2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: План изучения геометрии и теории групп для теор.физа
Сообщение25.03.2015, 04:07 
Аватара пользователя


04/12/10
115
По дифгему, думаю, понравится Fecko "Differential Geometry and Lie Groups for Physicists". Во-первых, то, что там есть, физику, с вашими запросами, совершенно необходимо. Т.е. проблема выборочности чтения становится куда менее острой. А во-вторых, приятно, что приложения к физике: механика, ОТО, Янг-Миллс, расписано явно. Так что проблема вида: читаешь Кобаяси, Номидзу и думаешь: "как на этом языке будет выглядеть действие Янга-Миллса?" (и плюс "во-первых": "так ли этот кусок необходим?"), читаешь Рубакова и думаешь: "как это сказать математически красиво?", также исчезает.

 Профиль  
                  
 
 Re: План изучения геометрии и теории групп для теор.физа
Сообщение25.03.2015, 11:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
871
М. Постников "Дифференциальная геометрия", в качестве дополнения. Изложение не идеальное, имхо, но встречаются отдельные изюминки (то же можно сказать и о других книгах серии "Лекции по геометрии"). Например, описание инстантонов (BPST и t’Hooft-решения, ADHM-конструкция).

 Профиль  
                  
 
 Re: План изучения геометрии и теории групп для теор.физа
Сообщение26.03.2015, 01:35 
Заморожен


24/06/14
358
vanger
Скачал, спасибо. Изучать все-таки начну перед теорий струн, когда будетдостаточно мотивации из ОТО и КТП.
Есть вопрос к участникам дискуссии. Думаю, можно не создавать отдельную тему, т.к.отвечают все равно одни и те же люди, а вопрос для знающих очень прост и является хорошим примером связи между математикой и физикой.
Вопрос по книге Хокинга-Эллиса (с.95, если кому интересно; я тут приведу рассмотрение очень кратко).
Рассмотрением конгруэнцию временниподобных кривых линий тока жидкости $\lambda(s)$ с единичным касательным вектором $\vec{V}$. Для составляющих вектора девиации соседних кривых $\vec{Z}$ $(\vec{Z}\bot\vec{V})$ можно получить дифф. уравнение:
$d(Z^a)/ds=(V_{;b}^a)Z^b$
Его можно решить с помощью матрицы $A_{b}^a$, такой что $Z^a(s)=(A_{b}^a)Z^b\|_0$. Из простых физических соображений понятно, что матрицы $A_{ab}$ отвечает за изменение формы и ориентации элемента объема жидкости по сравнению с изначальным положением $s=0$. Это значит, что эту матрицу мы можем представить в виде произведения вращения относительно базиса, переносимого вдоль $\lambda(s)$ по Ферми, на смещение относительно $\lambda(s)$, где $\lambda(s)$ - интегральная кривая вектора $\vec_{V}$.
Очевидно, что процессы, характеризуемые таким простым дифф.уравнением, могут быть физически куда более непонятными и не всегда удается угадать ответ. Как это сделать чисто математически ?
По всей видимости ответ на этот вопрос связан с разложением на неприводимые представления. Я в этом не разбираюсь пока.

 Профиль  
                  
 
 Re: План изучения геометрии и теории групп для теор.физа
Сообщение26.03.2015, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Так и не понял, в чём вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: План изучения геометрии и теории групп для теор.физа
Сообщение26.03.2015, 17:52 
Заморожен


24/06/14
358
Допустим, я не знаю и не понимаю физику этого процесса. Как исходя из математических соображений вывести, что матрицу $A_b^a$ можно представить как произведение смещения на вращение? Если дифф.уравнение и сам процесс сложнее, то сделать это получится только математическими методами. Вопрос, какими.

 Профиль  
                  
 
 Re: План изучения геометрии и теории групп для теор.физа
Сообщение26.03.2015, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Kirill_Sal в сообщении #996020 писал(а):
Допустим, я не знаю и не понимаю физику этого процесса.

Физику какого процесса?

Kirill_Sal в сообщении #996020 писал(а):
Как исходя из математических соображений вывести, что матрицу $A_b^a$ можно представить как произведение смещения на вращение?

Любую матрицу можно так представить, это линал первый курс.

