О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3

[Sonic86]

Someone в сообщении #1065931 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1065912 писал(а):

А я, похоже, ошибаюсь. Смысл у меня было в том, что можно было бы все сводить к относительно легким диофантовым уравнениям, но это получается только для простых случаев.

Мне показалось, что задача ставится именно для поля действительных чисел. Хотя синусы-косинусы углов с целочисленной градусной мерой, видимо, всё-таки не совсем произвольные действительные числа.

Так это исходная задача. Я ее вообще не знаю как решать (формализовал только поле).
Я писал про другое уже, про извлечение кубических корней в определенных полях алгебраических чисел.

[TR63]

Sonic86,
я не поняла, кто у Вас в игноре. Но, всё равно, спасибо.
Someone, спасибо за подробные выкладки.

[INGELRII]

У обсуждаемой задачи всегда три разных действительных корня $(\gamma, \delta)$ по той простой причине, что при извлечении кубического корня из комплексного числа всегда получаются ровно три разных комплексных ответа. Их действительная и мнимая часть и будут искомыми гаммой и дельтой. Внезапно очевидно, не так ли?

Было бы ну оочень странно, если б там получалось не три корня, а семь. Или не было бы корней. Это ж весь ТФКП пришлось тогда с нуля переписывать!

[iakovk]

INGELRII в сообщении #1065859 писал(а):

не понимаю, об чем тут ведется такая оживленная дискуссия.

Я тоже не понимаю. Есть ведь книжка, в которой, по-моему, содержится исчерпывающий ответ на вопрос:

М.М. Постников Теория Галуа гл. 10 п. 3 писал(а):

Будем считать основное поле k состоящим из вещественных чисел.
Теорема 1. Если все корни многочлена $f(x)$ степени n вещественны, а порядок его группы Галуа над полем $k$ не является степенью двойки, то корни этого многочлена нельзя выразить через вещественные радикалы.

Доказательство там занимает ровно одну страницу.

[Sonic86]

iakovk в сообщении #1066122 писал(а):

Есть ведь книжка, в которой, по-моему, содержится исчерпывающий ответ на вопрос:

М.М. Постников Теория Галуа гл. 10 п. 3 писал(а):

Будем считать основное поле k состоящим из вещественных чисел.
Теорема 1. Если все корни многочлена $f(x)$ степени n вещественны, а порядок его группы Галуа над полем $k$ не является степенью двойки, то корни этого многочлена нельзя выразить через вещественные радикалы.

Доказательство там занимает ровно одну страницу.

У меня в этой книге нет десятой главы.
У меня есть глава 3 "Решение уравнений в неприводимых радикалах", подглавка 1 "Формулировка основной теоремы", п.3 там называется "Доказательство теоремы А", в которой теоремы 1 нет.

[TR63]

TR63 в сообщении #1065892 писал(а):

Думаю, надо ещё раз сформулировать задачу, т.к. в процессе обсуждения произошла путаница с $(\alpha;\beta)$,$(\gamma;\delta)$
Sonic86 в сообщении #1065823

писал(а):
Пусть $\sqrt[3]{\gamma+i\delta}=\alpha+i\beta$
Даны$(\gamma;\delta)$ действительные числа.
TR63 в сообщении #1065815

писал(а):
реализуемыми считаются действия, при которых действительная и мнимая части т.е.$(\alpha;\beta)$ выражены через коэффициЭнты при помощи радикалов с действительными подкоренными выражениями. .
Меня интересовал вопрос, при каких условиях на $(\gamma;\delta)$, возможно указанное представление. Очевидно, что такое возможно не всегда.

iakovk, спасибо за информацию (надеюсь, она верна; не проверяла; меня интересовал несколько другой вопрос, но Ваша информация полезная и имеет отношение к моему вопросу). Уточняю: нужны условия, при которых $\gamma=f(\delta)$ (я это условие не сформулировала, но говорила о нём ранее), т.е. должно быть известно выражение действительной части через мнимую без мнимых единиц, чтобы выполнялись условия для правой части. (Прошу не пинать, если непонятно сформулировала).

[iakovk]

Sonic86 в сообщении #1066216 писал(а):

У меня в этой книге нет десятой главы.

Прошу извинить за некорректное указание источника.
В предисловии к моей книжке сказано:

Цитата:

В 1960 г. я опубликовал небольшую брошюру*), в которой по возможности элементарно и ab ovo излагается фрагмент теории Галуа, позволяющий доказать теорему Абеля о неразрешимости в радикалах общего уравнения степени больше четырех. Эта брошюра встретила благоприятный отклик, была переведена на несколько иностранных языков и Физматгиз предложил расширить ее, что и было мною сделано в 1963 г. **). Конечно, элементарность изложения была при этом в определенной степени потеряна, но чтобы ее хотя бы частично сохранить, многие темы рассматривались там фрагментарно и не до конца.

Настоящая книга представляет собой расширенный и дополненный вариант книги 1963 г.
...
*) Постников М. М. Основы теории Галуа. — М., Физматгиз, 1960.
**) Постников М. М. Теория Галуа. — М., Физматгиз, 1963.

Так что, скорее всего у вас книжка 1963 года.
Я ее, кажется, в детстве читал.
А моя книжка 2003 года:
Постников М. М.
Теория Галуа. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2003. — 304 с.
ISBN 5-88688-063-1.

[Sonic86]

iakovk в сообщении #1066266 писал(а):

скорее всего у вас книжка 1963 года.
Я ее, кажется, в детстве читал.
А моя книжка 2003 года:
Постников М. М.
Теория Галуа. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2003. — 304 с.
ISBN 5-88688-063-1.

Во! Спасибо! Благодарю!
Доказательство вроде более-менее понятное, его можно попытаться воспроизвести тут для конкретного случая, м.б. даже упростить.