Подготовка к аспирантуре 01.01.01

[SPbPS]

Например, для произвольных множеств $B$ и $B_{1}$, если они не эквивалентны и $B_{1} \subset B$, то в множестве $B_{1} \setminus B$ есть хотя бы один элемент $b_{k}$. Элемент $b_{k}$ (по условию биекции) должен сопоставляться с каким-то одним элементом $a_{k} \in A_{1} \subset A$. Любой элемент $a_{i}$ сопоставляется только с элементами из $B_{1}$ (по условию биекции), но у нас $b_{k} \notin B_{1}$. Т.е. получается, что элемент $b_{k}$ как бы уходит из области $B_{1} \setminus B$, а приходит обратно в $B_{1}$. Следовательно противоречие. Это может быть только в случае $B_{1} \sim B$.

[Xaositect]

SPbPS в сообщении #1053814 писал(а):

Любой элемент $a_{i}$ сопоставляется только с элементами из $B_{1}$ (по условию биекции)

Почему? По условию у нас биекция $A_1$ на все $B$, а не только на $B_1$.

[Nemiroff]

SPbPS в сообщении #1053814 писал(а):

Т.е. получается, что элемент $b_{k}$ как бы уходит из области $B_{1} \setminus B$, а приходит обратно в $B_{1}$. Следовательно противоречие.

В чём противоречие-то?

SPbPS в сообщении #1053814 писал(а):

Это может быть только в случае $B_{1} \sim B$.

А это как следует из предыдущего?

Xaositect в сообщении #1053815 писал(а):

Почему? По условию у нас биекция $A_1$ на все $B$, а не только на $B_1$.

Он взял вторую биекцию: из $A$ в $B_1$. Но я в упор не вижу противоречия, про которое ТС упоминает.

[SPbPS]

Xaositect в сообщении #1053815 писал(а):

SPbPS в сообщении #1053814 писал(а):

Любой элемент $a_{i}$ сопоставляется только с элементами из $B_{1}$ (по условию биекции)

Почему? По условию у нас биекция $A_1$ на все $B$, а не только на $B_1$.

По условию биекция $f: A $\to B_{1}, B_{1} \subset B$

[Xaositect]

Да, но это другая биекция, и она может сопоставлять $a_i$ другой элемент.

[SPbPS]

Xaositect в сообщении #1053827 писал(а):

Да, но это другая биекция, и она может сопоставлять $a_i$ другой элемент.

Ну а какая разница. Суть в том, что по условию все $a_{i}$ должны сопоставляться только с элементами $B_{1}$, а получается что есть некоторый $a_{k}$ (в силу предположения, что есть $b_{k} \to a_{k}$), который приходит не в $B_{1}$. Это и противоречит условию биекции.

[Xaositect]

Нет.
У нас есть биекция $A\to B_1$ и биекция $A_1\to B$. В первой биекции $a_i$ должны сопоставляться только с элементами $B_1$, а во второй - совершенно не обязательно.

[Munin]

Да назовите их разными буквами, чтобы не путаться, например, $A\xrightarrow{f}B_1$ и $A_1\xrightarrow{g}B.$

[SPbPS]

Munin в сообщении #1053835 писал(а):

Да назовите их разными буквами, чтобы не путаться, например, $A\xrightarrow{f}B_1$ и $A_1\xrightarrow{g}B$

Тогда уж так: $A\xrightarrow{f}B_1$ и $A_1\xrightarrow{g^{-1}}B.$

[Munin]

Это уже как вам удобней. Будете вводить третью биекцию или просто отображение - выберете для неё новую букву.

[Munin]

Мне кажется, с самого начала уровень был взят слишком высокий.

Наткнулся на старый набор задач попроще. Они, конечно, не сосредоточены специально на анализе и функциональном анализе, но общий уровень способностей к математике оценить помогут:

Healer в сообщении #1029953 писал(а):

Позвольте предложить Вам решить несколько задачек. Я по Вашим постам так и не смог составить представление о Вашем уровне, но начинают одолевать сомнения... Так будет понятней, что Вам советовать.

Задачи:
1) Из города A в город B ведут 56 дорог. Из города B в город C - 79 дорог. Дорог между A и C нет. Окольных путей тоже. Сколькими способами можно добраться из A в C?
2) Какова вероятность того, что при броске двух игральных кубиков выпадет число, большее или равное 10?
3) В мешке лежат шарики двух разных цветов. Какое наименьшее количество шариков нужно вынуть из мешка вслепую, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?
4) Чему равна производная от $2\sin(15)$? (15 - в радианах)
5) Сколько корней у уравнения $x^2+x+67$? (рассматриваем комплексные числа)
6) Дано уравнение $(x-2)(x+3) = 2(x-2)$. Я делю обе части на $x-2$ и получаю $x = -1$. Что я сделал неправильно, почему, и как надо делать?
7) Что является пересечением двух непересекающихся множеств?

Пока всё. Если хотите по честному - никуда подсматривать нельзя.

(В одной задаче можно поменять условия, пока так пусть будет.)

[Brukvalub]

Удалено по требованию Munin.

[NT2000]

del.

[Munin]

Господа, вообще-то, вопросы были заданы не вам.

Прошу стереть попытки решения.

[Lia]

Отсюда были (временно?) удалены 4 сообщения Sicker и atlakatl, для сохранения чистоты эксперимента, по просьбе Munin. Впоследствии их можно вернуть, напишите ЛС, пожалуйста.