2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Проблема 233
Сообщение14.03.2015, 00:07 


21/01/14
21
Существует уравнение вида $x^2+y^3=z^3$, для которого находятся наборы из трех чисел, делающих его решаемым в целых числах:

$13^2+7^3=8^3$
$181^2+104^3=105^3$
$2521^2+1455^3=1456^3$
…….
Количество этих троек бесконечно и они вычисляются по определенной формуле. Что об этом знает математика?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема 233
Сообщение14.03.2015, 19:16 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5241
У вас показатель 2 взаимно прост с остальными. Это частный случай более общего утверждения, описанного в книжке Серпинского - см. post435431.html#p435431

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема 233
Сообщение14.03.2015, 20:02 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
maxal
Насколько я понял, ограничения на $a_i$ не позволяют в качестве первой переменной в теореме взять $x$, так как тогда $a_2+a_3=0$. А при любом другом выборе "ведущей" переменной не выполняются условия на взаимную простоту степеней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема 233
Сообщение14.03.2015, 20:25 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5241
Тогда по более общему утверждению, описанному в той же теме, можно получить, например, такое бесконечное множество решений ($a,b$ - произвольные целые числа):
$$
\begin{cases}
x=(a^3 - b^3)^2,\\
y=b\cdot (a^3-b^3),\\
z=a\cdot (a^3-b^3).
\end{cases}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема 233
Сообщение15.03.2015, 09:21 


29/10/11
67
А как посчитать $x$ если $z-y=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема 233
Сообщение15.03.2015, 10:26 


29/10/11
67
Например $x=181,x=35113,x=1321442641$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема 233
Сообщение15.03.2015, 11:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Очень просто: строятся из первого решения $\{x,y\}=\{1,0\}$ по формуле $\begin{cases}x\to7x+12y+6\\ y\to4x+7y+3\end{cases}$
Следующий икс после $1\,321\,442\,641$ будет $18\,405\,321\,661$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема 233
Сообщение15.03.2015, 16:42 


29/10/11
67
А я уравнение Пелля вида $x^2-3y^2=1$ использовал. В принципе любое такое уравнение аналогично решается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема 233
Сообщение15.03.2015, 17:34 
Заслуженный участник


08/04/08
8417

(малосодержательный оффтоп)

Некоторое частное решение уравнения $x^2=z^3-y^3$ описывается соотношениями $z-y=c^2,z^2+zy+y^2=d^2$. 2-е уравнение легко решается методом секущих, и, если у в формулах его решения отбросить однородную константу (так, чтобы $x,y$ выражались квадратичными формами от 2-х параметров), то оставшееся уравнение $z-y=c^2$ тоже однородно и тоже легко решается методом секущих. В результате получим серию решений, описываемых полиномами 4-й степени.
Писать лень, ибо решение необщее, а выписать его может каждый (ну только если кто-нибудь сильно попросит, в чем я сомневаюсь). Решение maxal в этом плане даже проще.
Интересно, как его решать?
Понадобятся ли здесь эллиптические кривые (при $y=1$ имеем как раз эллиптическую кривую)?

discoverer в сообщении #990012 писал(а):
Проблема 233
А почему не 379? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема 233
Сообщение15.03.2015, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4894
Sonic86 в сообщении #990712 писал(а):
А почему не 379?

Думаю потому, что в этом примере нет ни седьмых степеней, ни девятых :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема 233
Сообщение15.03.2015, 20:17 


21/01/14
21
Проблема 233, потому что разность $z^3-y^3$ для $z-y=1$ может быть только $x^2$, в то время как разность $z^2-y^2$ также для $z-y=1$ дает $x$ в любой степени. Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема 233
Сообщение15.03.2015, 20:32 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5241
discoverer в сообщении #990771 писал(а):
разность $z^3-y^3$ для $z-y=1$ может быть только $x^2$,

Кто вам это сказал? Можно увидеть доказателтьство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема 233
Сообщение15.03.2015, 21:23 


21/01/14
21
В этом-то и проблема что и доказательства пока нет, и $x$ в степени больше чем 2 для указанного случая не найден. Если я не прав, буду очень счастлив увидеть его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема 233
Сообщение15.03.2015, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
victor.l в сообщении #990687 писал(а):
А я уравнение Пелля вида $x^2-3y^2=1$ использовал.
Я полагаю, ИСН тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема 233
Сообщение16.03.2015, 00:16 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5241
discoverer в сообщении #990795 писал(а):
В этом-то и проблема что и доказательства пока нет, и $x$ в степени больше чем 2 для указанного случая не найден. Если я не прав, буду очень счастлив увидеть его.

Я буду тоже счастлив его увидеть, тем более, что он опровергает гипотезу Била и за него миллион долларов дают. :D
Но то, что такой пример не нашли, ещё не значит, что его не существует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group