2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 15:53 


03/03/12
1355
Для рациональных, да, средний школьник, может решить такую задачу, по крайней мере, двумя способами. Одним, уж, точно.( $(\alpha;\beta)$ действительные числа, нерациональные.)

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 16:19 
Заслуженный участник


08/04/08
8519

(Оффтоп)

TR63 в сообщении #1065769 писал(а):
Порой удаётся вычислить кубический корень из комплексного числа в форме $\alpha+i\beta$. Вопрос: есть ли критерий в виде $\alpha=f(\beta)$ (без мнимых единиц), чтобы различать эти случаи (когда можно, когда нет).
TR63 в сообщении #1065785 писал(а):
$(\alpha;\beta)$ действительные числа, нерациональные.)
В таком случае, вопрос бессмысленный.
Формальный ответ: для любых $\alpha,\beta$

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 16:56 


03/03/12
1355

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #1065791 писал(а):
Формальный ответ: для любых \alpha, \beta

Можно ссылку на источник. Если вопрос непонятно или бессмысленно сформулирован, тогда меня больше устроит ответ Куроша, что общего метода извлечения кубического корня из комплексного числа в форме $\alpha+i\beta$ не известно.

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 16:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
TR63
Вопрос упирается в понимание фразы "извлечение кубического корня". То есть какие действия считаются "реализуемыми".

Вот например, вы умеете извлекать кубический корень из 2? Чему он равен?

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 17:32 


03/03/12
1355
provincialka в сообщении #1065807 писал(а):
То есть какие действия считаются "реализуемыми".

Поскольку для решения задачи надо решать кубическое уравнение (тригонометрическая форма не интересует), то реализуемыми считаются действия, при которых действительная и мнимая части выражены через коэффициЭнты при помощи радикалов с действительными подкоренными выражениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 17:55 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
TR63 в сообщении #1065815 писал(а):
Поскольку для решения задачи надо решать кубическое уравнение (тригонометрическая форма не интересует), то реализуемыми считаются действия, при которых действительная и мнимая части выражены через коэффициЭнты при помощи радикалов с действительными подкоренными выражениями.
Тогда это может оказаться несложной, но громоздкой задачей.
Пусть $\sqrt[3]{\gamma+i\delta}=\alpha+i\beta$. Поскольку $\alpha,\beta$ выражаются через какие-то радикалы, то $\gamma,\delta$ тоже выражаются через эти же радикалы. Дальше действуем как в случае $\mathbb{Q}$: возводим все в кубик и если рассматриваемое поле $P$, содержащее $\alpha,\beta$ имеет конечный базис, то приравниваем коэффициенты и решаем систему. Мне мерещится, что задача разрешима и при некоторых типах бесконечных базисов.
Поскольку полей $P$ суть менее, чем дофига, потому искать это в литературе особого смысла нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 18:19 


03/03/12
1355
Sonic86 в сообщении #1065823 писал(а):
Поскольку $\alpha,\beta$ выражаются через какие-то радикалы

Это надо доказать или опровергнуть. ($\gamma;\delta$) заданные действительные числа. У Вас может получится уравнение с тремя действительными корнями.... Или надо доказать, что такого не может случиться. Если Вы считаете, что в общем виде это доказано, то у меня нет вопросов.

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 18:53 
Заслуженный участник


08/04/08
8519

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #1065823 писал(а):
$\sqrt[3]{\gamma+i\delta}=\alpha+i\beta$.
TR63 в сообщении #1065832 писал(а):
Sonic86 в сообщении #1065823 писал(а):
Поскольку $\alpha,\beta$ выражаются через какие-то радикалы

Это надо доказать или опровергнуть. ($\gamma;\delta$) заданные действительные числа. У Вас может получится уравнение с тремя действительными корнями.... Или надо доказать, что такого не может случиться. Если Вы считаете, что в общем виде это доказано, то у меня нет вопросов.
Вы же сами пишете:
TR63 в сообщении #1065815 писал(а):
реализуемыми считаются действия, при которых действительная и мнимая части выражены через коэффициЭнты при помощи радикалов с действительными подкоренными выражениями.
Думаем, не торопимся...

