Сжимающее отображение

[HenryDukart]

Otta, вот, что я сделал сегодня. Кажется, что результат верный.

$\max_{0 \leqslant t \leqslant \pi} \left | \lambda \int_{0}^{\pi} \sin{(t-2s)} \left (x(s)-y(s) \right )ds \right | \leqslant$
[неравенство Коши-Буняковского]
$\leqslant \left | \lambda \right |\max_{0 \leqslant t \leqslant \pi}\left ( \sqrt{\int_{0}^{\pi}\sin^2{(t-2s)}ds} \sqrt{\int_{0}^{\pi}\left (x(s)-y(s) \right )^2ds} \right ) \leqslant$
$\leqslant \left | \lambda \right |\max_{0 \leqslant t \leqslant \pi}\left ( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\left ( \max_{0 \leqslant s \leqslant \pi}\left |x(s)-y(s)\right | \right )^2 \pi}\right ) = \left | \lambda \right | \frac{\pi}{\sqrt{2}}\left \| x-y \right \|$

[Otta]

HenryDukart в сообщении #991544 писал(а):

Кажется, что результат верный.

Нет. Эта оценка слишком грубая.

Ваша самая первая попытка была лучше всего - из имеющегося, - только доведите ее до ума.

[HenryDukart]

Otta в сообщении #991548 писал(а):

Ваша самая первая попытка была лучше всего - из имеющегося, - только доведите ее до ума.

То есть вы советуете расписать синус разности и проинтегрировать, раскрыв модули?

[Otta]

Дык я уже один раз посоветовала, надо еще раз? Пожалуйста, советую еще раз. Или, если видите как, воспользуйтесь советом ewert про период. (Правда, естественный путь развития - наинтегрироваться вдосталь, чтобы такие советы перестали быть нужны. Имхо.)

[HenryDukart]

Otta, в первом варианте, мне кажется, я сделал лихую оценку:
$\max_{t} \left | \int_{0}^{\pi} \lambda \sin{(t-2s)} \left( x(s)-y(s) \right)ds \right | \leqslant |\lambda| \int_{0}^{\pi}\max_{t}\left |\sin{(t-2s)} \right | \max_{s}\left |x(s)-y(s) \right |ds$

Верна ли она?

[Otta]

Она верна, но Вы ее уже делали. Это была попытка номер два в этом топике.
Попробуйте пока не писать внешний максимум, такое впечатление, что он Вам мешает. Потом перейдете.

[ewert]

HenryDukart в сообщении #991544 писал(а):

[неравенство Коши-Буняковского]

[здесь совершенно неприлично]. Должны же Вы понимать, что гильбертовость в отсутствие гильбертовости (а Цэ не она ни разу) -- совсем уж не пришей кобыле хвост.

-- Ср мар 18, 2015 01:12:14 --

HenryDukart в сообщении #991624 писал(а):

Верна ли она?

Верна, но вредна. Максимум сумм, конечно, не превосходит суммы максимумов; однако надеяться на то, что такая оценка будет хоть сколько-то точной -- мягко говоря, наивно. Вам же нужна оценка именно точная.

[HenryDukart]

ewert, спасибо за замечание о неприменимости формулы Коши-Буняковского.
Тогда вот я сделал то, на что указывала Otta:

$|\lambda|\left \| x-y \right \|\max_{t}\int_{0}^{\pi}\left| \sin{(t-2s)}\right|ds =$
$=\| x-y \right \|\max_{t}\int_{0}^{\pi}\left| \sin{t}\cos{(2s)}-\cos{t}\sin{(2s)}\right|ds\leqslant$
$\leqslant |\lambda|\left \| x-y \right \|\max_{t}\left(|\sin{t}|\int_{0}^{\pi}|\cos{(2s)}|ds+ |\cos{t}|\int_{0}^{\pi}|\sin{(2s)}|ds \right )=$
$=4|\lambda|\left \| x-y \right \|$

Так?

-- 18.03.2015, 01:03 --

ewert в сообщении #991741 писал(а):

Вам же нужна оценка именно точная.

В общем передо мной стоит задача решить уравнение $x(t)=\lambda \int_{0}^{\pi}\sin{(t-2s)}x(s)ds + \cos{(2t)}$ при $\lambda = \frac{1}{9}$ методом последовательных приближений с точностью $\varepsilon = 0,001$ и определить, при каких $\lambda \ne 0$ в пространтсвах $C[0, \pi], L_2[0, \pi]$ можно применить данный метод.

[Otta]

Не надо оценивать первый интеграл. Считайте.

[HenryDukart]

То есть не надо оценивать?
$\int_{0}^{\pi}|\sin{(2s)}|ds = \int_{0}^{\pi}|\cos{(2s)}|ds=2$

[Otta]

Зачем оценивать то, что считается?

[HenryDukart]

Я ведь не могу найти непосредственно $\int_{0}^{\pi}|\sin{(t-2s)}|ds$

[Otta]

Я давно это заметила. А жаль. Ищите.

[HenryDukart]

Завтра тогда попытаюсь.

[HenryDukart]

Вот, что у меня вышло:
$t \in [0, \pi], u=t-2s, ds=-du/2$

$-\frac{1}{2}\int_{t}^{t-2\pi}|\sin{u}du|=\frac{1}{2}\int_{t-2\pi}^{t}|\sin{u}du|=\frac{1}{2}\left ( -\int_{t-2\pi}^{0}\sin{u}du + \int_{0}^{t}\sin{u}du\right ) =$

$= \frac{1}{2}\left ( 2-2\cos{t} \right )=1-\cos{t}$

Максимум при $t=\pi$ и равен 2.