План изучения геометрии и теории групп для теор.физа

[vanger]

По дифгему, думаю, понравится Fecko "Differential Geometry and Lie Groups for Physicists". Во-первых, то, что там есть, физику, с вашими запросами, совершенно необходимо. Т.е. проблема выборочности чтения становится куда менее острой. А во-вторых, приятно, что приложения к физике: механика, ОТО, Янг-Миллс, расписано явно. Так что проблема вида: читаешь Кобаяси, Номидзу и думаешь: "как на этом языке будет выглядеть действие Янга-Миллса?" (и плюс "во-первых": "так ли этот кусок необходим?"), читаешь Рубакова и думаешь: "как это сказать математически красиво?", также исчезает.

[lek]

М. Постников "Дифференциальная геометрия", в качестве дополнения. Изложение не идеальное, имхо, но встречаются отдельные изюминки (то же можно сказать и о других книгах серии "Лекции по геометрии"). Например, описание инстантонов (BPST и t’Hooft-решения, ADHM-конструкция).

[Kirill_Sal]

vanger
Скачал, спасибо. Изучать все-таки начну перед теорий струн, когда будетдостаточно мотивации из ОТО и КТП.
Есть вопрос к участникам дискуссии. Думаю, можно не создавать отдельную тему, т.к.отвечают все равно одни и те же люди, а вопрос для знающих очень прост и является хорошим примером связи между математикой и физикой.
Вопрос по книге Хокинга-Эллиса (с.95, если кому интересно; я тут приведу рассмотрение очень кратко).
Рассмотрением конгруэнцию временниподобных кривых линий тока жидкости $\lambda(s)$ с единичным касательным вектором $\vec{V}$. Для составляющих вектора девиации соседних кривых $\vec{Z}$ $(\vec{Z}\bot\vec{V})$ можно получить дифф. уравнение:
$d(Z^a)/ds=(V_{;b}^a)Z^b$
Его можно решить с помощью матрицы $A_{b}^a$, такой что $Z^a(s)=(A_{b}^a)Z^b\|_0$. Из простых физических соображений понятно, что матрицы $A_{ab}$ отвечает за изменение формы и ориентации элемента объема жидкости по сравнению с изначальным положением $s=0$. Это значит, что эту матрицу мы можем представить в виде произведения вращения относительно базиса, переносимого вдоль $\lambda(s)$ по Ферми, на смещение относительно $\lambda(s)$, где $\lambda(s)$ - интегральная кривая вектора $\vec_{V}$.
Очевидно, что процессы, характеризуемые таким простым дифф.уравнением, могут быть физически куда более непонятными и не всегда удается угадать ответ. Как это сделать чисто математически ?
По всей видимости ответ на этот вопрос связан с разложением на неприводимые представления. Я в этом не разбираюсь пока.

[Munin]

Так и не понял, в чём вопрос.

[Kirill_Sal]

Допустим, я не знаю и не понимаю физику этого процесса. Как исходя из математических соображений вывести, что матрицу $A_b^a$ можно представить как произведение смещения на вращение? Если дифф.уравнение и сам процесс сложнее, то сделать это получится только математическими методами. Вопрос, какими.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #996020 писал(а):

Допустим, я не знаю и не понимаю физику этого процесса.

Физику какого процесса?

Kirill_Sal в сообщении #996020 писал(а):

Как исходя из математических соображений вывести, что матрицу $A_b^a$ можно представить как произведение смещения на вращение?

Любую матрицу можно так представить, это линал первый курс.

[Kirill_Sal]

Ну не любую, конечно, эта теорема в линале доказывалась для матриц перехода. Процесс состоит в изменении длины и направления вектора девиации с изменением параметра $s$ вдоль линии тока жидкости.
Я вообщем-то догадался уже, что в математике это задача о разложении приводимого представления на неприводимые. Ничего об этом не знаю к своему стыду. Вот и мотивация изучать теорию групп.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #996144 писал(а):

Ну не любую, конечно, эта теорема в линале доказывалась для матриц перехода.

А любая (невырожденная) матрица есть матрица перехода.

Kirill_Sal в сообщении #996144 писал(а):

Я вообщем-то догадался уже, что в математике это задача о разложении приводимого представления на неприводимые.

Я так и не понял - какая вообще задача?

А разложение приводимого на неприводимые есть в физике. Это очень известная задача: найти спин системы из двух частиц со спином $\tfrac{1}{2}$ каждая (например, из двух электронов). Получается два вырожденных состояния (вырождение снимается при взаимодействии): с суммарным спином 0 (синглетное) и с суммарным спином 1 (триплетное). На этом архетипичном примере можно понять весь принцип.

[Kirill_Sal]

Munin
Нету никакой задачи на самом деле, мне показалось нетривиальным то, о чем знают все, кроме меня
Просто я читал книгу, не зная толком, что называется неприводимым представлением. И мне стало интересно, как в общем случае разложить произвольную матрицу в произведение более простых. Теперь знаю, что этот вопрос решает теория групп.
Если матрица - это прямоугольная таблица с числами , то тензор тоже можно представить как матрицу. Что тогда назвать смещением и вращением для, например, тензора кривизны я честно говоря не понимаю. Или я путаюсь в определениях.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #996220 писал(а):

Если матрица - это прямоугольная таблица с числами , то тензор тоже можно представить как матрицу.

Э нет. Тензор - это "многомерная матрица". Его можно разложить по базису, элементы которого будут "возведены" как тензорные произведения матриц (и векторов).

