План изучения геометрии и теории групп для теор.физа

[Kirill_Sal]

Здравствуйте. Хочу изучить геометрию и теорию групп на достаточно углубленном уровне для хорошего понимания и умения применять в смежных областях современной теор.физики (теория струн, квантовая гравитация, частицы и т.д.). Имею неплохую мат.эрудицию, т.к.изучал матанализ по Зоричу, а алгебру - по Кострикину. Но сейчас, углубляясь в ОТО, понял, что этого недостаточно.
Итак, прошу умных людей помочь мне в составлении плана изучения геометрии и теории групп.
Сейчас изучаю Риманову геометрию по Бишопу и Криттендену - из всей литературы выбрал именно ее из-за сжатости и большого кол-ва интересных задач. В целом, изучение продвигается неплохо и приносит удовольствие, однако некоторые их задачи очень сложные.
Что мне делать дальше или можеть быть можно делать параллельно?
Сейчас параллельно с БК заглядываю в очень интересную книгу Уорнера "Многообразия и группы Ли". Для понимания наиболее интересных вещей из этой книги требуются знания из алгебраической топологии.
Здесь у меня естественно возникает вопрос: какой набор знаний требуется, чтобы изучить алгебраическую топологию, к примеру, по книге Чеса Косневски? Или может быть, она не совсем обязательна?
Если с этими предметами я разберусь, то дальше, наверное, дифф.топология и алгебраическая геометрия. Но в отношение изучения последнего предмета коэффициент реальность/фантастика мне пока определить сложно.
Да, многие мне наверное посоветуют забить на разные книги и изучать геометрию исключительно по Дубровину-Новикову-Фоменко. Я знаю и имею ввиду этот учебник, но как основной использовать не хочу. 1-я часть (Риманова геометрия) мне не понравилась: очень разжевана и написана явно для физиков. А мне по математике нравятся книги, написанные для математиков, - они лучше развивают мышление. 2-ую часть не читал, но если там такой же стиль изложения, то это не мой вариант.
Остается еще вопрос с теорией групп : теория представлений вообще и группы Ли. В идеале хотелось бы найти что-то по стилю наподобие Бишопа-Криттендена: сжатое, компактное и мощно вправляющее мозги. Двухтомники "Симметрия в физике" или "Теория представлений групп и ее приложения" хотелось бы оставить на крайний случай. Нужно что-то менее объемное и все-таки для математиков, но более-менее наглядное и мотивированное.

-- 23.03.2015, 03:12 --

P.S.На английском читаю свободно.

[Munin]

Всё-таки, "математическая теория для математиков" и "математическая теория для физиков" - это две разные вещи. Которые даже лучше учить по разным учебникам. Имхо. Изучив что-то по книгам "для математиков", вы можете представлять себе всё это весьма круто - физик позавидует - но при этом быть не готовым читать книги по физике.

[tolstopuz]

Munin говорит все верно, но, кажется, вы любитель того же странного подхода, что и я. Есть стандартные современные учебники для математиков:

Lee, Introduction to Topological Manifolds - это вполне достаточно пролистать, если вы и так знаете достаточное количество общей топологии
Lee, Introduction to Smooth Manifolds - если получится, достаньте второе издание, там добавили недостающий материал по дифференциальной топологии
Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature

Alperin, Bell, Groups and Representations
Fulton, Harris, Representation Theory: A First Course - очень наглядно и мотивированно

По алгебраической топологии я читал Хатчера, он не так давно вышел и в русском переводе. В западных вузах он фактически стал стандартом, мне понравилось, но некоторые его ненавидят.

Если Кострикина не хватит для алгебраической топологии или теории представлений, придется почитать еще немного алгебры, скажем, Dummit&Foote, Rotman или даже Ленга.

[Munin]

tolstopuz
Всё это в электронном виде накачать можно?

[svv]

Разве Колхоз не полон?

[tolstopuz]

Munin в сообщении #994604 писал(а):

Всё это в электронном виде накачать можно?

