Обнаружение бозона Хиггса

[Munin]

lek в сообщении #994212 писал(а):

Все же как ни крути, при замене $U(1)_{em}$ на $\mathbb{R}$ мы по-видимому "вылезаем" из $SU(2)\times U(1)_{Y}$

Нет, потому что "$\mathbb{R}_{em}$" (здесь индекс необходим! потому что речь идёт "не с точностью до изоморфизма") будет намотана на тор.

[lek]

Эту вашу аргументацию я понимаю. Действительно, компактная группа Ли может содержать некомпактные подгруппы и вы такой пример привели - $\mathbb{R}$ (иррациональная обмотка тора). Ввиду односвязности группы $SU(2)$ соответствие $u(1)\sim \mathbb{R}$ имеет место для всех $u(1)$ в $su(2)$, причем это соответствие взаимно-однозначное. Однако подалгебра $u_{em}$ не лежит в $su(2)$, поэтому и соответствующая ей односвязная группа не принадлежит $SU(2)$. Поскольку исходная группа $SU(2)\times U(1)_{Y}$ не односвязная, подгруппа $\mathbb{R}$, соответствующая $u_{em}$, не обязана находиться в $SU(2)\times U(1)_{Y}$.

[fizeg]

lek
Вы можете привести какой-нибудь другой пример? А то я плохо себе представляю, как с группы можно съехать. Ну т.е. сценарий $G\times H$, берем $g$ из алгебры Ли группы $G$ и $h$ из алгебры Ли группы $H$, после чего смотрим на группу порожденную $g+h$

-- 22.03.2015, 22:33 --

Скажу прямее, мне кажется вы ошибаетесь. Примерно также как я объяснял тогда, мы всегда можем представить элемент новой группы как $(e^{g\tau},e^{h\tau})\in G\times H$

-- 22.03.2015, 22:43 --

Ну хотя, вы можете полагать, что мы так можем продолжить только по универсальной накрывающей, но я как-то не пойму почему

[lek]

fizeg в сообщении #994260 писал(а):

Скажу прямее, мне кажется вы ошибаетесь.

Не исключено, контрпримера у меня нет. Впрочем думаю, что достаточно исследовать произведение $U(1)_{L}\times U(1)_{R}$.

fizeg в сообщении #994260 писал(а):

Ну хотя, вы можете полагать, что мы так можем продолжить только по универсальной накрывающей, но я как-то не пойму почему

Именно так, не вижу альтернативного подхода.

[fizeg]

Этот-то пример очевидно допускает продолжение и по неодносвязной - обмотка тора.

На самом деле, чтобы не заморачиваться со связностью даже не нужно рассматривать алгебру Ли. Надо просто взять любые компактные однопараметрические подгруппы в $G$ и $H$ и подобрав иррациональное соотношение скоростей движения по ним собрать однопараметрическую подгруппу в $G\times H$, которая не будет компактна

[lek]

fizeg в [url=http://dxdy\.ru/post994271.html#p994271]сообщении #994271[/url] писал(а):

Надо просто взять любые компактные однопараметрические подгруппы в $G$ и $H$ и подобрав иррациональное соотношение скоростей движения по ним собрать однопараметрическую подгруппу в $G\times H$, которая не будет компактна

То есть в одном случае мы получаем $\mathbb{R}$, а в другом - $U(1)$. И это определяется значениями коэффициентов в разложении $e''=\alpha e_{3}+\beta e_{0}$, т.е. условиями $\frac{\alpha}{\beta}\in\mathbb{Q}$ или $\frac{\alpha}{\beta}\notin\mathbb{Q}$, о которых говорил ранее Munin. Похоже, что все встало на место...

[Vlad51]

Munin в сообщении #993606 писал(а):

Ну, в таком виде это мне понятно, я надеялся какую-то физическую мотивацию увидеть, что природа именно такова, каковы 1, 3, 4

Так и я надеялся физическую мотивацию нарушения электрослабой симметрии увидеть, а не просто следствие из теории групп.
Вы как хотите а я продолжу сомневаться.