 Профиль  
                  
 
 Re: План изучения геометрии и теории групп для теор.физа
Сообщение26.03.2015, 21:04 
Заморожен


24/06/14
358
Ну не любую, конечно, эта теорема в линале доказывалась для матриц перехода. Процесс состоит в изменении длины и направления вектора девиации с изменением параметра $s$ вдоль линии тока жидкости.
Я вообщем-то догадался уже, что в математике это задача о разложении приводимого представления на неприводимые. Ничего об этом не знаю к своему стыду. Вот и мотивация изучать теорию групп.

 Профиль  
                  
 
 Re: План изучения геометрии и теории групп для теор.физа
Сообщение26.03.2015, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Kirill_Sal в сообщении #996144 писал(а):
Ну не любую, конечно, эта теорема в линале доказывалась для матриц перехода.

А любая (невырожденная) матрица есть матрица перехода.

Kirill_Sal в сообщении #996144 писал(а):
Я вообщем-то догадался уже, что в математике это задача о разложении приводимого представления на неприводимые.

Я так и не понял - какая вообще задача?

А разложение приводимого на неприводимые есть в физике. Это очень известная задача: найти спин системы из двух частиц со спином $\tfrac{1}{2}$ каждая (например, из двух электронов). Получается два вырожденных состояния (вырождение снимается при взаимодействии): с суммарным спином 0 (синглетное) и с суммарным спином 1 (триплетное). На этом архетипичном примере можно понять весь принцип.

 Профиль  
                  
 
 Re: План изучения геометрии и теории групп для теор.физа
Сообщение27.03.2015, 00:28 
Заморожен


24/06/14
358
Munin
Нету никакой задачи на самом деле, мне показалось нетривиальным то, о чем знают все, кроме меня :oops:
Просто я читал книгу, не зная толком, что называется неприводимым представлением. И мне стало интересно, как в общем случае разложить произвольную матрицу в произведение более простых. Теперь знаю, что этот вопрос решает теория групп.
Если матрица - это прямоугольная таблица с числами , то тензор тоже можно представить как матрицу. Что тогда назвать смещением и вращением для, например, тензора кривизны я честно говоря не понимаю. Или я путаюсь в определениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: План изучения геометрии и теории групп для теор.физа
Сообщение27.03.2015, 01:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Kirill_Sal в сообщении #996220 писал(а):
Если матрица - это прямоугольная таблица с числами , то тензор тоже можно представить как матрицу.

Э нет. Тензор - это "многомерная матрица". Его можно разложить по базису, элементы которого будут "возведены" как тензорные произведения матриц (и векторов).

Например, представьте себе куб, заполненный числами - это тензор 3-го ранга. Чтобы его заполнить числами, надо взять матрицу, и "поднять её на нужный этаж" - взять её тензорное произведение с вектором $(\ldots,0,\overset{n}{1},0\ldots).$ И разумеется, так можно заполнить только один этаж, а чтобы все этажи - надо взять линейную комбинацию таких "поднятий".

Что такое тензор кривизны - это большая долгая история, которую надо тщательно анализировать. Это вообще для физиков немного где написано. У Пенроуза это написано, даже в популярных книгах.

Схематически: есть тензор Римана, аж четвёртого ранга: $R_{abcd}.$ Он содержит всю вообще, максимальную информацию о кривизне. Из него получаются: тензор Риччи - свёрткой $R_{ab}=R_{acbc},$ скалярная кривизна - второй свёрткой: $R=R_{aa}.$ Кроме того, есть ещё тензор Вейля $C_{abcd},$ который, по выражению Пенроуза, содержит ту информацию, которая оказывается "отброшена" при переходе от тензора Римана к тензору Риччи.

Дальше. Вот есть у нас две линии сетки координат. Тензор Римана позволяет проследить, как они будут себя вести при сдвиге вдоль координат: сходиться или расходиться, закручиваться как-то вокруг, и т. п.

Есть у нас две геодезических. Тензор Римана позволяет проследить, будут ли они сближаться или расходиться. "Закручивание" проследить нельзя: геодезических всего две.

Есть у нас пучок геодезических. Например, можно взять сферу, и из каждой её точки провести геодезическую параллельно данной. Тогда этот пучок будет переводить сферу в нечто новое. Тензор Риччи будет описывать, как будет меняться объём сферы: увеличиваться или уменьшаться. А тензор Вейля - как сфера будет растягиваться и сжиматься в разных направлениях, не считая изменения объёма.