А, нет, это я туплю:
TR63 в сообщении #1065815 писал(а):
действительная и мнимая части выражены через коэффициЭнты при помощи радикалов с действительными подкоренными выражениями.
В таком случае задача опять бессмысленна: ответ $(\forall\alpha,\beta)$.
Я писал про случай, когда подкоренные выражения рациональны, а точнее, когда они лежат в поле корней (т.е. во множестве, порождаемом операциями поля и извлечения радикала в $\mathbb{C}$)

TR63 в сообщении #1065832 писал(а):
У Вас может получится уравнение с тремя действительными корнями....
уравнение $z^3=\gamma+i\delta$ всегда имеет общеизвестное число корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17731
Москва
Sonic86 в сообщении #1065823 писал(а):
приравниваем коэффициенты и решаем систему
И опять придётся решать кубическое уравнение, корни которого выражаются через радикалы с комплексными подкоренными выражениями… Или я что-то не понял? У Вас ведь нет $\alpha$ и $\beta$. Откуда Вы знаете, через какие радикалы они выражаются и выражаются ли вообще? Прошу прощения, может, я глупость написал, но я этим никогда не занимался.

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 19:18 


03/03/12
1355
Sonic86 в сообщении #1065843 писал(а):
ответ $(\forall\alpha,\beta)$

Тогда получается, что, взяв произвольное кубическое уравнение с тремя действительными корнями, сможем корни выразить без мнимых единиц?
TR63 в сообщении #1065815 писал(а):
реализуемыми считаются действия, при которых действительная и мнимая части выражены через коэффициЭнты при помощи радикалов с действительными подкоренными выражениями

Это относится к $(\alpha;\beta)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 19:35 
Аватара пользователя


11/08/11
1125
Да сколько ж можно мусолить этот вопрос. Определитесь, что означают слова "выразить корни в действительных числах". Если имеется в виду выразить в виде выражения с конечным числом арифметических операций, то в общем случае нельзя. Если же допустимо использование бесконечных рядов и прочих арксинусов, то естественно всегда можно. Ибо итерационных численных методов в наше время так же много, как у дурака махорки.

В частности, и кубические, и вообще полиномиальные уравнения лехко решаются дихотомией, Ньютоном или секущими, или еще другими методами, тысячи их. На полном серьезе не понимаю, об чем тут ведется такая оживленная дискуссия. В частности, удивляет количество страниц: оно больше $1$. Одна страница - это уже чудовищно много для такой темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17731
Москва
INGELRII в сообщении #1065859 писал(а):
Если же допустимо использование бесконечных рядов и прочих арксинусов, то естественно всегда можно.
Ну не считайте всех дураками. Речь идёт о чистой алгебре, а в алгебре нет пределов. Всякие нормы, метрики и топологии — это дополнительные структуры сверх алгебраической.

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 20:52 


03/03/12
1355
INGELRII в сообщении #1065859 писал(а):
"выразить корни в действительных числах"

Такая задача здесь точно не решается.
INGELRII в сообщении #1065859 писал(а):
не понимаю, об чем тут ведется такая оживленная дискуссия.

Думаю, надо ещё раз сформулировать задачу, т.к. в процессе обсуждения произошла путаница с $(\alpha;\beta)$,$(\gamma;\delta)$
Sonic86 в сообщении #1065823 писал(а):
Пусть $\sqrt[3]{\gamma+i\delta}=\alpha+i\beta$

Даны$(\gamma;\delta)$ действительные числа.
TR63 в сообщении #1065815 писал(а):
реализуемыми считаются действия, при которых действительная и мнимая части т.е.$(\alpha;\beta)$ выражены через коэффициЭнты при помощи радикалов с действительными подкоренными выражениями.
.
Меня интересовал вопрос, при каких условиях на $(\gamma;\delta)$, возможно указанное представление. Очевидно, что такое возможно не всегда. Если соответствующее кубическое уравнение имеет один действительный корень, то всё понятно. А, если три действительных корня?

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 21:36 
Заслуженный участник


08/04/08
8519

(Оффтоп)

INGELRII в сообщении #1065859 писал(а):
На полном серьезе не понимаю, об чем тут ведется такая оживленная дискуссия.
Да, правильно. Воспользовался кнопкой "игнор".

Someone в сообщении #1065846 писал(а):
И опять придётся решать кубическое уравнение, корни которого выражаются через радикалы с комплексными подкоренными выражениями… Или я что-то не понял? У Вас ведь нет $\alpha$ и $\beta$. Откуда Вы знаете, через какие радикалы они выражаются и выражаются ли вообще?
А я, похоже, ошибаюсь. Смысл у меня было в том, что можно было бы все сводить к относительно легким диофантовым уравнениям, но это получается только для простых случаев.