Да, кроме, возможно, вторых изданий первых двух книг Lee. У меня все перечисленное, кроме Ротмана, стоит еще и в бумажном виде на полке :)

(Оффтоп)

Оказывается, преподавание классического дифгема до сих пор актуально. Перед настоящим дифгемом принято давать семестр классического, с кривыми и поверхностями, типа Рашевского. На английском традиционно используется аналогичный Рашевскому, но немного более современный учебник бразильца do Carmo, а сегодня я с удивлением узнал, что есть еще более современный учебник итальянцев Abate&Tovena, по которому J.M.Lee учит студентов, еще не доросших до его собственных учебников.

У do Carmo интересна последняя глава, где доказывают глобальные теоремы в классическом контексте. А у итальянцев оглавление такое, что просто душа радуется - трубчатые окрестности, трансверсальность... То есть студентам не просто дают семестр классического дифгема, чтобы как-то мотивировать их к абстрактным многообразиям, но и сразу приучают к современной терминологии.

[Munin]

svv в сообщении #994606 писал(а):

Разве Колхоз не полон?

Увы, иногда всего лишь плотен :-)

tolstopuz в сообщении #994616 писал(а):

Да

Спасибо!

tolstopuz в сообщении #994616 писал(а):

Оказывается, преподавание классического дифгема до сих пор актуально. Перед настоящим дифгемом принято давать семестр классического, с кривыми и поверхностями, типа Рашевского.

Это же старьё, его можно целиком прочитать на 1-2 лекциях матанализа (хорошего). Я понимаю, ангем перед линалом, для развития интуиции, но уж это-то - перебор.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #994635 писал(а):

svv в сообщении #994606 писал(а):

Разве Колхоз не полон?

Увы, иногда всего лишь плотен

tolstopuz в сообщении #994616 писал(а):

Да

Спасибо!

tolstopuz в сообщении #994616 писал(а):

Оказывается, преподавание классического дифгема до сих пор актуально. Перед настоящим дифгемом принято давать семестр классического, с кривыми и поверхностями, типа Рашевского.

Это же старьё, его можно целиком прочитать на 1-2 лекциях матанализа (хорошего). Я понимаю, ангем перед линалом, для развития интуиции, но уж это-то - перебор.

Если начинать сразу с абстрактного изложения, то на что может опираться интуиция и образное восприятие у студентов при осмысливании и "ощупывании" определений? Да и на каких содержательных примерах можно будет объяснять материал?

[tolstopuz]

Munin в сообщении #994635 писал(а):

Это же старьё, его можно целиком прочитать на 1-2 лекциях матанализа (хорошего). Я понимаю, ангем перед линалом, для развития интуиции, но уж это-то - перебор.

Я тоже долгое время так думал, но раз уж автор самых популярных учебников по дифгему читает студентам кривые и поверхности по чужой книжке, это повод задуматься :)

Я посмотрел примерный план. В две лекции вряд ли влезет :)

http://www.math.washington.edu/~lee/Cou ... 13/hw.html
http://www.math.washington.edu/~lee/Cou ... 13/hw.html

(Оффтоп)

1. Способы задания кривой. Натуральная параметризация.
2. Кривизна и кручение.
3. Порядок кривой относительно точки. Трубчатая окрестность.
4. Теорема Жордана. Теорема Хопфа о вращающейся касательной.
5-6 - непонятно. Из учебника только выпуклые поверхности. Видимо, какой-то дополнительный материал.
7. Способы задания поверхности.
8. Гладкие функции. Касательная плоскость.
9. Касательные векторы и производные по направлению.
10. Первая фундаментальная форма. Площадь. Ориентируемость.
11. Нормальная кривизна и вторая фундаментальная форма. Главная, гауссова и средняя кривизна.
12. Теорема Гаусса.
13. Геодезические и геодезическая кривизна.
14. Минимальное свойство геодезических.
15. Локальная теорема Гаусса-Бонне.
16. Триангуляции. Глобальная теорема Гаусса-Бонне.

[Kirill_Sal]

Munin в сообщении #994537 писал(а):

Всё-таки, "математическая теория для математиков" и "математическая теория для физиков" - это две разные вещи. Которые даже лучше учить по разным учебникам. Имхо. Изучив что-то по книгам "для математиков", вы можете представлять себе всё это весьма круто - физик позавидует - но при этом быть не готовым читать книги по физике.