Кроме того, если у нас есть плоскость в пространстве, то тензор Римана в проекции на эту плоскость - даст секционную кривизну в этой плоскости. Она скажет, насколько длина окружности отличается от $2\pi r,$ площадь круга - от $\pi r^2,$ а сумма углов треугольника - от $180^\circ.$

Но все эти вещи - частный случай для тензоров кривизны. Вообще "визуализация" тензоров разных рангов - очень сложное и неразработанное дело. Ещё мне известно про пару-тройку образов для тензоров 2 ранга (матриц), ну тут всё просто: преобразования и квадратичные формы.

 Профиль  
                  
 
 Re: План изучения геометрии и теории групп для теор.физа
Сообщение27.03.2015, 01:55 
Заморожен


24/06/14
358
Munin
Круто. Кроме "пучка геодезических" мне все понятно. Про тензор Вейля я знаю пока только то, что он инвариантен относительно конформных преобразований метрики. Утверждение о связи растяжений тела с тензором Вейля кажется не очевидным. Еще я знаю о том, что тензор кривизны можно представить в виде суммы тензора Вейля и всех симм./антисимм. произведений метрического тензора с тензором Риччи. Учитывая известный геом.смысл тензора Риччи, наверное, можно сделать такой вывод. Но вообще-то надо доказать и по-хорошему хотелось бы видеть наиболее простые способы док-ва таких теорем.
Для тензоров нет аналога неприводимых представлений для групп? Вообще, я уверен, что мощные методы должны быть. Не верится как-то, что в 2015 г.такие вещи доказываются в компонентных записях.

 Профиль  
                  
 
 Re: План изучения геометрии и теории групп для теор.физа
Сообщение27.03.2015, 02:37 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Kirill_Sal
У Хокинга на стр. 95 использовано полярное разложение матрицы. По этому названию, наверное, найдёте и доказательство существования такого разложения для любой квадратной матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: План изучения геометрии и теории групп для теор.физа
Сообщение27.03.2015, 09:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Munin в сообщении #996231 писал(а):
Дальше. Вот есть у нас две линии сетки координат. Тензор Римана позволяет проследить, как они будут себя вести при сдвиге вдоль координат: сходиться или расходиться, закручиваться как-то вокруг, и т. п.

На самом деле, за этим позволяют следить ещё символы Кристоффеля, но они описывают линейное "поведение", а тензор Римана, будучи производными от символов Кристоффеля, - "второго порядка".

Kirill_Sal в сообщении #996245 писал(а):
Но вообще-то надо доказать и по-хорошему хотелось бы видеть наиболее простые способы док-ва таких теорем.

Попробуйте сунуться в книгу
Пенроуз. Путь к реальности.
Это огромный компендиум всей фундаментальной физики и соответствующей математики (~ 1000 стр. A4), по удивительным причинам продающийся в разделе "научно-популярная литература".

Kirill_Sal в сообщении #996245 писал(а):
Для тензоров нет аналога неприводимых представлений для групп? Вообще, я уверен, что мощные методы должны быть. Не верится как-то, что в 2015 г.такие вещи доказываются в компонентных записях.

Перейти от компонентной записи к бескоординатной - это одно дело (лёгкое). Построить общую теорию классификации - другое (более тяжёлое). Кажется, для тензора Римана есть только типы Петрова (у Пенроуза они рассмотрены). Если у вас есть идеи, как это сделать, дерзайте, и попробуйте доложиться на каком-нибудь семинаре, или здесь, может быть - и да сопутствует вам успех.

 Профиль  
                  
 
 Re: План изучения геометрии и теории групп для теор.физ
Сообщение28.03.2015, 03:17 
Заморожен


24/06/14
358
У Пенроуза своеобразные взгляды на многие вещи. В научно-популярную ее записали, т.к.там мало формул. Но читать ее кому-то кроме ученых противопоказанно - крыша может поехать. Посмотрю некоторые главы на выходных. Сейчас больше увлечен статьями и книгой С.Хокинга.
Вообще идеи-то есть, аппарата для их правильной формулировки и реализации нету.

 Профиль  
                  
 
 Re: План изучения геометрии и теории групп для теор.физа
Сообщение28.03.2015, 13:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Kirill_Sal в сообщении #996756 писал(а):
У Пенроуза своеобразные взгляды на многие вещи.

Это да, но книгу можно использовать как учебник. Особенно если сверять курс с другими учебниками.

Kirill_Sal в сообщении #996756 писал(а):
В научно-популярную ее записали, т.к.там мало формул.

??? Разве только "относительно текста". Вообще формул там полно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group