Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)

[epros]

whitefox в сообщении #1138386 писал(а):

В то время как интерпретированная формула всё это приобретает.

Насколько я понимаю в интерпретациях, интерпретаций формулы является подмножество предметов домена, а интерпретацией замкнутой формулы является либо пустое множество, либо домен (ерунду написал) либо тождественно истинный, либо тождественно ложный предикат. Что Вам это даёт в плане понимания того, является ли замкнутая формула высказыванием или нет?

whitefox в сообщении #1138386 писал(а):

одна и та же формула может иметь не тождественные интерпретации, например, формулу $P(a)$ можно интерпретировать как "Два чётное число" и как "Берлин столица Франции"

А Вас не смущает, что одну и ту же формулу $1+0=1$ в разных интерпретациях можно применять к яблокам, литрам или секундам?

-- Вс июл 17, 2016 12:44:03 --

Someone в сообщении #1138390 писал(а):

Ну, в естественном языке полно таких неоднозначностей, которые приходится разрешать по контексту.

Да, естественный язык - контекстно зависим. Иногда в контекстно-зависимых грамматиках контекст позволяет интерпретировать как высказывание фразу, которую без контекста никак интерпретировать не удаётся. Но в данном примере никакой контекст не поможет интерпретировать данную фразу как корректное высказывание.

[whitefox]

epros в сообщении #1138392 писал(а):

Что Вам это даёт в плане понимания того, является ли замкнутая формула высказыванием или нет?

Нет, нет, речь вовсе не об этом. А о том, что в синтаксисе формальной теории, имхо, полезно вместо термина высказывание использовать термин формула. А термин высказывание оставить интерпретациям данной формальной теории.

epros в сообщении #1138392 писал(а):

А Вас не смущает, что одну и ту же формулу $1+0=1$ в разных интерпретациях можно применять к яблокам, литрам или секундам?

Ровно об это я и написал. Про разные интерпретации одной и той же формулы. Как пример сомнения в тождественности формулы и высказывания (если под формулой понимать не интерпретированную формулу, а под высказыванием — интерпретированную).

[epros]

whitefox в сообщении #1138394 писал(а):

в синтаксисе формальной теории, имхо, полезно вместо термина высказывание использовать термин формула. А термин высказывание оставить интерпретациям данной формальной теории

Идея понятна, но я её не поддерживаю. Высказывание - это часть языка, а не предметной области, к описанию которой применяется язык. Поэтому высказыванием следует считать $1+0=1$, а не его интерпретацию на яблоках. Если мы будем всё, высказанное собеседником, считать высказыванием только после того, как у себя в голове проинтерпретируем его каким-либо образом, то рискуем быть непонятыми. Например, проинтерпретировав упомянутое $1+0=1$ на яблоках, мы можем сказать собеседнику: "Вы говорили, что если прибавить к яблоку...", а в ответ услышим: "Извините, но про яблоки я ничего не говорил, я имел в виду груши".

Так что лучше всё же именовать "высказыванием" непосредственно то, что высказано.

[whitefox]

epros в сообщении #1138398 писал(а):

"Извините, но про яблоки я ничего не говорил, я имел в виду груши".

Чаще всего так и бывает.
Имхо, попытки исключения подобных взаимонепониманий и привели к появлению различных формальных теорий.

epros в сообщении #1138398 писал(а):

Идея понятна, но я её не поддерживаю.

А можете привести пример согласного с Вами автора, в книге которого термин высказывание имеет формальное определение в формальной грамматике формального языка какой-нибудь формальной логики?

[epros]

whitefox в сообщении #1138402 писал(а):

А можете привести пример согласного с Вами автора, в книге которого термин высказывание имеет формальное определение в формальной грамматике формального языка какой-нибудь формальной логики?

Не думаю, что поиск такого примера имеет смысл (это не значит, что их нет), ибо речь идёт всего лишь о слове - синониме к уже существующему термину "формула". При обсуждении формальных языков многие авторы могут не прибегать к употреблению синонимов, а применять только термин "формула". Но это не значит, что употребление слова - синонима запрещено или что ему обязательно нужно придумать другое определение.

