Слишком простой вопрос

[iifat]

miflin в сообщении #1070977 писал(а):

начинать с доказательства, что $1,\,2,\,3\,...\,n$ - целые числа

Не нужно. Единица натуральное число по первой аксиоме Пеано. Кроме того, у каждого натурального числа есть следующее; обозначаем следующее за единицей $2$, следующее за ней $3$ и т.д.

SomePupil в сообщении #1070979 писал(а):

остается чувство чего-то недопиленного

Естественно. Хотите довести доказательство до аксиом Пеано? Действуйте. Это будет для вас полезным упражнением.

-- 07.11.2015, 18:44 --

SomePupil в сообщении #1070988 писал(а):

Оказывается, люди постулируют, что между нулем и единицей нет целого

Кто эти странные люди? С какой стати они постулируют всякие мерзости перед лицом господа? В аксиоматике Пеано, насколько я понял, нет ни вообще нуля (что не есть сколь-нибудь важно, впрочем; ввести не проблема), ни понятия «между».

[miflin]

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1070994 писал(а):

miflin в сообщении #1070977 писал(а):

начинать с доказательства, что $1,\,2,\,3\,...\,n$ - целые числа

Не нужно. Единица натуральное число по первой аксиоме Пеано.

Ну, не нужно, так не нужно. Уже легче. Странно, что до Пеано удавалось как-то отличать дроби от целых чисел,
удалось создать матанализ...
Я, тем не менее, ложусь на дно, и название числа $0.5$ как "ноль целых пять десятых"
буду считать всего лишь условно правильным, пока не осилю строгое доказательство того,
что осколок горшка - это не целый горшок. И калькулятором не буду пользоваться. От греха подальше.

[iifat]

(Оффтоп)

miflin в сообщении #1071070 писал(а):

буду считать всего лишь условно правильным, пока не осилю строгое доказательство того, что осколок горшка - это не целый горшок

«Не могу пройти молчанием» вашу весьма мудрую и взвешенную позицию. Действительно, «здравый смысл, наш верный спутник в четырёх стенах» ну и так далее.

[miflin]

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1071087 писал(а):

«Не могу пройти молчанием» вашу весьма мудрую и взвешенную позицию. Действительно, «здравый смысл, наш верный спутник в четырёх стенах» ну и так далее.

Не могу не позавидовать вашему местоположению: высоко сижу, далеко гляжу. (c).

[kp9r4d]

Если мы определяем натуральные числа как любую теорию, удовлетворяющую первопорядковым аксиомам Пеано, то вопрос "является ли $\frac{1}{2}$ натуральным числом" тупо бессмысленен, его даже невозможно задать в этой теории, так как там нету объекта $\frac{1}{2}$ и даже такого значка в алфавите нету. С другой же стороны, очень просто доказать из аксиом Пеано следующее: "не существует такого натурального $n$ что $n \times 2 = 1$", что легко доказывается по индукции.
Если же мы определили, например, вещественные числа как "$\mathbb{R} =$ набиольшее архимедово линейно-упорядоченное поле", а натуральные числа как "наименьшее индуктивное подмножество $\mathbb{R}$, содержащее $1$", то у нас опять же появляется принцип индукции, и по нему легко доказать, что $n \times 2 > 1$ для любого $n$. Второй подход очень хорошо изложен в первом томе Зорича во второй главе.

[ewert]

"Во всем мне хочется дойти
До самой жути.
В работе, в поисках пути,
В формальной смуте..."

А вот некоторые Вики (как раз в статье "целое число") ровно так $\mathbb Z$ и определяют: что, мол, нету обратного -- и всё тут.

А некоторые доходят до такой наглости, что тупо определяют $\mathbb Z$ как бесконечную циклическую группу по сложению -- и опять же всё тут.

Много гитик, и все разные. Ну и что?...

[Munin]

kp9r4d в сообщении #1071104 писал(а):

так как там нету объекта $\frac{1}{2}$ и даже такого значка в алфавите нету.

Поскольку $m\cdot(n^{-1})=(n^{-1})\cdot m,$ то для этого произведения используется обозначение $m:n$ или $\tfrac{m}{n}$ (когда существует, конечно).

Update:

[Andrey A]

SomePupil в сообщении #1070948 писал(а):

Вот доказательство Евклида/Евдокса/Тота про нерациональность корня из двух я всецело принимаю и считаю строгим.

Упомянутое доказательство базируется на понятии "несократимая дробь". И противоречие итоговое состоит в наличии общего делителя >1. Определите ЦЕЛЫЕ как несократимые дроби со знаменателем $1$, и выйдет не хуже. А иначе не доказать что $1551/517$ есть целое число - вместе с делимостью из предпосылок улетучивается понятие величины. Просто пары целых чисел (если $517$ целое ).

[miflin]

Munin в сообщении #1071178 писал(а):

Update:

Насколько я понял, kp9r4d имел в виду, что сколько бы мы ни продолжали ряд $0,1,2,3,4...$ ,
в нем никогда не появится $\frac{1}{2}$, и вопрос действительно "тупо бессмысленен".

[arseniiv]

SomePupil в сообщении #1070988 писал(а):

P. S. Интересно, что сабж оказался непосредственно связанным с упорядоченностю целых.

Не непосредственно, т. к. выше привели доказательства с одной только структурой кольца, без всякого порядка.

[Munin]

miflin
Нет, я про то, что я брякнул невероятную глупость, на что мне и указали в ЛС. В кольце целых чисел вообще нет никаких $n^{-1}$...

-- 08.11.2015 18:05:24 --

Так что, обозначение деления в кольце целых чисел надо давать аккуратнее. $m:n\equiv\tfrac{m}{n}=k$ такое что $(m:n)\cdot n=n\cdot(m:n)=m,$ когда такое вообще существует. Собственно, через обратную операцию, а не через обратный элемент.

[SomePupil]

Спасибо за ответы.
Значит, вопросы делимости/неделимости зависят только от алгебраической структуры алгебраических структур...