Если интегральные соотношения для обычного пространства выводятся при использовании теорем матанализа в пространстве Минковского для общековариантного варианта уравнений Максвелла, то признаю свою несостоятельность.
Из 4-мерного варианта уравнений Максвелла можно вывести как интегральные соотношения для обычного пространства, так и другие, новые интегральные соотношения.
Как это делается. Допустим, мы провели контур интегрирования в пространстве Минковского - какую-то линию. (Рассмотрим пока одномерную линию, потому что 2-мерную поверхность в 4-мерном пространстве трудно представить наглядно - по крайней мере, начинающему.) Эта линия может быть разной - какой захотим - лишь бы замкнутой. В одном частном случае, она может вся целиком лежать в пространственной 3-плоскости - тогда мы получим обычный 3-мерный интеграл по контуру:

Но она может и не лежать в этой плоскости, и тогда мы получим интеграл по контуру в 4-мерном пространстве, как описано в ЛЛ-2:

(пропущена техническая возня, в которой я мог и наошибаться). Здесь тоже последовательно сначала применяется теорема Стокса - интеграл по контуру заменяется на интеграл по внутренности контура, - а потом уравнения Максвелла. Теперь мы нашли более общий случай того же интегрального соотношения, и он применим не только к чисто пространственным контурам, но и, например, к контурам, которые были бы пространственными в какой-то другой системе отсчёта; к контурам, которые не будут пространственными ни в какой системе отсчёта; к "вертикальным" контурам, вытянутым вдоль оси времени. Разумеется, всё то же самое можно вывести и из 3-мерной формы уравнений Максвелла, но технической возни было бы гораздо больше. Зачем нужны новые соотношения? Может быть, и низачем, а может быть, кому-нибудь пригодятся.
-- 26.03.2015 19:00:10 --Например, взяв контур вдоль оси времени, состоящий из кривой

в пространстве в моменты времени

(с плюсом) и

(с минусом), и конечных точек этой кривой

и

на интервале времени
![$[t_1;t_2]$ $[t_1;t_2]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/8/8d80d9bfcf23101d72d81358bc19436182.png)
(

с плюсом,

с минусом), получим такие интегральные соотношения (две штуки, потому что одно 4-мерное векторное соотношение отвечает двум 3-мерным - скалярному и векторному):
![$$\begin{gathered}\int\limits_{L,t_1}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}-\int\limits_{L,t_2}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\int\limits_L\left(-\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\right)\cdot d\mathbf{l}\\\int\limits_{L,t_1}(-[\mathbf{B},d\mathbf{l}])+\int\limits_{b,t_1}^{t_2}(-\mathbf{E}\,dt)-\int\limits_{L,t_2}(-[\mathbf{B},d\mathbf{l}])-\int\limits_{a,t_1}^{t_2}(-\mathbf{E}\,dt)=\int\limits_{t_1}^{t_2}\int\limits_L(-(d\mathbf{l}\cdot\operatorname{grad})\mathbf{E}+[\operatorname{rot}\mathbf{E},d\mathbf{l}])dt\end{gathered}$$ $$\begin{gathered}\int\limits_{L,t_1}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}-\int\limits_{L,t_2}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\int\limits_L\left(-\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\right)\cdot d\mathbf{l}\\\int\limits_{L,t_1}(-[\mathbf{B},d\mathbf{l}])+\int\limits_{b,t_1}^{t_2}(-\mathbf{E}\,dt)-\int\limits_{L,t_2}(-[\mathbf{B},d\mathbf{l}])-\int\limits_{a,t_1}^{t_2}(-\mathbf{E}\,dt)=\int\limits_{t_1}^{t_2}\int\limits_L(-(d\mathbf{l}\cdot\operatorname{grad})\mathbf{E}+[\operatorname{rot}\mathbf{E},d\mathbf{l}])dt\end{gathered}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/5/6650a90d4301bc87f814a1859d21003a82.png)
Первое из них очевидно, и не стоило трудов, а вот второе... мне кажется, чтобы до него догадаться, надо по меньшей мере знать, где искать.
-- 26.03.2015 19:03:29 --А, не, второе тоже очевидно. (Я сначала написал "неочевидно", а потом исправил описку, и преобразовал правую часть к более удобному виду - и в нём стало очевидно.)