Проблема 233

[maxal]

victor.l в сообщении #990552 писал(а):

Например $x=181,x=35113,x=1321442641$ и т.д.

Вы пропустили $13$, $2521$ и т.п. -- см. A001570.

[grizzly]

maxal в сообщении #990924 писал(а):

Вы пропустили $13$, $2521$

discoverer в сообщении #990012 писал(а):

$13^2+7^3=8^3$
...
$2521^2+1455^3=1456^3$

[victor.l]

А подряд и не писал. Использовал $(2^2-3)^n$ при$ n=2, n=4, n=8$ а за мной $n=9$ использовали.

[Andrey A]

Для произвольных вз. простых $b,c$ однозначно определены свободное от квадратов $d$ и $a$ такие, что $b^3-c^3=da^2.$ Тогда $x=ad^2r^3;\ y=cdr^2$ и $z=bdr^2$ – общее решение ур-я $x^2+y^3=z^3$

Можно так еще:
$x=\frac{3pq(p^4+3q^4)}{4};\ y=\left( \frac{p^2-3q^2}{2}\right)^2-3q^4;\ z=\left( \frac{p^2+3q^2}{2}\right)^2-3q^4.$
$(p,q)$ - нечетные.

[victor.l]

Если имеется произвольное решение $a^2-3y^2=n^2$ в натуральных взаимно простых числах, то рассчитать $x$ для случая $x^2=z^3-y^3$ в натуральных числах можно по $x=n(b^2+b(a+b)+(a+b)^2)$ независимо ,имеется предыдущее значение $x$ или нет, или его совсем не имеется.

[Sonic86]

(Оффтоп)

victor.l в сообщении #992192 писал(а):

Если имеется произвольное решение $a^2-3y^2=n^2$ в натуральных взаимно простых числах

Это, кстати, целиком решается методом секущих.

[victor.l]

Предпочитаю теорию форм.

[victor.l]

Почитал что мне предлагали по поводу решений и не понял на что народ время тратит.

[victor.l]

Если уж квалифицировать решения, то надо было по принципу, отдельно для случаев для уравнения $x^2=z^3-y^3$ где в натуральны целых взаимно простых числах $x+y=n^2, x-y=n^2, x+y=3n^2, x-y=3n^2$ потому как такие уравнения несколько иначе решаются.