Уравнение лапласа и краевые условия 3 рода

[AiG]

Есть:
уравнение Лапласа: $\Delta u=0$
граница-изолятор краевое условие 2 рода:
$\frac{du}{dn}\ =0 $ по границе $ S_i$
для границ анода, краевое условие 3 рода:
$(u+ c_a\sigma \frac{du}{dn})=\varphi_a$ по границе $ S_a$
для границ катода, краевое условие 3 рода:
$ ( u+ c_k\sigma\frac{du}{dn})=\varphi_k$ по границе $S_k$
Находим общее решение ур. Лапласа : $Ax+B=u(x)$,
Далее решая находим :
$u(x)=\frac{\varphi_k(c_a\varphi\sigma+x_a-x)}{c_k\sigma+c_a\sigma+x_a}$
Объясните как получается это уравнение $u(x)$, (правильно ли оно) как нужно подставлять краевые условия в общее уравнение?

[Vince Diesel]

Если я правильно представил, что это такое, то можно рассуждать (видя ответ ) так: предположим, что решение зависит только от $x$. Тогда получаем ОДУ $u''=0$. Общее решение — как раз такая функция, как написано. Подставляя в граничные условия, находим значения $A$ и $B$. Как именно — на тех границах, где третье краевое условие, $\frac{\partial u}{\partial n}=u'$.

[AiG]

не могу понять что именно и как нужно подставлять значения вместо A и B. например вместо А-анод, В-катод?

[Vince Diesel]

$A$ и $B$ это константы. Если поставить $u$ в два граничных условия, получится линейная система из двух уравнений на два неизвестных $A$ и $B$.

[Red_Herring]

AiG в сообщении #1063005 писал(а):

Есть:

И где же оно "есть":

1) В какой области задано уравнение
2) Что такое $S_i, S_a, S_k$

Только, как в известном анекдоте «Не умничай, чукча, пальцем покажи!» нарисуйте или чётко опишите всю геометрию (причём слова «анода»,«катода» и «нематода» описанием не являются).

Скорее всего автор (не ТС) тоже «умничающий чукча»: пишет УЧП с краевыми условиями, как большой, а потом оказывается что задача одномерная, уравнение $u''=0$ и вся наука. А ТС интерпретирует числовые коэффициенты как «анода» и «катода»

[AiG]

Vince Diesel
т.е. в $Ax+B=u(x)$ вместо $u(x)$ подставляем
$\ (u+ c_a\sigma\frac{du}{dn})=\varphi_a$ по границе $ S_a$
и
$\ ( u+ c_k\sigma\frac{du}{dn})=\varphi_k$ по границе $S_k$
получается система из которой находим $A$ и $B$,
а потом найденные значения подставляем в $Ax+B=u(x)$?

[Vince Diesel]

Да.

[AiG]

Vince Diesel
Тогда
$\ Ax+B=u+ c_a\sigma \ - \varphi_a по границе $S_a$
$\ Ax+B=u+ c_k\sigma \ - \varphi_k по границе $S_k$
разве $A$ и $B$ не сократятся ?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

AiG
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Каждая формула целиком заключается в одну пару долларов, внутри формул никаких долларов не нужно.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[Vince Diesel]

AiG в сообщении #1063098 писал(а):

разве $A$ и $B$ не сократятся ?

Какие-то странные вещи вы пишите.

У вас краевая задача на отрезке $[x_a,x_k]$. На концах заданы условия третьего рода. Вместо $x$ надо подставлять $x_a$, $x_k$ — получится система. Допустим, $x_a=1$, $x_k=3$. Можете решить конкретную систему?

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} u(1)+2u'(1)&=&1,\\ u(3)+5u'(3)&=&6. \end{array} \right. $$

[AiG]

Vince Diesel
Если я правильно вас поняла, то

$\left\{ \begin{array}{rcl} &1A+B-u- c_a\sigma \ + \varphi_a+2A=1& \\ &3A+B-u- c_k\sigma \ + \varphi_k+5A=6& \\ \end{array} \right. $
???

честно, не очень понимаю что все это

[Vince Diesel]

Нет, $u(x)=Ax+b$. Откуда у вас $u$ и прочие параметры в конкретной системе?

[AiG]

Vince Diesel
вы сказали да, на вопрос,
т.е. в $Ax+B=u(x)$ вместо $u(x)$ подставляем
$\ (u+ c_a\sigma\frac{du}{dn})=\varphi_a$ по границе $ S_a$
и ...

т.е. просто эта система?
$\left\{ \begin{array}{rcl} &1A+B+2A=1& \\ &3A+B+5A=6& \\ \end{array} \right. $

[Vince Diesel]

Да. Можете решить? А потом точно также, подставляя уже параметры. И вот $u- c_a\sigma + \varphi_a+2A=1$ это откуда? Там же произведение в формуле. В частности, параметру $c_a\sigma$ соответствует $2$ в числовом примере, a $\varphi_a=1$.