2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Обнаружение бозона Хиггса
Сообщение22.03.2015, 14:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
874
Откровенно говоря, такие рассуждения (с привлечением тора, сферы, вращений и витков) кажутся мне "дикими". Имхо, ситуация же с подгруппами $U(1)_{Y}$ и $U(1)_{e}$ предельно ясная и решается элементарно:

1. Построенная выше подалгебра $u(1)_{e}$ не пересекается с $u(1)_{Y}$ (т.к. они одномерны и $e_{0}\ne \alpha e''$, для $\alpha\in\mathbb{R}$) и изоморфна последней (т.к. $e''$ - унитарная матрица).

2. Обозначим символом $U(1)_{e}$ односвязную (глобальную) подгруппу в $SU(2)\times U(1)_{Y}$, порожденную $u(1)_{e}$. Поскольку всякий изоморфизм алгебр Ли однозначно продолжается до изоморфизма соответствующих односвязных групп Ли, группа $U(1)_{e}$ изоморфна $U(1)_{Y}$ (и пересекается с ней по 1).

Единственным ограничением на значение $\theta$ является условие $\theta\ne k\pi$, где $k\in\mathbb{Z}$. Если оно не выполняется, то группы $U(1)_{e}$ и $U(1)_{Y}$ совпадают. Условия же, что вы написали в начале предыдущего сообщения выделяют среди всех подгрупп вида $U(1)_{e}$ ту, что фиксируется условием $\tg\theta=g'/g$ и только.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обнаружение бозона Хиггса
Сообщение22.03.2015, 14:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Geen в сообщении #994007 писал(а):
Например, "хороших" намоток на тор, как кажется, должно быть счётное число...

Да, я это упомянул, про "бесконечно много подгрупп, совершающих соответственно $m$ и $n$ витков".

Правда, как мне сейчас показалось по прикидке, это ненаблюдаемо. Любую "$(m,n)$-витковую" подгруппу мы можем представить как $(1,1)$-витковую, просто поменяв константу $g'$ в $\tfrac{n}{m}$ раз. Это нам позволено тем, что группа $\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{U}(1)$ есть прямое произведение.

Отличие будет только в том случае, если мы каким-то образом измеряем площадь всего тора (то есть, фактическую длину его обеих окружностей). А это в КТП, кажется, происходит только при интегрировании по всем импульсам, и всегда даёт бесконечность - пока не совершают какой-нибудь регуляризации или обрезания. То есть, на это нам начихать. Наблюдаемые величины от этого интеграла всегда будут не зависеть.

-- 22.03.2015 14:22:24 --

lek в сообщении #994025 писал(а):
Откровенно говоря, такие рассуждения (с привлечением тора, сферы, вращений и витков) кажутся мне "дикими".

Они геометрические. Мне кажется, если вы не видите геометрии задачи (геометрии группы, как минимум), это вы чего-то недоулавливаете.

-- 22.03.2015 14:33:48 --

lek в сообщении #994025 писал(а):
2. Обозначим символом $U(1)_{e}$ односвязную (глобальную) подгруппу в $SU(2)\times U(1)_{Y}$, порожденную $u(1)_{e}$.

Вот в этом месте у вас "хромота". Не всякая одномерная подалгебра порождает подгруппу, изоморфную $\mathrm{U}(1).$ По сути, одномерных групп Ли две штуки: компактная $\mathrm{U}(1)$ и некомпактная $\mathrm{R}.$ Их алгебры Ли - совпадают (аналогично тому, как совпадают алгебры Ли групп $\mathrm{SU}(2)$ и $\mathrm{SO}(3)$), и поэтому по алгебре (одномерная подалгебра) нельзя восстановить группу однозначно.

lek в сообщении #994025 писал(а):
Поскольку всякий изоморфизм алгебр Ли однозначно продолжается до изоморфизма соответствующих односвязных групп Ли

Да, но $\mathrm{U}(1)$ неодносвязна! Это кольцо! Его число Бетти $\beta_1=\operatorname{rank}H_1$ единичка!

