают высказывание другим. Такова точка зрения победившего номинализма. :-)

whitefox в сообщении #1138460 писал(а):
Вот поэтому у меня и возникает сомнение в синонимичности терминов формула и высказывание. Ведь для формулы, как справедливо было замечено,
Someone в сообщении #1138193 писал(а):
Приплетать сюда какой-то смысл или значение истинности нельзя, потому что ни того, ни другого нет, пока нет интерпретации.

Откуда же сомнения? Действительно, приплетать смысл и значение истинности нельзя - ни к формуле, ни к высказыванию. Они - просто те элементы языка, которым могут быть присвоены значения истинности (а в классической логике - и должны быть присвоены в рамках любой интерпретации). В этом их отличие от других элементов языка, которым не могут быть присвоены значения истинности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)
Сообщение17.07.2016, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
epros в сообщении #1138468 писал(а):
Они - просто те элементы языка, которым могут быть присвоены значения истинности (а в классической логике - и должны быть присвоены в рамках любой интерпретации).
Могут и должны немного различаются, не так ли? :wink: Поэтому и термины, имхо, должны различаться. И они фактически различаются, так как при описании синтаксиса термин высказывание не используется. А в тех контекстах где он всё же используется, речь идёт об языковых элементах уже имеющих определённое значение истинности (а не о тех которые только могут его иметь, но не имеют).

epros в сообщении #1138468 писал(а):
Вообще, в классической философии есть такое понимание "суждения", которое Вы сейчас вслед за Войшвилло пытаетесь втащить в математическую логику.
Опять горячитесь? Без инсинуаций никак нельзя?

-- 17 июл 2016, 19:06 --

epros в сообщении #1138468 писал(а):
Ни в одной из процитированных фраз я не вижу даже косвенного утверждения о том, что высказыванием является уже проинтерпретированная формула.

Удар в пустоту. :-) Эту позицию я не защищаю, а только оспариваю синонимичность терминов формула и высказывание. И приведённые цитаты как раз-таки подтверждают мою позицию. Так как по аристотелевскому определению любое высказывание должно иметь определённое истинностное значение, а формула может его не иметь вне интерпретации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)
Сообщение17.07.2016, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
whitefox в сообщении #1138473 писал(а):
Могут и должны немного различаются, не так ли? :wink: Поэтому и термины, имхо, должны различаться.

"Должны" (которое специфично для классической логики) не имеет отношения к определению понятия "высказывание". Оно, скорее, определяет понятие "интерпретации": "Любая интерпретация должна присваивать значение истинности любому высказыванию языка".

whitefox в сообщении #1138473 писал(а):
в тех контекстах где он всё же используется, речь идёт об языковых элементах уже имеющих определённое значение истинности (а не о тех которые только могут его иметь, но не имеют)

Подозреваю, что "в тех контекстах" имеют место неадекватности, аналогичные Войшвилло. Потому что идея о том, что замкнутая формула сама по себе не высказывание, а высказыванием её делает интерпретация - это абсурд. Интерпретация присваивает замкнутым формулам значения истинности, и больше ничего. Соображение "бытового здравого смысла" о том, что "одно и то же высказывание может быть выражено разными формулами" разумным образом формализовать невозможно, ибо единственный способ группировки формул, который предлагает интерпретация, это по значениям истинности. Т.е. все тождественно истинные формулы и все тождественно ложные формулы с точки зрения интерпретации эквивалентны друг другу.

whitefox в сообщении #1138473 писал(а):
Без инсинуаций никак нельзя?

Не понял. Разве Вы не защищаете идею о том, что высказывание становится таковым только при наличии "смысла" и значения истинности?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 198 ]  На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group