2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 23:09 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
Someone в сообщении #1065931 писал(а):
Sonic86 в сообщении #1065912 писал(а):
А я, похоже, ошибаюсь. Смысл у меня было в том, что можно было бы все сводить к относительно легким диофантовым уравнениям, но это получается только для простых случаев.
Мне показалось, что задача ставится именно для поля действительных чисел. Хотя синусы-косинусы углов с целочисленной градусной мерой, видимо, всё-таки не совсем произвольные действительные числа.
Так это исходная задача. Я ее вообще не знаю как решать (формализовал только поле).
Я писал про другое уже, про извлечение кубических корней в определенных полях алгебраических чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение23.10.2015, 23:25 


03/03/12
1355
Sonic86,
я не поняла, кто у Вас в игноре. Но, всё равно, спасибо.
Someone, спасибо за подробные выкладки.

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение24.10.2015, 10:39 
Аватара пользователя


11/08/11
1125
У обсуждаемой задачи всегда три разных действительных корня $(\gamma, \delta)$ по той простой причине, что при извлечении кубического корня из комплексного числа всегда получаются ровно три разных комплексных ответа. Их действительная и мнимая часть и будут искомыми гаммой и дельтой. Внезапно очевидно, не так ли?

Было бы ну оочень странно, если б там получалось не три корня, а семь. Или не было бы корней. Это ж весь ТФКП пришлось тогда с нуля переписывать!

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение24.10.2015, 12:54 


08/10/10
50
INGELRII в сообщении #1065859 писал(а):
не понимаю, об чем тут ведется такая оживленная дискуссия.

Я тоже не понимаю. Есть ведь книжка, в которой, по-моему, содержится исчерпывающий ответ на вопрос:
М.М. Постников Теория Галуа гл. 10 п. 3 писал(а):
Будем считать основное поле k состоящим из вещественных чисел.
Теорема 1. Если все корни многочлена $f(x)$ степени n вещественны, а порядок его группы Галуа над полем $k$ не является степенью двойки, то корни этого многочлена нельзя выразить через вещественные радикалы.

Доказательство там занимает ровно одну страницу.

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение24.10.2015, 18:42 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
iakovk в сообщении #1066122 писал(а):
Есть ведь книжка, в которой, по-моему, содержится исчерпывающий ответ на вопрос:
М.М. Постников Теория Галуа гл. 10 п. 3 писал(а):
Будем считать основное поле k состоящим из вещественных чисел.
Теорема 1. Если все корни многочлена $f(x)$ степени n вещественны, а порядок его группы Галуа над полем $k$ не является степенью двойки, то корни этого многочлена нельзя выразить через вещественные радикалы.

Доказательство там занимает ровно одну страницу.
У меня в этой книге нет десятой главы.
У меня есть глава 3 "Решение уравнений в неприводимых радикалах", подглавка 1 "Формулировка основной теоремы", п.3 там называется "Доказательство теоремы А", в которой теоремы 1 нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение24.10.2015, 20:13 


03/03/12
1355
TR63 в сообщении #1065892 писал(а):
Думаю, надо ещё раз сформулировать задачу, т.к. в процессе обсуждения произошла путаница с $(\alpha;\beta)$,$(\gamma;\delta)$
Sonic86 в сообщении #1065823

писал(а):
Пусть $\sqrt[3]{\gamma+i\delta}=\alpha+i\beta$
Даны$(\gamma;\delta)$ действительные числа.
TR63 в сообщении #1065815

писал(а):
реализуемыми считаются действия, при которых действительная и мнимая части т.е.$(\alpha;\beta)$ выражены через коэффициЭнты при помощи радикалов с действительными подкоренными выражениями. .
Меня интересовал вопрос, при каких условиях на $(\gamma;\delta)$, возможно указанное представление. Очевидно, что такое возможно не всегда.

iakovk, спасибо за информацию (надеюсь, она верна; не проверяла; меня интересовал несколько другой вопрос, но Ваша информация полезная и имеет отношение к моему вопросу). Уточняю: нужны условия, при которых $\gamma=f(\delta)$ (я это условие не сформулировала, но говорила о нём ранее), т.е. должно быть известно выражение действительной части через мнимую без мнимых единиц, чтобы выполнялись условия для правой части. (Прошу не пинать, если непонятно сформулировала).

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение24.10.2015, 20:35 


08/10/10
50
Sonic86 в сообщении #1066216 писал(а):
У меня в этой книге нет десятой главы.

Прошу извинить за некорректное указание источника.
В предисловии к моей книжке сказано:
Цитата:
В 1960 г. я опубликовал небольшую брошюру*), в которой по возможности элементарно и ab ovo излагается фрагмент теории Галуа, позволяющий доказать теорему Абеля о неразрешимости в радикалах общего уравнения степени больше четырех. Эта брошюра встретила благоприятный отклик, была переведена на несколько иностранных языков и Физматгиз предложил расширить ее, что и было мною сделано в 1963 г. **). Конечно, элементарность изложения была при этом в определенной степени потеряна, но чтобы ее хотя бы частично сохранить, многие темы рассматривались там фрагментарно и не до конца.

Настоящая книга представляет собой расширенный и дополненный вариант книги 1963 г.
...
*) Постников М. М. Основы теории Галуа. — М., Физматгиз, 1960.
**) Постников М. М. Теория Галуа. — М., Физматгиз, 1963.


Так что, скорее всего у вас книжка 1963 года.
Я ее, кажется, в детстве читал.
А моя книжка 2003 года:
Постников М. М.
Теория Галуа. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2003. — 304 с.
ISBN 5-88688-063-1.

 Профиль  
                  
 
 Re: О тригонометрических функциях с углом, не кратным 3
Сообщение25.10.2015, 08:46 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
iakovk в сообщении #1066266 писал(а):
скорее всего у вас книжка 1963 года.
Я ее, кажется, в детстве читал.
А моя книжка 2003 года:
Постников М. М.
Теория Галуа. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2003. — 304 с.
ISBN 5-88688-063-1.
Во! Спасибо! Благодарю!
Доказательство вроде более-менее понятное, его можно попытаться воспроизвести тут для конкретного случая, м.б. даже упростить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group