Например, представьте себе куб, заполненный числами - это тензор 3-го ранга. Чтобы его заполнить числами, надо взять матрицу, и "поднять её на нужный этаж" - взять её тензорное произведение с вектором $(\ldots,0,\overset{n}{1},0\ldots).$ И разумеется, так можно заполнить только один этаж, а чтобы все этажи - надо взять линейную комбинацию таких "поднятий".

Что такое тензор кривизны - это большая долгая история, которую надо тщательно анализировать. Это вообще для физиков немного где написано. У Пенроуза это написано, даже в популярных книгах.

Схематически: есть тензор Римана, аж четвёртого ранга: $R_{abcd}.$ Он содержит всю вообще, максимальную информацию о кривизне. Из него получаются: тензор Риччи - свёрткой $R_{ab}=R_{acbc},$ скалярная кривизна - второй свёрткой: $R=R_{aa}.$ Кроме того, есть ещё тензор Вейля $C_{abcd},$ который, по выражению Пенроуза, содержит ту информацию, которая оказывается "отброшена" при переходе от тензора Римана к тензору Риччи.

Дальше. Вот есть у нас две линии сетки координат. Тензор Римана позволяет проследить, как они будут себя вести при сдвиге вдоль координат: сходиться или расходиться, закручиваться как-то вокруг, и т. п.

Есть у нас две геодезических. Тензор Римана позволяет проследить, будут ли они сближаться или расходиться. "Закручивание" проследить нельзя: геодезических всего две.

Есть у нас пучок геодезических. Например, можно взять сферу, и из каждой её точки провести геодезическую параллельно данной. Тогда этот пучок будет переводить сферу в нечто новое. Тензор Риччи будет описывать, как будет меняться объём сферы: увеличиваться или уменьшаться. А тензор Вейля - как сфера будет растягиваться и сжиматься в разных направлениях, не считая изменения объёма.

Кроме того, если у нас есть плоскость в пространстве, то тензор Римана в проекции на эту плоскость - даст секционную кривизну в этой плоскости. Она скажет, насколько длина окружности отличается от $2\pi r,$ площадь круга - от $\pi r^2,$ а сумма углов треугольника - от $180^\circ.$

Но все эти вещи - частный случай для тензоров кривизны. Вообще "визуализация" тензоров разных рангов - очень сложное и неразработанное дело. Ещё мне известно про пару-тройку образов для тензоров 2 ранга (матриц), ну тут всё просто: преобразования и квадратичные формы.

[Kirill_Sal]

Munin
Круто. Кроме "пучка геодезических" мне все понятно. Про тензор Вейля я знаю пока только то, что он инвариантен относительно конформных преобразований метрики. Утверждение о связи растяжений тела с тензором Вейля кажется не очевидным. Еще я знаю о том, что тензор кривизны можно представить в виде суммы тензора Вейля и всех симм./антисимм. произведений метрического тензора с тензором Риччи. Учитывая известный геом.смысл тензора Риччи, наверное, можно сделать такой вывод. Но вообще-то надо доказать и по-хорошему хотелось бы видеть наиболее простые способы док-ва таких теорем.
Для тензоров нет аналога неприводимых представлений для групп? Вообще, я уверен, что мощные методы должны быть. Не верится как-то, что в 2015 г.такие вещи доказываются в компонентных записях.

[svv]

Kirill_Sal
У Хокинга на стр. 95 использовано полярное разложение матрицы. По этому названию, наверное, найдёте и доказательство существования такого разложения для любой квадратной матрицы.

[Munin]

Munin в сообщении #996231 писал(а):

Дальше. Вот есть у нас две линии сетки координат. Тензор Римана позволяет проследить, как они будут себя вести при сдвиге вдоль координат: сходиться или расходиться, закручиваться как-то вокруг, и т. п.

На самом деле, за этим позволяют следить ещё символы Кристоффеля, но они описывают линейное "поведение", а тензор Римана, будучи производными от символов Кристоффеля, - "второго порядка".

Kirill_Sal в сообщении #996245 писал(а):

Но вообще-то надо доказать и по-хорошему хотелось бы видеть наиболее простые способы док-ва таких теорем.

Попробуйте сунуться в книгу
Пенроуз. Путь к реальности.
Это огромный компендиум всей фундаментальной физики и соответствующей математики (~ 1000 стр. A4), по удивительным причинам продающийся в разделе "научно-популярная литература".

Kirill_Sal в сообщении #996245 писал(а):

Для тензоров нет аналога неприводимых представлений для групп? Вообще, я уверен, что мощные методы должны быть. Не верится как-то, что в 2015 г.такие вещи доказываются в компонентных записях.

Перейти от компонентной записи к бескоординатной - это одно дело (лёгкое). Построить общую теорию классификации - другое (более тяжёлое). Кажется, для тензора Римана есть только типы Петрова (у Пенроуза они рассмотрены). Если у вас есть идеи, как это сделать, дерзайте, и попробуйте доложиться на каком-нибудь семинаре, или здесь, может быть - и да сопутствует вам успех.

[Kirill_Sal]

У Пенроуза своеобразные взгляды на многие вещи. В научно-популярную ее записали, т.к.там мало формул. Но читать ее кому-то кроме ученых противопоказанно - крыша может поехать. Посмотрю некоторые главы на выходных. Сейчас больше увлечен статьями и книгой С.Хокинга.
Вообще идеи-то есть, аппарата для их правильной формулировки и реализации нету.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #996756 писал(а):

У Пенроуза своеобразные взгляды на многие вещи.

Это да, но книгу можно использовать как учебник. Особенно если сверять курс с другими учебниками.

Kirill_Sal в сообщении #996756 писал(а):

В научно-популярную ее записали, т.к.там мало формул.

??? Разве только "относительно текста". Вообще формул там полно.