Задача про жука

[unistudent]

Geen в сообщении #999497 писал(а):

unistudent в сообщении #999493 писал(а):

Ну кстати еще это, чуть не забыл

А это откуда? Вроде же и $R$ и $D$ константы...

Ну это экстремумы.. плохо?

[Red_Herring]

Экстремумы это интересно. Если это максимум или минимум (впрочем минимума не будет), то будет устойчивое равновесие, если седло—неустойчивое.

Geen в сообщении #999490 писал(а):

Только, всё же, кажется сначала лучше записать "наше основное уравнение" в виде $\frac{\dot x^2}{2}+U(x)=0$

Смысла особого нет.

[Geen]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #999502 писал(а):

Смысла особого нет.

Если техника наработана.

[Red_Herring]

Понимаете, Вам нужно найти экстремумы. А тут Вы шило на мыло менять собрались: теперь $E$ в производную войдет. Оно Вам надо?

[Geen]

Red_Herring в сообщении #999506 писал(а):

Понимаете, Вам нужно найти экстремумы. А тут Вы шило на мыло менять собрались: теперь $E$ в производную войдет. Оно Вам надо?

Не будет частных производных, будет тот самый эффективный потенциал. (ну будет $E$ его параметром - это не страшно, думаю)
Например, http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... rom+0+to+7

[Red_Herring]

А какое отношение имеют экстремумы новой функции к экстремумам старой? Ну конечно, можно записать $U(x,E,L)=0$, $U'_x(x,E,L) =0$ и решить. Но проще исследовать сразу "ту" функцию 2х переменных.

[Geen]

unistudent в сообщении #999493 писал(а):

$$x^2+D^2 = R^2$$

Вот это "напрягает" (при том, что $D^2\ge 2R^2$)

[Red_Herring]

$\dot x =0$, правильно, а вот на $x$ имеем

$$x\Bigl(x^2-\frac{|L|}{\sqrt{k}}+D^2\Bigr)=0$$

Тогда $х=0$ всегда корень, а $x_{\pm}= … $ из второго—когда?

Т.е. имеется либо одно положение равновесия $x=0$, либо три — $x_-,0,x_+$, В первом случае $0$ устойчивое, во втором—нет, а устойчивыми будут $x_\pm$. Остается найти при каких значениях параметрa $L$ происходит бифуркация.

Ну и для полноты картины: соответствующие значения $E$, Ну и линеаризовать у-е в положении устойчивого равновесия и найти период малых колебаний.

[unistudent]

$$2E = \frac{L^2}{D^2+x^2}+kx^2-\left(\frac{R^2}{D^2+x^2}-1\right)v^2$$

$$\frac{\partial E}{\partial x} = x\left(-\frac{L^2}{(D^2+x^2)^2}+k+\frac{R^2v^2}{(D^2+x^2)^2}\right)$$

$$\frac{\partial E}{\partial v} = \left(\frac{R^2}{D^2+x^2}-1\right)v$$

Корни

$$v=0, x=0$$

Если $|L|/\sqrt{k}-D^2>0$, то дополнительно

$$x=\pm\sqrt{|L|/\sqrt{k}-D^2}.$$

Вторые производные

$$\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = -\frac{L^2}{(D^2+x^2)^2}\left(1-\frac{4x^2}{(D^2+x^2)}\right)+k$$

$$\frac{\partial^2 E}{\partial v^2} = \frac{R^2}{D^2+x^2}-1$$

$$\frac{\partial^2 E}{\partial x \partial v} = 0$$

1. $|L|/\sqrt{k}-D^2<0$. Тогда стационарной является ед. точка $(0,0)$. В этом случае

$$\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = k-\frac{L^2}{D^4}>0,$$

$$\frac{\partial^2 E}{\partial v^2} = \frac{R^2}{D^2}-1<0.$$

2.$|L|/\sqrt{k}-D^2>0$. Тогда стационарные точки $x=0,\pm\sqrt{|L|/\sqrt{k}-D^2}.$$. В этом случае точка $(0,0)$ - максимум.
Так как $D^2+x^2=|L|/\sqrt{k}$ то

$$\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = -k\left(1-\frac{4(|L|/\sqrt{k}-D^2)}{|L|/\sqrt{k}}\right)+k$$

$$\frac{\partial^2 E}{\partial v^2} = \frac{R^2}{|L|/\sqrt{k}}-1<0$$

[unistudent]

возможно где-то ошибка, но идея про точки равновесия понятна. Пока не совсем понятно, что такое точка бифуркации и какое ур-ие надо линеаризовать, чтобы изучать малые колебания.

[Red_Herring]

Бифуркацию Вы нашли $L=\pm D^2\sqrt{k}$ (картинка меняется).

$$2E=\frac{L^2}{D^2+x^2}+kx^2+\left(1-\frac{R^2}{D^2+x^2}\right)\dot{x}^2.$$

Давайте выделим справа квадратичную форму от $\dot{x}, x-x_0$. это из вторых производных; если $x_0=0$ то совсем на пальцах:

$$(k-L^2D^{-4})x^2+(1-R^2D^{-2})\dot{x}^2$$

что соответствует пружинке с "эффективными" массой $(1-R^2D^{-2})$ и жесткостью $(k-L^2D^{-4})$, т.е. период

$$T=2\pi \sqrt{\frac{1-R^2D^{-2}}{k-L^2D^{-4}}}.$$

Если $x_0=x_\pm$ то масса будет $(1-R^2L^{-1}\sqrt{k})$, а жесткость—половина второй производной от $\frac{L^2}{D^2+x^2}+kx^2$ в этой точке.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

если кто желает продолжения банкета post837269.html#p837269

[Geen]

(Оффтоп)

Эх, математику это не меняет, но из "физических" соображений я бы, всё-таки, записал бы немного по другому:

$$2E=D^2\Omega^2+2\varepsilon D^2$$

$$L=D^2\Omega$$

$$k=\varpi^2$$

$$x=Dy$$

$$R=\delta D\quad (\delta\le1/2)$$

и тогда "основное уравнение"

$$2\varepsilon=\left(\varpi^2-\frac{\Omega^2}{1+y^2}\right)y^2+\frac{1-\delta^2+y^2}{1+y^2}\dot y^2$$

[unistudent]

Red_Herring в сообщении #999622 писал(а):

соответствует пружинке с "эффективными" массой $(1-R^2D^{-2})$ и жесткостью $(k-L^2D^{-4})$
.

Понятно. Функция $E(x,v)$ представляется рядом Тейлора, из которого отбразываются все члены степени выше чем 2. Получается

$$2E-\frac{L^2}{D^2}=\frac{1}{2}\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}(x-x_0)^2+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 E}{\partial v^2}v^2.$$

Эффективная пружинка обладает эффективной энергией $2E-\frac{L^2}{D^2}$.

[unistudent]

Интересно как движется стержень. Скорее всего, тоже колеблется. В случае $|L|< D^2\sqrt{k}$, колебания около фиксированного положения. Когда $|L|> D^2\sqrt{k}$, стержень поворачивается в ту или иную сторону, и можно найти величину поворота за перид $T$ эффективной пружинки. Точка (0,0) в этом случае неустойчива. Что же происходит, когда $L=\pm D^2\sqrt{k}$?