Я думаю, что здесь все индивидуально. Сомневаюсь, что изучение геометрии на углубленном уровне отобьет у меня понимание физики. И потом книги для математиков тоже бывают разные, как и книги для физиков. Минус последних в том, что они развивают только те идеи, которые уже использовались и не дают новых. Во-вторых, большинство из них не очень удачные методически. 1-я часть Дубровина-Фоменко выглядит как руководство к пониманию мат.аппарата ЛЛ2.

tolstopuz в сообщении #994558 писал(а):

Munin говорит все верно, но, кажется, вы любитель того же странного подхода, что и я. Есть стандартные современные учебники для математиков:

Lee, Introduction to Topological Manifolds - это вполне достаточно пролистать, если вы и так знаете достаточное количество общей топологии
Lee, Introduction to Smooth Manifolds - если получится, достаньте второе издание, там добавили недостающий материал по дифференциальной топологии
Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature

Alperin, Bell, Groups and Representations
Fulton, Harris, Representation Theory: A First Course - очень наглядно и мотивированно

По алгебраической топологии я читал Хатчера, он не так давно вышел и в русском переводе. В западных вузах он фактически стал стандартом, мне понравилось, но некоторые его ненавидят.

Если Кострикина не хватит для алгебраической топологии или теории представлений, придется почитать еще немного алгебры, скажем, Dummit&Foote, Rotman или даже Ленга.

Итак, значит алгебраическую топологию можно изучать параллельно с дифф.геометрией?
За подбор книг спасибо, посмотрю.

-- 23.03.2015, 19:45 --

По поводу классического дифф.гема хочу сказать, что он очень скучный и в продвинутом курсе матанализа наподобие Зорича все основные идеи и так вводятся. А самая лучшая мотивировка для чтения современных курсов - это ОТО.

[tolstopuz]

Kirill_Sal в сообщении #994674 писал(а):

Итак, значит алгебраическую топологию можно изучать параллельно с дифф.геометрией?

Да, для нее нужна общая топология и немного алгебры.

Я посмотрел Косневского - первая часть Lee содержит примерно этот же материал. И еще есть классический учебник Манкрза, который мне нравится больше. А Хатчера пока не берите, он логически идет после любой из этих трех книг.

-- Пн мар 23, 2015 19:58:07 --

Kirill_Sal в сообщении #994674 писал(а):

По поводу классического дифф.гема хочу сказать, что он очень скучный и в продвинутом курсе матанализа наподобие Зорича все основные идеи и так вводятся.

Хорошо быть Вербицким :)

Мне все-таки пришлось читать do Carmo, до этого я вообще не мог понять, о чем все эти гладкие многообразия. Оказалось, что глобальные теоремы совсем не скучные. А Abate&Tovena для спасения от скуки как бы невзначай дают кусочки дифференциальной топологии. Вам это не нужно, а студенты пусть порадуются :)

[Kirill_Sal]

tolstopuz
Fulton, Harris - божественно. Вы попали в самую точку и за это Вам огромное спасибо.
Хатчера скачал - книга явно очень хорошая, но толстовата. Думаю, что изучать буду по Косневски, а по Хатчеру просматривать примеры.
В Munkres, как я понял , больше общей топологии. Немного в стороне от моих интересов.

[tolstopuz]

Kirill_Sal в сообщении #994682 писал(а):

Хатчера скачал - книга явно очень хорошая, но толстовата. Думаю, что изучать буду по Косневски, а по Хатчеру просматривать примеры.

На самом деле его основная часть очень короткая - 60 страниц про фундаментальную группу, 70 про гомологии и 75 про когомологии. В четвертой главе еще гомотопии, но я их не осилил. Остальное - необязательные приложения.

[Kirill_Sal]

tolstopuz
Кстати, первую книгу по группам я не нашел в бесплатнлй версии. Но она вряд ли лучше, чем Fulton, Harris?

[tolstopuz]

Kirill_Sal в сообщении #994692 писал(а):

Кстати, первую книгу по группам я не нашел в бесплатнлй версии. Но она вряд ли лучше, чем Fulton, Harris?

Она заполняет пробелы после Кострикина и вообще только про конечные группы. Можно заменить частью какого-нибудь нормального учебника по алгебре, например, из моего списка.