Проблема 233

[discoverer]

Существует уравнение вида $x^2+y^3=z^3$, для которого находятся наборы из трех чисел, делающих его решаемым в целых числах:

$13^2+7^3=8^3$
$181^2+104^3=105^3$
$2521^2+1455^3=1456^3$
…….
Количество этих троек бесконечно и они вычисляются по определенной формуле. Что об этом знает математика?

[maxal]

У вас показатель 2 взаимно прост с остальными. Это частный случай более общего утверждения, описанного в книжке Серпинского - см. post435431.html#p435431

[NSKuber]

maxal
Насколько я понял, ограничения на $a_i$ не позволяют в качестве первой переменной в теореме взять $x$, так как тогда $a_2+a_3=0$. А при любом другом выборе "ведущей" переменной не выполняются условия на взаимную простоту степеней.

[maxal]

Тогда по более общему утверждению, описанному в той же теме, можно получить, например, такое бесконечное множество решений ($a,b$ - произвольные целые числа):

$$ \begin{cases} x=(a^3 - b^3)^2,\\ y=b\cdot (a^3-b^3),\\ z=a\cdot (a^3-b^3). \end{cases} $$

[victor.l]

А как посчитать $x$ если $z-y=1$.

[victor.l]

Например $x=181,x=35113,x=1321442641$ и т.д.

[ИСН]

Очень просто: строятся из первого решения $\{x,y\}=\{1,0\}$ по формуле $\begin{cases}x\to7x+12y+6\\ y\to4x+7y+3\end{cases}$
Следующий икс после $1\,321\,442\,641$ будет $18\,405\,321\,661$.

[victor.l]

А я уравнение Пелля вида $x^2-3y^2=1$ использовал. В принципе любое такое уравнение аналогично решается.

[Sonic86]

(малосодержательный оффтоп)

Некоторое частное решение уравнения $x^2=z^3-y^3$ описывается соотношениями $z-y=c^2,z^2+zy+y^2=d^2$. 2-е уравнение легко решается методом секущих, и, если у в формулах его решения отбросить однородную константу (так, чтобы $x,y$ выражались квадратичными формами от 2-х параметров), то оставшееся уравнение $z-y=c^2$ тоже однородно и тоже легко решается методом секущих. В результате получим серию решений, описываемых полиномами 4-й степени.
Писать лень, ибо решение необщее, а выписать его может каждый (ну только если кто-нибудь сильно попросит, в чем я сомневаюсь). Решение maxal в этом плане даже проще.
Интересно, как его решать?
Понадобятся ли здесь эллиптические кривые (при $y=1$ имеем как раз эллиптическую кривую)?

discoverer в сообщении #990012 писал(а):

Проблема 233

А почему не 379?

[grizzly]

Sonic86 в сообщении #990712 писал(а):

А почему не 379?

Думаю потому, что в этом примере нет ни седьмых степеней, ни девятых :)

[discoverer]

Проблема 233, потому что разность $z^3-y^3$ для $z-y=1$ может быть только $x^2$, в то время как разность $z^2-y^2$ также для $z-y=1$ дает $x$ в любой степени. Почему?

[maxal]

discoverer в сообщении #990771 писал(а):

разность $z^3-y^3$ для $z-y=1$ может быть только $x^2$,

Кто вам это сказал? Можно увидеть доказателтьство?

[discoverer]

В этом-то и проблема что и доказательства пока нет, и $x$ в степени больше чем 2 для указанного случая не найден. Если я не прав, буду очень счастлив увидеть его.

[ex-math]

victor.l в сообщении #990687 писал(а):

А я уравнение Пелля вида $x^2-3y^2=1$ использовал.

Я полагаю, ИСН тоже.

[maxal]

discoverer в сообщении #990795 писал(а):

В этом-то и проблема что и доказательства пока нет, и $x$ в степени больше чем 2 для указанного случая не найден. Если я не прав, буду очень счастлив увидеть его.

Я буду тоже счастлив его увидеть, тем более, что он опровергает гипотезу Била и за него миллион долларов дают.
Но то, что такой пример не нашли, ещё не значит, что его не существует.