Слишком простой вопрос

[SomePupil]

Задумался над одним простеньким вопросом: как доказать, что целые числа незамкнуты относительно деления? Ну, вот, например, берем 2. Как доказать, что одна вторая - не целое число?

Можно, конечно, сказать, что единица не имеет простых множителей, кроме -1 и самого себя, но это замкнутый круг.

[miflin]

(Оффтоп)

SomePupil в сообщении #1070940 писал(а):

Как доказать, что одна вторая - не целое число?

Принять необходимость и простить оной в душе своей.
Совсем заучился, бедолага... Неужели это можно обсуждать всерьез?
Впрочем, можно разрезать яблоко на две равные части и переводить взгляд с одной половинки на другую...

Это моя реакция как неотягощенного знанием математики.

[NSKuber]

Предположим, что $\frac{1}{2}$ - целое.
По определению, $\frac{1}{2}=1\cdot (2)^{-1}=2^{-1}$, то есть у двойки есть обратный элемент в кольце целых, обозначим его буковкой $a$.
Тогда $2\cdot a = 1$, что, из-за чётности, не выполняется ни для какого целого $a$, противоречие.

[SomePupil]

Ну, хорошо, тогда рассмотрим одну третью. Четность исчезнет.
Я уже составил в уме пару таких же доказательств, но мне кажется, что они не строги.
Потому и спрашиваю.

-- 07.11.2015, 08:14 --

miflin
А ведь люди это обсуждали, причём очень серьезно. Правда, несколько сотен лет назад...
Вот доказательство Евклида/Евдокса/Тота про нерациональность корня из двух я всецело принимаю и считаю строгим. Хотелось бы так же строго обосновать сабж

[iifat]

SomePupil в сообщении #1070948 писал(а):

рассмотрим одну третью. Четность исчезнет

Исчезнет чётность, появится делимость на три.
Собственно, для обсуждаемого вопроса это и не важно. Нецелости половины для него достаточно, даже если треть окажется целой.

[miflin]

Сразу приношу извинения за не слишком корректный стиль моего предыдущего поста.
Но что написано, то написано...

SomePupil в сообщении #1070948 писал(а):

Вот доказательство Евклида/Евдокса/Тота про нерациональность корня из двух я всецело принимаю и считаю строгим.

Здесь нет вопросов. Но то, что $\frac{1}{2}$ нецелое число, разве это не по определению,
а требуется доказывать?
Та крохотная доля математики, которую я изучал, лежит, в основном, в области приложений в физике,
поэтому на некоторые теоретические моменты, связанные с обоснованием, я смотрю как дикарь на зажигалку.

[ewert]

SomePupil в сообщении #1070948 писал(а):

Ну, хорошо, тогда рассмотрим одну третью.

Если $\frac13=n$, то $3\cdot n=1$, т.е. $n+n+n=1$. Как-то подозрительно...

[iifat]

miflin в сообщении #1070955 писал(а):

не по определению

Мог, конечно, и забыть, но что-то я себе не представляю соответствующего определения. Определённо, это надо доказывать. При всей простоте доказательства.

[miflin]

iifat в сообщении #1070967 писал(а):

Определённо, это надо доказывать.

Но тогда, наверное, нужно начинать с доказательства, что $1,\,2,\,3\,...\,n$ - целые числа...

[SomePupil]

Значит, слева делится, справа - нет. QED.
Но все-таки остается чувство чего-то недопиленного...
Может быть, тут что-то связано с аксиомами Пеано или что-то в этом роде?

[Brukvalub]

SomePupil в сообщении #1070979 писал(а):

Но все-таки остается чувство чего-то недопиленного...
Может быть, тут что-то связано с аксиомами Пеано или что-то в этом роде?

Вот вам напильник, допиливайте: см. определения натуральных и целых чисел.

[Mihr]

SomePupil,
для разбора подобных вопросов рекомендую вот эту книжку:

Ларин С.В. Числовые системы. http://mirknig.com/knigi/estesstv_nauki ... stemy.html

Что касается именно этого вопроса. На мой взгляд, схема доказательства может быть построена так:
1. Вводим понятие "меньше" на полукольце натуральных чисел ($a$ меньше $b$ если существует $c$, такое что $a+c=b$, подробнее см. у Ларина).
2. Доказываем, что произведение натуральных чисел не меньше каждого из сомножителей (это легко выводится из аксиом умножения).
3. Замечаем, что единица меньше всех остальных натуральных чисел (вытекает из определения "меньше" и из аксиом Пеано).
4. Видим, что равенство $2a=1$ ведёт к противоречию со сказанным выше.

[SomePupil]

Я погуглил. Оказывается, люди постулируют, что между нулем и единицей нет целого. Значит, любое целое, по модулю превосходящее единицу, не является делителем её, ибо модуль частного в этом случае находился бы между нулем и единицей.

P. S. Интересно, что сабж оказался непосредственно связанным с упорядоченностю целых. А как обстоит дело в неупорядоченных кольцах? Обратимы ли их элементы? Но это уже другой вопрос.

-- 07.11.2015, 12:20 --

Mihr, спасибо. Ваш подход тоже катит

[Brukvalub]

SomePupil в сообщении #1070988 писал(а):

А как обстоит дело в неупорядоченных кольцах? Обратимы ли их элементы?

А учебники по высшей алгебре читать не пробовали?

[Mihr]

SomePupil в сообщении #1070988 писал(а):

А как обстоит дело в неупорядоченных кольцах? Обратимы ли их элементы?

Совершенно не обязательно.

P.S. Более того, существуют кольца без единицы. В них понятие обратимости вообще теряет смысл.