А вот примеры того, когда слову "высказывание" придумывается другое определение, по-моему как раз заслуживают хорошей трёпки критики. В частности, упомянутый Вами автор явно неадекватен во многих своих определениях. И в этом - тоже. Ибо "интерпретированная замкнутая формула" (в любых интерпретациях) может иметь всего лишь два значения: "истина" или "ложь". А это значит, что в смысле любой разумной интерпретации высказывания $1+0=1$ и $0+1=1$ - тождественны. То бишь, все истинные (как и все ложные) в данной интерпретации высказывания упомянутый автор, по-сути, предлагает считать "одним и тем же". Согласитесь, как-то странно считать, что высказывания $1+0=1$ и "Лондон - столица Великобритании" - про одно и то же.

На самом деле, высказывания, которые хоть в чём-то отличаются синтаксически, уже следует считать разными. В частности, $1+0=1$ и $0+1=1$ - разные высказывания, хотя с точки зрения банальной эрудиции здравого смысла большинство могут посчитать, что они - "про одно и то же".

[Someone]

whitefox в сообщении #1138402 писал(а):

попытки исключения подобных взаимонепониманий и привели к появлению различных формальных теорий

И решение, предлагаемое формальной теорией, как раз и состоит в том, чтобы не обращать внимание на интерпретации. Сила математики как раз в том и состоит, что интерпретация формальной теории может быть произвольной.

[whitefox]

epros в сообщении #1138406 писал(а):

Не думаю, что поиск такого примера имеет смысл (это не значит, что их нет), ибо речь идёт всего лишь о слове - синониме к уже существующему термину "формула".

Вот я и высказал сомнение в том, что эти термины действительно синонимы. Так как во всех, доступных мне книгах, они употребляются в различных контекстах.

[epros]

whitefox в сообщении #1138412 писал(а):

Вот я и высказал сомнение в том, что эти термины действительно синонимы. Так как во всех, доступных мне книгах, они употребляются в различных контекстах.

А можно какие-нибудь другие примеры, помимо Войшвилло?

Насколько я знаю, термин "высказывание" в смысле, независимом от интерпретаций, широко употребляется при описании исчисления высказываний (что звучит даже в наименовании сей дисциплины). Очевидно во избежании путаницы между логиками при описании исчисления предикатов для замкнутых формул более часто применим термин "предложение" (иногда даже употребляют термин "слово", а иногда намеренно не употребляют ничего, кроме "формулы"). Но в силу того, что одно исчисление - часть другого, термин "высказывание" оказывается применимым и в исчислении предикатов. Некоторые авторы могут не употреблять термин "высказывание" применительно к формальным языкам, зарезервировав его для неформальных языков. На этом известные мне адекватные варианты употребления термина "высказывание" заканчиваются. Употребления сего термина в смысле как у Войшвилло по моим понятиям уже являются неадекватными. Поэтому интересно было бы ознакомиться с другими примерами определения термина на предмет рассмотрения их адекватности.

[whitefox]

epros в сообщении #1138406 писал(а):

Но это не значит, что употребление слова - синонима запрещено или что ему обязательно нужно придумать другое определение.

Думаю, что термину высказывание авторы никакого нового определения не придумывают, а пользуются тем, что дал Аристотель (возможно в другой формулировке).

epros в сообщении #1138406 писал(а):

А вот примеры того, когда слову "высказывание" придумывается другое определение, по-моему как раз заслуживают хорошей трёпки критики.

Видимо поэтому авторы и не придумывают для слова "высказывание" других определений, а пользуются аристотелевским.

epros в сообщении #1138406 писал(а):

В частности, упомянутый Вами автор явно неадекватен во многих своих определениях.

Не горячитесь, просто приведите ещё парочку примеров неадекватных, с Вашей точки зрения, определений.

epros в сообщении #1138406 писал(а):

Ибо "интерпретированная замкнутая формула" (в любых интерпретациях) может иметь всего лишь два значения: "истина" или "ложь".

Разве Войшвилло утверждает другое? Просто он отождествляет с "высказыванием" не "формулу", а "интерпретированную замкнутую формулу". С учётом этого Ваше утверждение должно звучать так:

Ибо "высказывание" (в любых интерпретациях) может иметь всего лишь два значения: "истина" или "ложь".

Ну прям как у Аристотеля — tertium non datur.

epros в сообщении #1138406 писал(а):

То бишь, все истинные (как и все ложные) в данной интерпретации высказывания упомянутый автор, по-сути, предлагает считать "одним и тем же".

Наговариваете.

epros в сообщении #1138406 писал(а):

Согласитесь, как-то странно считать, что высказывания $1+0=1$ и "Лондон - столица Великобритании" - про одно и то же.

