(Оффтоп)
На полном серьезе не понимаю, об чем тут ведется такая оживленная дискуссия.
Да, правильно. Воспользовался кнопкой "игнор".
И опять придётся решать кубическое уравнение, корни которого выражаются через радикалы с комплексными подкоренными выражениями… Или я что-то не понял? У Вас ведь нет

и

. Откуда Вы знаете, через какие радикалы они выражаются и выражаются ли вообще?
А я, похоже, ошибаюсь. Смысл у меня было в том, что можно было бы все сводить к относительно легким диофантовым уравнениям, но это получается только для простых случаев.
Примеры:
1.

. Пусть надо вычислить
![$\sqrt[3]{a+bi}$ $\sqrt[3]{a+bi}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/9/ad98a532938f8e3753ba6d59d49d65d182.png)
для

. Домножением на определенное число задача сводится к вычислению
![$\sqrt[3]{a+bi}$ $\sqrt[3]{a+bi}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/9/ad98a532938f8e3753ba6d59d49d65d182.png)
для

.
Так как корень извлекается, то
![$\sqrt[3]{a+bi}=c+di$ $\sqrt[3]{a+bi}=c+di$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/9/fd9433a6bd9f20d17203f3655d2ef31c82.png)
для некоторых

. Возводим в куб, группируем действительные и мнимые части, получаем систему

Перебором всех делителей

получим все возможные пары

, проверяем, если нашли, значит корень извлекается.
2.

. Пусть надо вычислить
![$\sqrt[3]{a+b\sqrt{d}}$ $\sqrt[3]{a+b\sqrt{d}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/6/8165c217556221bac8b766a215d4e2c682.png)
для

. Домножением на определенное число и вынесением квадратов за корень задача сводится к вычислению
![$\sqrt[3]{a+b\sqrt{d}}$ $\sqrt[3]{a+b\sqrt{d}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/6/8165c217556221bac8b766a215d4e2c682.png)
для

, причем

свободно от квадратов. Если

, то задача сводится к пункту 1, иначе

иррационально.
Так как корень извлекается, то
![$\sqrt[3]{a+b\sqrt{d}}=c+e\sqrt{d}$ $\sqrt[3]{a+b\sqrt{d}}=c+e\sqrt{d}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/0/78070c16e19696a3aced54f36013d08782.png)
для некоторых

. Возводим в куб, группируем рациональные и иррациональные части, получаем систему

Перебором всех делителей

опять же получим все возможные пары

, проверяем, если нашли, значит корень извлекается.
Но для более сложных полей (например, для

) такой способ не прокатывает: при возведении в куб коэффициенты при базисных векторах не разлагаются на множители. М.б. для квадратичных расширений еще можно попытаться использовать понятия делимости, но для расширений высших степеней этот прием в принципе не проходит.
Увы
