О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3

[Twidobik]

Добрый вечер, уважаемые форумчане!
Пожалуйста, не могли бы вы помочь мне разобраться со следующим вопросом.

Не так давно узнал такой факт: тригонометрические функции от углов, не кратных трем градусам, не могут быть выражены в радикалах без использования комплексных чисел (прошу прощения, если формулировка корявая).
Если мы попытаемся использовать формулы тройных углов, то получим неприводимый многочлен третьей степени. Любые другие попытки также не закончатся ничем хорошим.
Но получается несколько странно, что действительное число нельзя получить, не используя комплексные числа. На интуитивном уровне это вообще как-то дико.
Даже если не говорить о многоугольниках, которые можно и нельзя строить вручную, а просто взять прямоугольный треугольник с углом, скажем, в $10^0$. Ведь длины сторон у него будут действительными числами, так почему их отношение - не такое? Или в этом моменте я глубоко заблуждаюсь?

[мат-ламер]

Twidobik в сообщении #1065537 писал(а):

тригонометрические функции от углов, не кратных трем градусам, не могут быть выражены в радикалах без использования

Давайте попробуем найти тригонометрические функции от угла $22.5$ градусов.

[Twidobik]

мат-ламер, да, спасибо за поправку, некорректное утверждение получилось.
Речь идет именно о целых числах (целых градусах, так можно сказать?), не кратных трем градусам.

[Sonic86]

Twidobik в сообщении #1065537 писал(а):

Не так давно узнал такой факт: тригонометрические функции от углов, не кратных трем градусам, не могут быть выражены в радикалах без использования комплексных чисел (прошу прощения, если формулировка корявая).

А как же $\sin\frac{\pi}{3}$?
Кроме того, формулировка синтаксическая, а значит - некорректна. М.б. в ней и есть смысл, но для этого надо подходить корректно и формально, иначе - увы, смысла не будет.
Т.е. надо рассматривать какое-то подполе поля действительных чисел (какое именно - вот Ваша забота) и показывать, что $\sin\frac{\varphi}{3}$ при определенных $\varphi$ там не лежит.

Twidobik в сообщении #1065537 писал(а):

Но получается несколько странно, что действительное число нельзя получить, не используя комплексные числа.

Ну давайте вспомним, что действительные числа - это вообще пределы последовательностей. А через пределы я Вам синус любого числа выражу.

[Twidobik]

Sonic86, эх, с формулировкой совсем не удалось
На сколько я понимаю, любой отрезок, нарисованный на бумаге, имеет длину, которую можно записать без использования мнимой единицы. А тут получается, что отношение двух длин без этой мнимой единички ну никак не записать, хотя число действительное.
Но мне кажется, я заблуждаюсь как раз в последних словах. Данный синус не записать без комплексных чисел именно в радикалах, но его отлично можно записать без радикалов и мнимой единицы, используя иные приемы, я прав?

Sonic86 в сообщении #1065557 писал(а):

Ну давайте вспомним, что действительные числа - это вообще пределы последовательностей. А через пределы я Вам синус любого числа выражу.

Если Вас это не затруднит, не могли бы Вы выразить синус $10$ градусов через предел, чтобы я лучше понял, что Вы имеете ввиду?

[Sonic86]

Twidobik в сообщении #1065559 писал(а):

Если Вас это не затруднит, не могли бы Вы выразить синус $10$ градусов через предел, чтобы я лучше понял, что Вы имеете ввиду?

$(\forall x)\sin x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ , $x=\frac{\pi}{18}$. Для $\pi$ предел написать?

Twidobik в сообщении #1065559 писал(а):

любой отрезок, нарисованный на бумаге, имеет длину, которую можно записать без использования мнимой единицы.

Строго говоря, это физика. В математике нет отрезка и бумаги. А то, что Вы видите на бумаге - это неявная абстракция, производимая Вашим мозгом, знающим матан На самом деле, если углубиться до уровня молекул, то понятие "длина" теряет смысл. А можно еще дальше углубиться...

Twidobik в сообщении #1065559 писал(а):

Данный синус не записать без комплексных чисел именно в радикалах, но его отлично можно записать без радикалов и мнимой единицы, используя иные приемы, я прав?

Ну да.
Первая часть кстати вполне формализуема: $P$ - поле, такое, что $\mathbb{Q}(i)\subset P$ и $(\forall \alpha\in P)(\forall n\in \mathbb{N})\sqrt[n]{\alpha}\in P$. Найти все $m\in\mathbb{N}$ такие, что $\sin\frac{2\pi}{m}\in P$. Вы думали, что их там нет. Для $m\leqslant 10$ все синусы точно лежат в $P$, а дальше теорию Галуа я ниасилил
А, ой, тут еще надо строить вещественное поле и там искать синусы...