Согласен, это интерпретации разных формул. Считать их тождественными было бы очень странно. И Вы уверены, что Войшвилло так считал? Но и Вы согласитесь, что очень странно считать за одно и тоже две разные интерпретации одной и той же формулы:

whitefox в сообщении #1138386 писал(а):

формулу $P(a)$ можно интерпретировать как "Два чётное число" и как "Берлин столица Франции"

[epros]

whitefox в сообщении #1138425 писал(а):

Видимо поэтому авторы и не придумывают для слова "высказывание" других определений, а пользуются аристотелевским.

Я вижу, что Войшвилло придумывает. У Аристотеля, насколько я помню, были слова про то, что высказывание "можно" интерпретировать как истину или ложь, но ничего не говорилось про то, что это "уже проинтерпретированная формула".

whitefox в сообщении #1138425 писал(а):

приведите ещё парочку примеров неадекватных, с Вашей точки зрения, определений

Я их не коллекционирую. Но если приведёте ещё какие-нибудь не совпадающие с "синтаксическим" определения, то я готов обсудить их адекватность.

whitefox в сообщении #1138425 писал(а):

Согласен, это интерпретации разных формул. Считать их тождественными было бы очень странно. И Вы уверены, что Войшвилло так считал?

Я сужу о том, что непосредственно написано (а не интерпретирую ):

whitefox в сообщении #1138236 писал(а):

Войшвилло "Символическая логика" стр. 18 писал(а):

... замкнутая формула в результате применения операции $D\varphi$ должныа превращаться ... в ... высказывание

Однако применение данной операции превращает замкнутую формулу в одно из двух логических значений. Стало быть, по мнению Войшвилло, "высказываний" всего два: "истинное" и "ложное".

Если же пытаться интерпретировать, то моя интерпретация такова: Автор сам не до конца понял, о чём он хотел написать.

-- Вс июл 17, 2016 16:45:20 --

whitefox в сообщении #1138425 писал(а):

Но и Вы согласитесь, что очень странно считать за одно и тоже две разные интерпретации одной и той же формулы

Соглашусь. Но отсюда не следует, что высказыванием является интерпретация, а не сама формула.

[buddy]

mathhelpplanet в Понятие предиката писал(а):

предикат называют также функцией-высказыванием

[whitefox]

epros в сообщении #1138424 писал(а):

Поэтому интересно было бы ознакомиться с другими примерами определения термина на предмет рассмотрения их адекватности.

Вот некоторые:

Аристотель "Об истолковании" писал(а):

Но не всякая речь есть высказывающая речь, а лишь та, в которой содержится истинность или ложность чего-либо; мольба, например, есть речь, но она не истинна и не ложна.

Ершов "Математическая логика" писал(а):

Высказыванием в русском языке мы называем повествовательное
предложение, про которое можно утверждать, что оно истинно или
ложно.

Гильберт, Аккерман "Основы теоретической логики" писал(а):

Под высказыванием следует понимать каждое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждать, что его содержание истинно или ложно.

Клини "Математическая логика" писал(а):

Мы воспринимаем высказывания через выражающие их повествовательные предложения некоторого языка (предметного языка). Высказывания суть смыслы этих предложений. Повествовательные предложения выражают высказывания (в то время как вопросительные предложения выражают вопросы, а повелительные предложения — приказания, команды).

Слупецкий, Борковский "Элементы математической логики и теория множеств" писал(а):

Здесь следует подчеркнуть, что термин «предложение» в том смысле, в каком он употребляется в логике, обозначает те, и только те фразы, которые истинны или ложны. Таким образом, предложениями в этом смысле являются лишь повествовательные предложения, тем самым ни вопросительные, ни побудительные предложения, о которых говорят в грамматике, не относятся к предложениям в указанном смысле.

Чень, Ли "Математическая логика и автоматическое доказательство теорем" писал(а):

Более формально, высказывание есть утвердительное предложение, которое либо истинно, либо ложно, но не то и другое вместе.

Практически во всех общим местом является требование истинности либо ложности любого высказывания. Вот поэтому у меня и возникает сомнение в синонимичности терминов формула и высказывание. Ведь для формулы, как справедливо было замечено,

Someone в сообщении #1138193 писал(а):

Приплетать сюда какой-то смысл или значение истинности нельзя, потому что ни того, ни другого нет, пока нет интерпретации.

[epros]

whitefox в сообщении #1138460 писал(а):

Практически во всех общим местом является требование истинности либо ложности любого высказывания

Ни в одной из процитированных фраз я не вижу даже косвенного утверждения о том, что высказыванием является уже проинтерпретированная формула.