Примеры:
1. $P=\mathbb{Q}(i)$. Пусть надо вычислить $\sqrt[3]{a+bi}$ для $a,b\in\mathbb{Q}$. Домножением на определенное число задача сводится к вычислению $\sqrt[3]{a+bi}$ для $a,b\in\mathbb{Z}$.
Так как корень извлекается, то $\sqrt[3]{a+bi}=c+di$ для некоторых $c,d\in\mathbb{Z}$. Возводим в куб, группируем действительные и мнимые части, получаем систему
$\left\{\begin{array}{ll}
a=c(c^2-3d^2) \\
b=d(3c^2-d^2)
\end$
Перебором всех делителей $a,b$ получим все возможные пары $c,d$, проверяем, если нашли, значит корень извлекается.
2. $P=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$. Пусть надо вычислить $\sqrt[3]{a+b\sqrt{d}}$ для $a,b\in\mathbb{Q}$. Домножением на определенное число и вынесением квадратов за корень задача сводится к вычислению $\sqrt[3]{a+b\sqrt{d}}$ для $a,b,d\in\mathbb{Z}$, причем $d$ свободно от квадратов. Если $d=-1$, то задача сводится к пункту 1, иначе $\sqrt{d}$ иррационально.
Так как корень извлекается, то $\sqrt[3]{a+b\sqrt{d}}=c+e\sqrt{d}$ для некоторых $c,e\in\mathbb{Z}$. Возводим в куб, группируем рациональные и иррациональные части, получаем систему
$\left\{\begin{array}{ll}
a=c(c^2+3de^2) \\
b=e(3c^2+de^2)
\end$
Перебором всех делителей $a,b$ опять же получим все возможные пары $c,e$, проверяем, если нашли, значит корень извлекается.

Но для более сложных полей (например, для $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$) такой способ не прокатывает: при возведении в куб коэффициенты при базисных векторах не разлагаются на множители. М.б. для квадратичных расширений еще можно попытаться использовать понятия делимости, но для расширений высших степеней этот прием в принципе не проходит.
Увы :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17731
Москва
Из равенства $\sqrt[3]{\gamma+\delta i}=\alpha+\beta i$ возведением в куб получаем $\gamma+\delta i=(\alpha^3-3\alpha\beta^2)+(3\alpha^2\beta-\beta^3)i$. Приравнивая действительную и мнимую части, получим систему $$\begin{cases}\alpha^3-3\alpha\beta^2=\gamma,\\ 3\alpha^2\beta-\beta^3=\delta.\end{cases}$$ Случаи $\gamma=0$ или $\delta=0$ тривиальны, поэтому предполагаем, что $\gamma\neq 0$ и $\delta\neq 0$. В таком случае из данной системы легко получить кубическое уравнение, разделив первое уравнение на второе и обозначив $k=\frac{\gamma}{\delta}$ ($k$ не обязано быть целым): $$\frac{k^3-3k}{3k^2-1}=\frac{\gamma}{\delta},$$ $$k^3-3\frac{\gamma}{\delta}k^2-3k+\frac{\gamma}{\delta}=0.$$ Если подставить $k=z+\frac{\gamma}{\delta}$, то член с квадратом неизвестной исчезнет: $$z^3-3\frac{\gamma^2+\delta^2}{\delta^2}-2\frac{\gamma(\gamma^2+\delta^2)}{\delta^3}=0.$$ По формуле Кардано (или Тартальи—Кардано) $$z=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{D}}+\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{D}},$$ где $p=-3\frac{\gamma^2+\delta^2}{\delta^2}$, $q=-2\frac{\gamma(\gamma^2+\delta^2)}{\delta^3}$ и $$D=\left(\frac p3\right)^3+\left(\frac q2\right)^2=-\frac{(\gamma^2+\delta^2)^2}{\delta^4}<0,$$ так что нам опять нужно вычислять корень третьей степени из комплексного числа.

Разумеется, это не доказывает, что проблему нельзя обойти, но заставляет задуматься. И мне смутно помнится, что мне где-то попадалось утверждение, что её действительно нельзя обойти.

Sonic86 в сообщении #1065912 писал(а):
А я, похоже, ошибаюсь. Смысл у меня было в том, что можно было бы все сводить к относительно легким диофантовым уравнениям, но это получается только для простых случаев.
Мне показалось, что задача ставится именно для поля действительных чисел. Хотя синусы-косинусы углов с целочисленной градусной мерой, видимо, всё-таки не совсем произвольные действительные числа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group