Сжимающее отображение

[HenryDukart]

Нужно определить, при каких $\lambda$ отображение $F(x) = \lambda\int_{0}^{\pi}\sin{(t-2s)}x(s)ds + \cos{(2t)}$ будет сжимающим в пространстве $C[0, \pi]$.

Вот как я делал:
$\max_{0\leqslant t \leqslant \pi}\left | F(x)-F(y) \right |= \max_{0\leqslant t \leqslant \pi}\left | \lambda \int_{0}^{\pi}\sin{(t-2s)}\left ( x(s)-y(s) \right )ds \right | \leqslant $
$\leqslant\left | \lambda \right | \int_{0}^{\pi}\left | \sin{(t-2s)} \right |\max_{0 \leqslant t \leqslant \pi} \left | x(s) - y(s) \right| ds \leqslant \frac{1}{2} \left | \lambda \right | \max_{0 \leqslant t \leqslant \pi} \left | \cos{(2\pi-t)} - \cos{t} \right | \left \| x-y \right \| = $
$=0$

Где могла быть допущена ошибка, помогите пожалуйста. Делал еще так: раскрыл синус суммы по формуле, получил максиму разности двух интегралов. Оценил их суммой максимумов интегралов сверху. Все равно получил 0.

Вот еще вариант, но не будет ли он слишком грубым:
$\max_{0\leqslant t \leqslant \pi}\left | F(x)-F(y) \right |= \max_{0\leqslant t \leqslant \pi}\left | \lambda \int_{0}^{\pi}\sin{(t-2s)}\left ( x(s)-y(s) \right )ds \right | \leqslant $
$\leqslant \left [\left |\sin{(t-2s)\left ( x(s)-y(s) \right ) \right |\leqslant \left | x(s)-y(s) \right \right |] \leqslant \left | \lambda \right |\left \| x(s)-y(s) \right \|$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Otta]

Во-первых, отнеситесь внимательнее к аргументу, по которому считаете максимум. А то

HenryDukart в сообщении #991200 писал(а):

$\max_{0 \leqslant t \leqslant \pi} \left | x(s) - y(s) \right|=\left \| x-y \right \|$

выглядит странно.
Ну и Вам не кажется странным, что интеграл от функции, которая практически везде положительна, нулевой?

[HenryDukart]

Otta в сообщении #991305 писал(а):

Во-первых, отнеситесь внимательнее к аргументу, по которому считаете максимум. А то

HenryDukart в сообщении #991200 писал(а):

$\max_{0 \leqslant t \leqslant \pi} \left | x(s) - y(s) \right|=\left \| x-y \right \|$

выглядит странно.

Спасибо, буду внимательнее.

Да, кажется странным, но я не могу понять, где просчитался.

[Otta]

HenryDukart в сообщении #991309 писал(а):

Да, кажется странным, но я не могу понять, где просчитался.

Трудно сказать, Вы не написали, как считали. А то, что написали - это неверно. С чего Вы решили, что интеграл от модуля это модуль интеграла?

Вас должны были учить, как бороться с модулями. Всегда стандартно - раскрываем и считаем. Здесь лучше график сперва построить для (модуля) Вашего синуса и смотреть на него.

[HenryDukart]

Otta, а в последнем варианте нету ошибки?

[Otta]

Это действительно очень грубо. Вы синус на всем отрезке заменяете единицей. У Вас, фактически, получается, константа. Которую Вы впридачу забыли проинтегрировать и за счет этого потеряли множитель. В общем, при таком подходе (при верном его исполнении) Вы сможете найти какие-то значения $\lambda$, для которых отображение будет сжимающим, но ничего не сможете сказать обо всех остальных значениях.

И еще раз: внимательно переходите к максимумам, у Вас много косяков из-за небрежности в этом.

[HenryDukart]

Otta, спасибо. Завтра буду пытаться что-то сделать с первым вариантом.

-- 17.03.2015, 01:36 --

Otta в сообщении #991315 писал(а):

заменяете единицей. У Вас, фактически, получается, константа. Которую Вы впридачу забыли проинтегрировать и за счет этого потеряли множитель.

Тут я недопонял, про какую константу Вы говорите. Ведь я делал так:
$f(x) \leqslant g(x) \Rightarrow \int_{0}^{\pi}f(s)ds \leqlsant \int_{0}^{\pi}g(s)ds=\int_{0}^{\pi}\left | x(s)-y(s) \right |ds=\left \| x-y \right \|$

[Otta]

(Оффтоп)

Формулу поправьте, плохо набрано.

Вот. И с чего вдруг это равно норме в $C[0,\pi]$?

Я правильно понимаю, что Ваше $F$ из $C[0,\pi]$ в себя (раз уж присутствует умолчание)?

[HenryDukart]

Да, само в себя, в непрерывные с нормой максимума. Я потерял внимание. Спасибо

[ewert]

HenryDukart, Вы слишком бессознательно относитесь к делу. Совершенно ни к чему кустарно гонять неравенства с разностями туда-сюда. У Вас ведь линейный интегральный оператор, и всё, что Вам нужно -- найти его норму, не более и не менее. Между тем именно в пространстве $C([a;b])$ для нормы интегрального оператора есть вполне явная формула; Вы её в курсе?...

-- Вт мар 17, 2015 11:55:09 --

Otta в сообщении #991312 писал(а):

как бороться с модулями. Всегда стандартно - раскрываем и считаем.

Всегда можно, но не всегда нужно. Вот как раз здесь честно раскрывать невыгодно, учитывая, что интегрирование ведётся по периоду (наверное, именно для этого в условие и двойка вставлена -- чтобы периодичность уж совсем размаскировать).

[Otta]

ewert в сообщении #991392 писал(а):

Всегда можно, но не всегда нужно. Вот как раз здесь честно раскрывать невыгодно, учитывая, что интегрирование ведётся по периоду (наверное, именно для этого в условие и двойка вставлена

Многие грабли лучше почувствовать самому.

[HenryDukart]

ewert в сообщении #991392 писал(а):

HenryDukart Между тем именно в пространстве $C([a;b])$ для нормы интегрального оператора есть вполне явная формула; Вы её в курсе?...

Если вы про $\int_{a}^{a}x(t)dt \leqslant \max_{a \leqslant t \leqslant b} \left | x(t) \right |(b-a)$, то я знаю тоже.

[Otta]

Нет, ewert не про это. Но если Вы не знаете нормы интегрального оператора, ничего страшного не произойдет при ее самостоятельном подсчете. Вы этим, фактически, и занимаетесь. По крайней мере, Вы не сможете без этого обойтись - в Вашем частном случае.