Вообще, в классической философии есть такое понимание "суждения", которое Вы сейчас вслед за Войшвилло пытаетесь втащить в математическую логику. Однако эта философия давно протухла. Интерпретировать "высказывания" математической логики в том же смысле, в котором средневековые философы интерпретировали "суждения", оказалось по-просту невозможно. Припоминаю, что когда-то давно на каком-то философском форуме я что-то сказал про беспредметность каких-то суждений, после чего местный гуру принялся меня поучать на тему того, что суждений без предмета не бывает. Здравствуй, средневековый реализм... Когда-то кто-то верил, что любое суждение настолько непосредственно связано с реальностью, что содержит собственный предмет прямо-таки в себе самом. Нет, увы. Высказывание - элемент языка, а предмет ему придаётся в ходе применения высказывания к предметной области. Другое применение и даже другая предметная область не делают высказывание другим. Такова точка зрения победившего номинализма.

whitefox в сообщении #1138460 писал(а):

Вот поэтому у меня и возникает сомнение в синонимичности терминов формула и высказывание. Ведь для формулы, как справедливо было замечено,

Someone в сообщении #1138193 писал(а):

Приплетать сюда какой-то смысл или значение истинности нельзя, потому что ни того, ни другого нет, пока нет интерпретации.

Откуда же сомнения? Действительно, приплетать смысл и значение истинности нельзя - ни к формуле, ни к высказыванию. Они - просто те элементы языка, которым могут быть присвоены значения истинности (а в классической логике - и должны быть присвоены в рамках любой интерпретации). В этом их отличие от других элементов языка, которым не могут быть присвоены значения истинности.

[whitefox]

epros в сообщении #1138468 писал(а):

Они - просто те элементы языка, которым могут быть присвоены значения истинности (а в классической логике - и должны быть присвоены в рамках любой интерпретации).

Могут и должны немного различаются, не так ли? Поэтому и термины, имхо, должны различаться. И они фактически различаются, так как при описании синтаксиса термин высказывание не используется. А в тех контекстах где он всё же используется, речь идёт об языковых элементах уже имеющих определённое значение истинности (а не о тех которые только могут его иметь, но не имеют).

epros в сообщении #1138468 писал(а):

Вообще, в классической философии есть такое понимание "суждения", которое Вы сейчас вслед за Войшвилло пытаетесь втащить в математическую логику.

Опять горячитесь? Без инсинуаций никак нельзя?

-- 17 июл 2016, 19:06 --

epros в сообщении #1138468 писал(а):

Ни в одной из процитированных фраз я не вижу даже косвенного утверждения о том, что высказыванием является уже проинтерпретированная формула.

Удар в пустоту. Эту позицию я не защищаю, а только оспариваю синонимичность терминов формула и высказывание. И приведённые цитаты как раз-таки подтверждают мою позицию. Так как по аристотелевскому определению любое высказывание должно иметь определённое истинностное значение, а формула может его не иметь вне интерпретации.

[epros]

whitefox в сообщении #1138473 писал(а):

Могут и должны немного различаются, не так ли? Поэтому и термины, имхо, должны различаться.

"Должны" (которое специфично для классической логики) не имеет отношения к определению понятия "высказывание". Оно, скорее, определяет понятие "интерпретации": "Любая интерпретация должна присваивать значение истинности любому высказыванию языка".

whitefox в сообщении #1138473 писал(а):

в тех контекстах где он всё же используется, речь идёт об языковых элементах уже имеющих определённое значение истинности (а не о тех которые только могут его иметь, но не имеют)

Подозреваю, что "в тех контекстах" имеют место неадекватности, аналогичные Войшвилло. Потому что идея о том, что замкнутая формула сама по себе не высказывание, а высказыванием её делает интерпретация - это абсурд. Интерпретация присваивает замкнутым формулам значения истинности, и больше ничего. Соображение "бытового здравого смысла" о том, что "одно и то же высказывание может быть выражено разными формулами" разумным образом формализовать невозможно, ибо единственный способ группировки формул, который предлагает интерпретация, это по значениям истинности. Т.е. все тождественно истинные формулы и все тождественно ложные формулы с точки зрения интерпретации эквивалентны друг другу.

whitefox в сообщении #1138473 писал(а):

Без инсинуаций никак нельзя?

Не понял. Разве Вы не защищаете идею о том, что высказывание становится таковым только при наличии "смысла" и значения истинности?