Ну если Вас Ваша нечеткая мысль дальше не интересует, то ладно (иных приемов много. Может оказаться, что небольшое количество приемов замыкается в какую-то алгебраическую структуру).

[Twidobik]

Sonic86, огромное спасибо Вам за столько подробное разъяснение! В целом, суть стала более менее ясна, а большего пока и не надо

Sonic86 в сообщении #1065561 писал(а):

Ну если Вас Ваша нечеткая мысль дальше не интересует, то ладно (иных приемов много. Может оказаться, что небольшое количество приемов замыкается в какую-то алгебраическую структуру).

Когда-нибудь я обязательно вернусь к этому любопытному вопросу, когда будет больше знаний и практики, а пока Ваш ответ был исчерпывающим, спасибо!

[Sonic86]

Я тогда еще выпишу поле правильно:
поле $Q:\mathbb{Q}\subset Q$ и $(\forall\alpha)(\forall n) \sqrt[2n+1]{\alpha}\in Q, $и если $\alpha >0$, то $\sqrt{\alpha}\in Q$.
Вот теперь вопрос о пересечении $Q$ и $\{\sin\frac{2\pi}{m}, m\in\mathbb{N}\}$. Вы предполагаете, что если $3\mid m$, то $\sin\frac{2\pi}{m}\not\in Q$.
Вот теперь вопрос вполне осмысленный и превращается в гипотезу.

[B@R5uk]

Вот здесь схожая тема обсуждалась: topic13386.html

[TR63]

Twidobik в сообщении #1065537 писал(а):

взять прямоугольный треугольник с углом, скажем, в $10^0$. Ведь длины сторон у него будут действительными числами, так почему их отношение - не такое?

Вы берёте один катет, удовлетворяющий заданным условиям (т. е. его длина выражается в радикалах при заданном угле без мнимой единицы). Надо доказать или опровергнуть, что другие длины сторон треугольника удовлетворяют заданным условиям. Потом уже брать их отношение. Но проблемы это не решает.

[ShMaxG]

Была еще одна похожая тема: Вопрос про решение кубических уравнений, если интересно.

[B@R5uk]

Twidobik в сообщении #1065537 писал(а):

...не могут быть выражены в радикалах без использования комплексных чисел...

Синусы углов, не кратных 3 градусам, могут быть выражены как решения некоторых кубических уравнений. А решения кубических уравнений, полученных по формуле Кардано, даже будучи целыми числами, порой выражаются через двухэтажные радикалы (точнее через разность двух пар таких вложенных радикалов). И нет никакого способа догадаться, что это забавное выражение является целым числом, кроме как посчитать в лоб на калькуляторе (во всяком случае я не знаю таких способов).

А то, что действительные числа выражаются через некоторые выражения с комплексными, в частности при нахождении корней кубического уравнения, послужило причиной изучения этих самых комплексных чисел, из чего вырос мощнейший раздел математики -- ТФКП.

[Someone]

B@R5uk в сообщении #1065733 писал(а):

порой выражаются через двухэтажные радикалы

, да ещё порой из комплексных чисел, причём, свести всё это к алгебраическим манипуляциям с действительными числами не удаётся…

[TR63]

Someone в сообщении #1065742 писал(а):

B@R5uk в сообщении #1065733

писал(а):
порой выражаются через двухэтажные радикалы

Someone в сообщении #1065742 писал(а):

, да ещё порой из комплексных чисел, причём, свести всё это к алгебраическим манипуляциям с действительными числами не удаётся…

Не удаётся? Или невозможно никогда? У Куроша об этом мимоходом сказано. Но мне не совсем понятно.
Порой удаётся вычислить кубический корень из комплексного числа в форме $\alpha+i\beta$. Вопрос: есть ли критерий в виде $\alpha=f(\beta)$ (без мнимых единиц), чтобы различать эти случаи (когда можно, когда нет). В давние времена, вроде, такого критерия не было. Если есть, просьба дать ссылку на источник.

[Sonic86]

(аб ызвлечэнии кубическаго корня)

TR63 в сообщении #1065769 писал(а):

Порой удаётся вычислить кубический корень из комплексного числа в форме $\alpha+i\beta$. Вопрос: есть ли критерий в виде $\alpha=f(\beta)$ (без мнимых единиц), чтобы различать эти случаи (когда можно, когда нет).

Если $\alpha,\beta\in\mathbb{Q}$, то это - тривиальный вопрос, решается в лоб. Помниццо, я еще в школе нашел этот критерий. Найдете и Вы.