[Munin]

lek в сообщении #994247 писал(а):

Ввиду односвязности группы $SU(2)$ соответствие $u(1)\sim \mathbb{R}$ имеет место для всех $u(1)$ в $su(2)$, причем это соответствие взаимно-однозначное.

Не, не, не, вот в $\mathrm{SU}(2)$ наоборот: всегда $\mathrm{u}(1)\to\exp(\mathrm{u}(1))\sim\mathrm{U}(1).$ Это очевидно: на сфере все геодезические, проведённые из полюса, - большие круги.

lek в сообщении #994247 писал(а):

Поскольку исходная группа $SU(2)\times U(1)_{Y}$ не односвязная, подгруппа $\mathbb{R}$, соответствующая $u_{em}$, не обязана находиться в $SU(2)\times U(1)_{Y}$.

Вот это явная ошибка. Любая подгруппа находится в группе! Иначе и быть не может, ведь группа получена произведениями тех же элементов, плюс ещё каких-то. Но находиться она может по-разному, и плотная намотка тора - один из вариантов.

Vlad51 в сообщении #994333 писал(а):

Так и я надеялся физическую мотивацию нарушения электрослабой симметрии увидеть, а не просто следствие из теории групп. :D

Физическая мотивация заключена в "потенциале мексиканской шляпы". Теория групп всего лишь позволяет понять структуру полей этой шляпы.

Vlad51 в сообщении #994333 писал(а):

Вы как хотите а я продолжу сомневаться. :roll:

Ваши сомнения происходят из столь полного и всеобъемлющего незнания материала, что не волнуют.

[lek]

Munin в сообщении #994349 писал(а):

Вот это явная ошибка. Любая подгруппа находится в группе!

Это то понятно. Но я пытался построить $U(1)_{em}$ путем поднятия $SU(2)\times U(1)_{Y}$ до универсальной накрывающей, а затем факторизуя последнюю по $\mathbb{Z}$. Но не учел, что связная группа Ли порождается любой окрестностью единицы, что делает ненужным это построение. Так что вопрос для меня исчерпан, благодарю за обсуждение.

[Vlad51]

Munin в сообщении #994349 писал(а):

Ваши сомнения происходят из столь полного и всеобъемлющего незнания материала, что не волнуют.

Ну если не волнует, тогда такой вопрос. Позволяет ли мат.аппарат дать представление об общей симметрии взаимодействий и их разделении на 4 известных нам вида? (Не обязательно к вам, может ещё кто то ответит).

-- 23.03.2015, 11:56 --

fizeg в сообщении #993300 писал(а):

Есть модели Великого объединения, в которых электрослабое и сильное объединяются в некоторую более фундаментальную конструкцию, но таких есть несколько вариантов и пока это все-таки спекуляции.

(Я имею в виду эту информацию одного из участников обсуждения.) (fizeg)

-- 23.03.2015, 12:13 --

Munin в сообщении #994349 писал(а):

Физическая мотивация заключена в "потенциале мексиканской шляпы".

То есть тот "ложный вакуум" в котором мы сейчас находимся, благополучно сможет существовать и дальше и пузырь истинного случайно не возникнет (как это произошло со спонтанным нарушением электрослабой симметрии)? Хотелось бы надеяться на лучшее.

[Munin]

lek в сообщении #994396 писал(а):

Но я пытался построить $U(1)_{em}$ путем поднятия $SU(2)\times U(1)_{Y}$ до универсальной накрывающей

А, ну вот именно этого вы вслух и не произнесли, и тогда это стало ошибкой.

Давайте посмотрим, что такое универсальная накрывающая $\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{U}(1).$ Как я понимаю, подгруппа $\mathrm{SU}(2)$ уже совпадает со своей универсальной накрывающей (если бы она была, скажем, $\mathrm{SO}(3),$ то расширялась бы до $\mathrm{SU}(2)$). А для $\mathrm{U}(1)$ универсальная накрывающая - как раз $\mathbb{R}.$ То есть, получаем $\mathrm{SU}(2)\times\mathbb{R}.$ Так?

