Подготовка к аспирантуре 01.01.01

[Pphantom]

SPbPS в сообщении #1051798 писал(а):

Магистратура СПбГУ только очная.

Да, конечно.

SPbPS в сообщении #1051798 писал(а):

Стоимость обучения 230 000 руб/год. Поэтому этот вариант отклоняется.

А зачем поступать на платную, если можно на бюджет?

[SPbPS]

На самом деле вопрос, куда поступать уже был решен после предварительного изучения и анализа возможностей желаемого обучения. Самый подходящий и "проходной" вариант для меня - это Герцен.

Теперь осталось всего чуть-чуть - как освоить конкретную вступительную программу?

-- 09.09.2015, 11:03 --

Pphantom в сообщении #1051802 писал(а):

SPbPS в сообщении #1051798

писал(а):
Стоимость обучения 230 000 руб/год. Поэтому этот вариант отклоняется.
А зачем поступать на платную, если можно на бюджет?

Вариант отклоняется именно потому, что:

1) Очно
2) Дорого

По двум причинам в совокупности. Причем 1) не менее весомее, чем 2).

-- 09.09.2015, 11:49 --

Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Лань, 2008.

Если у кого-то есть в электронном виде именно это издание, скиньте, пожалуйста, или дайте ссылку. Заранее благодарю!

[DLL]

Издание 74-го года лежит на twirpx.com.

[мат-ламер]

SPbPS в сообщении #1051571 писал(а):

1. Теорема Кантора-Бернштейна. Мощность множества. Сравнение мощностей.

Предлагаю для начала в качестве упражнения доказать теорему Кантора-Бернштейна. Доказательство её занимает в учебнике Колмогорова-Фомина всего несколько строчек. Хотя бы почувствуете, насколько сложно самому что-то доказывать. И насколько это по сложности превосходит прочесть готовое доказательство. После чего попробуйте прочесть и понять доказательство теоремы о том, что любые два множества можно сравнить по мощности (чуть дальше в Колмогорове-Фомине). Если получится и ощущите кайф, то пишите сюда.

[SPbPS]

мат-ламер в сообщении #1052035 писал(а):

SPbPS в сообщении #1051571 писал(а):

1. Теорема Кантора-Бернштейна. Мощность множества. Сравнение мощностей.

Предлагаю для начала в качестве упражнения доказать теорему Кантора-Бернштейна. Доказательство её занимает в учебнике Колмогорова-Фомина всего несколько строчек. Хотя бы почувствуете, насколько сложно самому что-то доказывать. И насколько это по сложности превосходит прочесть готовое доказательство. После чего попробуйте прочесть и понять доказательство теоремы о том, что любые два множества можно сравнить по мощности (чуть дальше в Колмогорове-Фомине). Если получится и ощущите кайф, то пишите сюда.

т.е. предлагаете придумать свое доказательство ТКБ, затем сравнив его с доказательством в учебнике?

И как понять, что я получил удовольствие (кайф по Вашему)? Как это должно проявляться или ощущаться?

[мат-ламер]

SPbPS в сообщении #1052051 писал(а):

т.е. предлагаете придумать свое доказательство, затем сравнив его с доказательством в учебнике?

По крайней мере попробовать (вряд-ли получится, но всё же). Для чего вы идёте в аспирантуру? Вы учиться идёте, или идёте с целью научиться работать? Обычно люди идут, чтобы научиться научной работе. Работа математика - это исследование новых вопросов. И пробовать самому что-то доказывать - хороший способ чему-то научиться. В данном случае я предложил чисто для того, чтобы вы прочувствовали трудность дела, куда стремитесь.

SPbPS в сообщении #1052051 писал(а):

И как понять, что я получил удовольствие (кайф по Вашему)? Как это должно проявляться или ощущаться?

Вот тут интересна реакция организма. Если заболит голова и появятся мысли - что за чушь, для чего всё это нужно - то лучше в математику не идти. Если почувствуете интерес и захочется читать дальше, значит что-то в вас есть (ещё ничего не гарантировано, но всё же).