И самое главное, на группу, порождаемую алгеброй Ли, априорно не наложено никаких ограничений по связности. Группа, порождённая $\mathrm{u}(1)_{Y},$ может топологически отличаться от группы, порождённой $\mathrm{u}(1)_{e}$ - никаких запретов на это нет.

lek в сообщении #994025 писал(а):
Единственным ограничением на значение $\theta$ является условие $\theta\ne k\pi$, где $k\in\mathbb{Z}$.

Ну, если строго математически, то повторяю, $\ctg\theta=\tfrac{g}{g'}q,$ где $q\in\mathbb{Q},$ то есть возможные значения углов все рациональны. Но это, естественно, иррелевантно для физики, поскольку никакое измерение не может отличить рационального числа от близкого к нему иррационального.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обнаружение бозона Хиггса
Сообщение22.03.2015, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
874
Munin в сообщении #994030 писал(а):
Они геометрические.

Sorry, но мне они напоминают "шестеренки Максвелла" :D .

 Профиль  
                  
 
 Re: Обнаружение бозона Хиггса
Сообщение22.03.2015, 14:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Простите, вы не считаете, что группа Ли есть гладкое многообразие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обнаружение бозона Хиггса
Сообщение22.03.2015, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
874
Munin в сообщении #994030 писал(а):
Да, но $\mathrm{U}(1)$ неодносвязна! Это кольцо! Его число Бетти $\beta_1=\operatorname{rank}H_1$ единичка!

По определению, группа $U(1)=\{\exp(i\alpha)\mid\alpha\in\mathbb{R}\}$. Это окружность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обнаружение бозона Хиггса
Сообщение22.03.2015, 15:09 
Заслуженный участник


25/12/11
750
Я совсем по рабоче-крестьянски скажу в общем-то тоже самое, что и Munin.

По построению у нас калибровочная группа электромагнетизма порождается генератором $U(1)_Y$ плюс одним из генераторов (обычно $T_3$) у $SU(2)_L$. Забудем на секунду про $U(1)_Y$. Этот наш генератор $T_3$ породит $U(1)$ подгруппу $SU(2)$, назову ее $U(1)_3$.

В сумме же как эти генераторы работают. У нас получается два колечка - $U(1)_Y$ и $U(1)_3$, по которым мы одновременно двигаемся. Если я возвращаюсь в исходную точку на $U(1)_Y$, это совершенно не означает, что я не окажусь где-нибудь посередине пути на $U(1)_3$. В итоге вообще говоря они не обязаны когда-либо приходить туда одновременно - порожденная ими вместе группа вообще говоря будет некомпактна. Все зависит от того, как соотносятся скорости движения по этим колечкам, т.е. от соотношения коэффициентов при генераторах в сумме (то, что как раз задает угол смешивания), которые равны некоторому коэффициенту умножить на произвольное рациональное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обнаружение бозона Хиггса
Сообщение22.03.2015, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
874
Эта картинка понятна, но какое она имеет отношение к калибровочной группе электромагнетизма $U(1)_{em}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обнаружение бозона Хиггса
Сообщение22.03.2015, 15:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Фраза
означает именно движение по подгруппе $\mathrm{U}(1)_{em}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обнаружение бозона Хиггса
Сообщение22.03.2015, 15:41 
Заслуженный участник


25/12/11
750
...про которую мы и не знаем еще $U(1)$ это или $\mathbb{R}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обнаружение бозона Хиггса
Сообщение22.03.2015, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Я где-то на предыдущей странице post993480.html#p993480 произнёс спросонок глупую формулировку: будто бы "$\mathrm{U}(1)_{em}$ вообще не подгруппа". Возможно, это сбило с толку, и теперь отвлекает. Хочу пояснить. Это подгруппа, я это понял, и согласился, уже на середине прошлой страницы. (Потому что вообще любое подпространство алгебры Ли экспоненцированием порождает подгруппу.) Но это какая-то подгруппа $H_{em}.$ Права на обозначение $\mathrm{U}(1)_{em}$ она ещё не заслужила, потому что такое обозначение гласит, что она изоморфна $\mathrm{U}(1).$ А вот в этом изоморфизме и был по-настоящему мой вопрос, который я как раз спросонок не смог чётко сформулировать. - С тех пор я уже нашёл ответ на свой вопрос, и хочу только донести до lek, что и вопрос правомерен, и ответ нетривиален.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обнаружение бозона Хиггса
Сообщение22.03.2015, 15:48 
Заслуженный участник