Зачем её факторизовать по $\mathbb{Z},$ не понимаю. Получится опять обратно $\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{U}(1)$... а-а-а, нет! Факторизовать же можно и "наискосок"! Получится "перекрученная" группа, что-то типа $\mathrm{SU}(2)\rtimes\mathrm{U}(1)$ (или всё-таки наоборот?).

Довольно странно. Кажется, я таких групп не встречал вообще в физике, в обсуждении калибровочных полей, ну по крайней мере по базовым книжкам. Это вообще бывает? Или чем-то физическим запрещено? И если бывает, есть ли в этом особый смысл?

----------------

Vlad51 в сообщении #994408 писал(а):

Позволяет ли мат.аппарат дать представление об общей симметрии взаимодействий и их разделении на 4 известных нам вида? (Не обязательно к вам, может ещё кто то ответит).

Позволяет, но - неоднозначное.

Vlad51 в сообщении #994408 писал(а):

То есть тот "ложный вакуум" в котором мы сейчас находимся, благополучно сможет существовать и дальше и пузырь истинного случайно не возникнет (как это произошло со спонтанным нарушением электрослабой симметрии)? Хотелось бы надеяться на лучшее.

Нет, считается (по базовым представлениям), что мы-то сейчас находимся уже в истинном вакууме. А ложный был до нарушения симметрии.

[Vlad51]

Munin в сообщении #994760 писал(а):

Позволяет, но - неоднозначное.

Я так понимаю, что сам по себе матаппарат конкретной идеи в плане единства взаимодействий(общей симметрии) не содержит.

[lek]

Munin в сообщении #994760 писал(а):

Зачем её факторизовать по $\mathbb{Z},$ не понимаю. Получится опять обратно $\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{U}(1)$... а-а-а, нет! Факторизовать же можно и "наискосок"! Получится "перекрученная" группа, что-то типа $\mathrm{SU}(2)\rtimes\mathrm{U}(1)$ (или всё-таки наоборот?).

Получится $SU(2)\times U(1)_{Y}$, но дело не в этом. Есть стандартная схема построения связной группы Ли по ее алгебре Ли (алгебра Ли -> локальная группа Ли -> глобальная односвязная группа Ли -> глобальная связная группа Ли) и я пытался ей следовать: $u(1)_{em}\in su(2)\times u(1)_{Y}\to SU(2)\times\mathbb{R}\to SU(2)\times U(1)_{Y}\ni U(1)_{em}$.

[Vlad51]

Munin в сообщении #994760 писал(а):

Нет, считается (по базовым представлениям), что мы-то сейчас находимся уже в истинном вакууме. А ложный был до нарушения симметрии.

Ну да так логичнее. Спасибо за информацию. Будем пока надеяться на "потенциал мексиканской шляпы".

[Munin]

lek в сообщении #994796 писал(а):

Есть стандартная схема построения связной группы Ли по ее алгебре Ли (алгебра Ли -> локальная группа Ли -> глобальная односвязная группа Ли -> глобальная связная группа Ли)

Ну и что, разве не получится $\mathrm{SU}(2)\rtimes\mathrm{U}(1)$? Или нет, постойте... неужели $\mathrm{SU}(2)\rtimes\mathrm{U}(1)\sim\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{U}(1)$???

lek в сообщении #994796 писал(а):

и я пытался ей следовать

Да, это другой подход к рассуждениям, чем у меня. Не знаю, как ему научиться. Вы по каким учебникам учились этим премудростям?

-- 24.03.2015 01:18:33 --

Vlad51 в сообщении #994802 писал(а):

Ну да так логичнее. Спасибо за информацию.

Ну вот чего стоит открыть и прочитать учебник...