2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнение лапласа и краевые условия 3 рода
Сообщение15.10.2015, 12:37 


11/10/15
38
Есть:
уравнение Лапласа: $\Delta u=0$
граница-изолятор краевое условие 2 рода:
$\frac{du}{dn}\ =0 $ по границе $ S_i$
для границ анода, краевое условие 3 рода:
$(u+ c_a\sigma \frac{du}{dn})=\varphi_a$ по границе $  S_a$
для границ катода, краевое условие 3 рода:
$ ( u+ c_k\sigma\frac{du}{dn})=\varphi_k$ по границе $S_k$
Находим общее решение ур. Лапласа : $Ax+B=u(x)$,
Далее решая находим :
$u(x)=\frac{\varphi_k(c_a\varphi\sigma+x_a-x)}{c_k\sigma+c_a\sigma+x_a}$
Объясните как получается это уравнение $u(x)$, (правильно ли оно) как нужно подставлять краевые условия в общее уравнение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение лапласа и краевые условия 3 рода
Сообщение15.10.2015, 14:22 
Заслуженный участник


25/02/11
1797
Если я правильно представил, что это такое, то можно рассуждать (видя ответ :-) ) так: предположим, что решение зависит только от $x$. Тогда получаем ОДУ $u''=0$. Общее решение — как раз такая функция, как написано. Подставляя в граничные условия, находим значения $A$ и $B$. Как именно — на тех границах, где третье краевое условие, $\frac{\partial u}{\partial  n}=u'$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение лапласа и краевые условия 3 рода
Сообщение15.10.2015, 14:39 


11/10/15
38
не могу понять что именно и как нужно подставлять значения вместо A и B. например вместо А-анод, В-катод?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение лапласа и краевые условия 3 рода
Сообщение15.10.2015, 14:43 
Заслуженный участник


25/02/11
1797
$A$ и $B$ это константы. Если поставить $u$ в два граничных условия, получится линейная система из двух уравнений на два неизвестных $A$ и $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение лапласа и краевые условия 3 рода
Сообщение15.10.2015, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
AiG в сообщении #1063005 писал(а):
Есть:

И где же оно "есть":

1) В какой области задано уравнение
2) Что такое $S_i, S_a, S_k$

Только, как в известном анекдоте «Не умничай, чукча, пальцем покажи!» нарисуйте или чётко опишите всю геометрию (причём слова «анода»,«катода» и «нематода» описанием не являются).

Скорее всего автор (не ТС) тоже «умничающий чукча»: пишет УЧП с краевыми условиями, как большой, а потом оказывается что задача одномерная, уравнение $u''=0$ и вся наука. А ТС интерпретирует числовые коэффициенты как «анода» и «катода»

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение лапласа и краевые условия 3 рода
Сообщение15.10.2015, 15:47 


11/10/15
38
Vince Diesel
т.е. в $Ax+B=u(x)$ вместо $u(x)$ подставляем
$\ (u+ c_a\sigma\frac{du}{dn})=\varphi_a$ по границе $  S_a$
и
$\ ( u+ c_k\sigma\frac{du}{dn})=\varphi_k$ по границе $S_k$
получается система из которой находим $A$ и $B$,
а потом найденные значения подставляем в $Ax+B=u(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение лапласа и краевые условия 3 рода
Сообщение15.10.2015, 15:58 
Заслуженный участник


25/02/11
1797
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение лапласа и краевые условия 3 рода
Сообщение15.10.2015, 16:31 


11/10/15
38
Vince Diesel
Тогда
$\ Ax+B=u+ c_a\sigma \ - \varphi_a по границе $S_a$
$\ Ax+B=u+ c_k\sigma \ - \varphi_k по границе $S_k$
разве $A$ и $B$ не сократятся ?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.10.2015, 16:51 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

AiG
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Каждая формула целиком заключается в одну пару долларов, внутри формул никаких долларов не нужно.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение16.10.2015, 07:37 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение лапласа и краевые условия 3 рода
Сообщение16.10.2015, 10:09 
Заслуженный участник


25/02/11
1797
AiG в сообщении #1063098 писал(а):
разве $A$ и $B$ не сократятся ?

Какие-то странные вещи вы пишите.

У вас краевая задача на отрезке $[x_a,x_k]$. На концах заданы условия третьего рода. Вместо $x$ надо подставлять $x_a$, $x_k$ — получится система. Допустим, $x_a=1$, $x_k=3$. Можете решить конкретную систему?
$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
   u(1)+2u'(1)&=&1,\\
   u(3)+5u'(3)&=&6.
\end{array}
\right.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение лапласа и краевые условия 3 рода
Сообщение16.10.2015, 20:43 


11/10/15
38
Vince Diesel
Если я правильно вас поняла, то

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &1A+B-u- c_a\sigma \ + \varphi_a+2A=1& \\
 &3A+B-u- c_k\sigma \ + \varphi_k+5A=6& \\
\end{array}
\right. $
???

честно, не очень понимаю что все это

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение лапласа и краевые условия 3 рода
Сообщение16.10.2015, 21:28 
Заслуженный участник


25/02/11
1797
Нет, $u(x)=Ax+b$. Откуда у вас $u$ и прочие параметры в конкретной системе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение лапласа и краевые условия 3 рода
Сообщение16.10.2015, 21:51 


11/10/15
38
Vince Diesel
вы сказали да, на вопрос,
т.е. в $Ax+B=u(x)$ вместо $u(x)$ подставляем
$\ (u+ c_a\sigma\frac{du}{dn})=\varphi_a$ по границе $  S_a$
и ...

т.е. просто эта система?
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &1A+B+2A=1& \\
 &3A+B+5A=6& \\
\end{array}
\right. $

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение лапласа и краевые условия 3 рода
Сообщение16.10.2015, 22:06 
Заслуженный участник


25/02/11
1797
Да. Можете решить? А потом точно также, подставляя уже параметры. И вот $u- c_a\sigma  + \varphi_a+2A=1$ это откуда? Там же произведение в формуле. В частности, параметру $c_a\sigma$ соответствует $2$ в числовом примере, a $\varphi_a=1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group