25/12/11
750
Мне, если честно, в данном вопросе непонятно одно. Пусть калибровочная группа не $U(1)$, а $\mathbb{R}$. В чем будет отличие в физике?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обнаружение бозона Хиггса
Сообщение22.03.2015, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
874
Задаю себе тот же вопрос...

 Профиль  
                  
 
 Re: Обнаружение бозона Хиггса
Сообщение22.03.2015, 16:52 
Заслуженный участник


25/12/11
750
В общем я кумекаю так. Если преобразование $U(1)$, то у нас должно выполняться $e^{i\varphi\hat{\tau}}=e^{i(\varphi+2\pi)\hat{\tau}}$. Казалось бы это накладывает на представления фермионов вполне четкое условие, они должны преобразовываться как $e^{in\varphi}$, где $n\in\mathbb{N}$. Таким образом, это накладывает условие квантования заряда. Как минимум в этом случае допустимо только $q_1/q_2\in\mathbb{Q}$

Но постоянную фазу у фермионов я могу съесть всегда за счет глобальной симметрии, что как будто бы убивает предыдущий аргумент для гладких калибровочных преобразований. Поэтому реальная разница должна быть для преобразований вида $e^{2in(x)\pi}$, $n:\mathbb{R}^4\mapsto\mathbb{N}$, которые ведут вообще говоря к добавлению $A_\mu$ обобщенной функции жуткого вида (или по крайней мере $\delta$-функции, если взять $e^{2i\theta(x)\pi}$). Однако с точки зрения компактной группы такая добавка к $A_\mu$ фиктивна и должна уйти, в отличии от некомпактной группы.

Ведет ли это к каким-либо реально проверяемым следствиям? Не думаю. Так что если только компактность не будет следовать из ее происхождения (например за счет спонтанного нарушения какой-нибудь GUT группы) вряд ли это будет играть роль

-- 22.03.2015, 18:33 --

(Оффтоп)

Думал уделить некоторое время топикстартеру... но... Не могу! Выше моих сил это!!! :facepalm: :facepalm: :facepalm: Если какой святой будет готов этим заняться, помощи в этом от меня не ждите

 Профиль  
                  
 
 Re: Обнаружение бозона Хиггса
Сообщение22.03.2015, 19:05 
Заслуженный участник


25/12/11
750
fizeg в сообщении #994119 писал(а):
Поэтому реальная разница должна быть для преобразований вида $e^{2in(x)\pi}$, $n:\mathbb{R}^4\mapsto\mathbb{N}$, которые ведут вообще говоря к добавлению $A_\mu$ обобщенной функции жуткого вида (или по крайней мере $\delta$-функции, если взять $e^{2i\theta(x)\pi}$). Однако с точки зрения компактной группы такая добавка к $A_\mu$ фиктивна и должна уйти, в отличии от некомпактной группы.

Поясню, что я имею в виду - надо взять НЕпреобразованные фермионные поля и преобразованные векторные. В некомпактном случае добавку к векторному поля не убрать калибровкой, не испортив фермионные поля

 Профиль  
                  
 
 Re: Обнаружение бозона Хиггса
Сообщение22.03.2015, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
874

(Оффтоп)

Все же как ни крути, при замене $U(1)_{em}$ на $\mathbb{R}$ мы по-видимому "вылезаем" из $SU(2)\times U(1)_{Y}$ (ввиду неодносвязности $U(1)_{Y}$ и односвязности $\mathbb{R}$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 77 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group