[Xaositect]

SPbPS в сообщении #1052051 писал(а):

т.е. предлагаете придумать свое доказательство ТКБ, затем сравнив его с доказательством в учебнике?

Ну да. Вы же в аспирантуру идете, Вам для диссертации надо будет статьи писать, а в них надо бы что-то свое доказывать.

SPbPS в сообщении #1052051 писал(а):

И как понять, что я получил удовольствие (кайф по Вашему)? Как это должно проявляться или ощущаться?

Странный вопрос. Как у Вас обычно проявляется удовольствие от хорошо проведенного времени?

[SPbPS]

мат-ламер, спасибо. Пожалуй так и сделаю. Идеи буду выкладывать сюда.

[SPbPS]

В учебнике Колмогорова-Фомина дана такая формулировка:



Или по другому, учитывая термины и определения, приводимые выше в учебнике: если одновременно выполняются два условия - существует 1) биекция $f: A $\to B_{1}, B_{1} \subset B$ и 2) биекция $g: B $\to A_{1}, A_{1} \subset A$, то между элементами множествами $A$ и $B$ можно установить взаимно однозначное соответствие.

Рассмотрим биекцию $f$. По определению количество элементов множества $B_{1}$ меньше либо равно количеству элементов в $B$ и количество элементов $A_{1}$ меньше либо равно количеству элементов в $A$. В случае равенства количества элементов мы получаем биекцию $f: A $\to B$ и по определению эквивалентности получаем $A \sim B$. Аналогично с биекцией $g$. В случае, если количество элементов в $B_{1}$ меньше, чем в $B$, тогда очевидно, что количество элементов $A$ должно быть меньше количеству в $B$. Но тут противоречие с исходной биекцией $g$, так как, если количество элементов в $A_{1}$ меньше, чем в $A$, то количество элементов в $B$ так же должно быть меньше, чем в $A$. Соответственно, условия могут одновременно выполняться только в случае совпадения количества элементов $A$ и $B$, т.е. в случае эквивалентности.

[Xaositect]

Суть теоремы в том, что она верна и для бесконечных множеств. А что Вы назовете количеством элементов для бесконечных множеств?

[SPbPS]

Xaositect в сообщении #1052425 писал(а):

Суть теоремы в том, что она верна и для бесконечных множеств. А что Вы назовете количеством элементов для бесконечных множеств?

Ну тогда вместо подсчета количества элементов надо пользоваться установлением взаимно однозначного соответствия. Таким образом можно сравнивать любые множества -- конечные, бесконечные. По определению любое бесконечное множество эквивалентно некоторому своему подмножеству.

Не заглядывая дальше в учебник, хотелось бы узнать, есть ли зерно истины и логика в моем варианте доказательства или это полный бред, и мне лучше заниматься балетом ?

[Xaositect]

Ваше доказательство работает для конечных множеств. А для бесконечных вся cуть именно в том, каким образом установить взаимно однозначное соответствие.

[SPbPS]

Xaositect в сообщении #1052462 писал(а):

Ваше доказательство работает для конечных множеств. А для бесконечных вся cуть именно в том, каким образом установить взаимно однозначное соответствие.

Пусть будут бесконечные. Из всякого бесконечного можно выбрать счетное подмножество. Допустим, что счетными будут подмножества $A_{1}$ и $B_{1}$. Тогда между ними установим взаимно однозначное соответствие предварительно пронумеровав их натуральными числами, т.е. $A_{1} \sim B_{1}$. Так как всякое бесконечное множество эквивалентно своему собственному подмножеству, то получаем $A \sim A_{1} \sim B_{1} \sim B \Rightarrow A \sim B$.

[Anton_Peplov]

Всякое бесконечное множество эквивалентно некоторому своему подмножеству, а не любому. Иначе, пардон, все бесконечные множества были бы счетными.

[SPbPS]

Anton_Peplov в сообщении #1052647 писал(а):

Всякое бесконечное множество эквивалентно некоторому своему подмножеству, а не любому. Иначе, пардон, все бесконечные множества были бы счетными.

$A_{1}$ и $B_{1}$ и есть некоторые собственные подмножества.