Задача про жука

[Red_Herring]

unistudent в сообщении #999456 писал(а):

Это разве есть хорошо?

WTH?
Выразите $\omega= (L-R\dot{x})/(D^2+x^2)$ и подставьте в $E$!

[unistudent]

$$\frac{L-R\dot x}{D^2+x^2}=\omega,$$

А это после подстановки

$$2E = \frac{(L-R\dot x)^2}{D^2+x^2}+kx^2+2R\dot x\frac{L-R\dot x}{D^2+x^2}+\dot x^2$$

-- 02.04.2015, 20:28 --

Или так

$$2E = \frac{L^2}{D^2+x^2}+kx^2-\left(\frac{R^2}{D^2+x^2}+1\right)\dot x^2$$

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #999341 писал(а):

воспользоваться законами сохранения полной энергии и углового момента.

Да, и с помощью этих законов нужно изготовиить эффективный потенциал (подобно тому, как это делается в задаче Кеплера). Дальше там можно увидеть забавную бифуркацию стационарных движений. При изменении параметров задачи движение, когда стержень равномерно вращается, а кольцо стоит в его центре, делается неустойчивым, при этом рождаются два устойчивых стационарных вращения стержня, при которых кольцо покоится на стержне в стороне от его центра.

Я правда, не совсем уверен, что таким способом эффективная потенциальная энергия получится, я ее получал из общей техники, и там по ходу еще лагранжиан приходилось калибровать

[Red_Herring]

Теперь исследуйте ф-ю двух переменных на экстремумы.

А чтобы проинтегрировать выразите $\dot{x}$ через $x$ и разделите переменные.

[unistudent]

Oleg Zubelevich в сообщении #999467 писал(а):

...и с помощью этих законов нужно изготовиить эффективный потенциал...

Ну а мне пора отправляться читать книжки..

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #999467 писал(а):

Я правда, не совсем уверен, что таким способом эффективная потенциальная энергия получится, я ее получал из общей техники, и там по ходу еще лагранжиан приходилось калибровать

Через лагранжиан, конечно, несколько проще. А бифуркация—это действительно забавно. Но тогда ещё интересно получить периоды малых колебаний возле устойчивых положений равновесия

-- 02.04.2015, 13:38 --

unistudent в сообщении #999470 писал(а):

Ну а мне пора отправляться читать книжки..

Это потом. Сначала доведите задачу до конца.

[Geen]

unistudent в сообщении #999463 писал(а):

Или так

По моему, ошибка в знаке.

[unistudent]

Red_Herring в сообщении #999471 писал(а):

.. доведите задачу до конца.

Я уже правда на грани, но я попробую. Нужно найти экстремумы ф-ии $E=E(x,v)$. Очень смутно представляю, зачем это надо делать. Мои мысли такие: энергия сохранятеся и система находится в некотором устойчивом состоянии, судя по всему в минимуме... в общем, есть траектория движения в пространстве $x,v$, в точках этой траектории ф-ия $E(x,v)$ принимает экстремальные значения..мда, вот кажись и всё.. ну ладно. Что такое необходимый признак экстремума мы знаем: если в точке экстремум, то частные производные там равны нулю. Ищем частные производные и приравниваем к нулю:

$$0 = -\frac{L^2}{(D^2+x^2)^2}+k+\left(\frac{R^2}{(D^2+x^2)^2}\right)\dot x^2$$

$$0 = \left(\frac{R^2}{D^2+x^2}-1\right)\dot x$$

Из первого ур-я находим

$$\dot x=\pm\frac{1}{R}\sqrt{L^2- k(D^2+x^2)^2}$$

-- 02.04.2015, 21:08 --

Geen в сообщении #999475 писал(а):

По моему, ошибка в знаке.

Точно.. должно быть так

$$2E = \frac{L^2}{D^2+x^2}+kx^2-\left(\frac{R^2}{D^2+x^2}-1\right)\dot x^2$$

Но это не сильно повлияло на то, что я уже успел написать. Последнее полученное выражение можно записать в дифференциалах:

$$\frac{dx}{\sqrt{L^2- k(D^2+x^2)^2}}=\pm\frac{1}{R}$$

[Red_Herring]

Видно что в интеграл не взять, но это и не очень интересно. Интересней найти и исследовать экстремумы и обнаружить бифуркацию. Кстати, не грех вспомнить что $D>R$.

[unistudent]

$$0 = -\frac{L^2}{(D^2+x^2)^2}+k+\left(\frac{R^2}{(D^2+x^2)^2}\right)\dot x^2$$

$$0 = \left(\frac{R^2}{D^2+x^2}-1\right)\dot x$$

[Red_Herring]

Во втором ур-ии у Вас в знаке ошибка, но это неважно: $\frac{R^2}{D^2+x^2}-1 <0$ и потому $\dot{x}=$?

Потом найдите $x$. Сколько будет разных значений для $x$?

[unistudent]

И что, оставляем так?

$$\dot x=\pm\frac{1}{R}\sqrt{L^2-k(D^2+x^2)^2}$$

или нам нужна точка $\dot x =0, x^2=\frac{L}{\sqrt{k}}-D^2$?

-- 02.04.2015, 21:42 --

$$x=\pm\sqrt{\frac{L}{\sqrt{k}}-D^2}$$

[Geen]

Red_Herring в сообщении #999481 писал(а):

Интересней найти и исследовать экстремумы и обнаружить бифуркацию.

Только, всё же, кажется сначала лучше записать "наше основное уравнение" в виде $\frac{\dot x^2}{2}+U(x)=0$

-- 02.04.2015, 21:46 --

и, возможно, удобнее будет, если вспомнить, что $\frac{k}{m}=\varpi^2$

[unistudent]

Ну кстати еще это, чуть не забыл

$$x^2+D^2 = R^2$$

И поэтому

$$\dot x=\pm\frac{1}{R}\sqrt{L^2-kR^4}$$

А это уже интегрируется. Это дает нам две прямые. Что-то мне подсказывает, что их пересечение и есть точка бифуркации, или то самое неустойчивое положение равновесия, так?

[Geen]

unistudent в сообщении #999493 писал(а):

Ну кстати еще это, чуть не забыл

А это откуда? Вроде же и $R$ и $D$ константы...