Замкнутое открытое множество

[Dima S]

Geen в сообщении #987235 писал(а):

Не надо лениться, если уж взялись, систематически просмотрите все варианты...

Построим топологии в пространстве $ X = \left\lbrace A, B, C \right\rbrace$.
Содержащие 2 элемента $ 2^X $:
Антидискретная.
Содержащие 3 элемента $ 2^X $:
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace,\left\lbrace A \right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A, B \right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B, C \right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A, C \right\rbrace \right\rbrace$.
Содержащие 4 элемента $ 2^X $ (в такой топологии не может быть двух одноточечных подмножеств $X$ также, как и двух двуточечных):
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A \right\rbrace, \left\lbrace A, B\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A \right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A \right\rbrace, \left\lbrace A, C\right\rbrace \right\rbrace$
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace A, B\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace A, C\right\rbrace \right\rbrace$
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace A, B\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace A, C\right\rbrace \right\rbrace$
Содержащие 5 элементов $ 2^X $ (в такой топологии не может быть трёх одноточечных подмножеств $X$ также, как и трёх двуточечных):
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A \right\rbrace, \left\lbrace B\right\rbrace, \left\lbrace A, B\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace C\right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace A\right\rbrace, \left\lbrace C, A\right\rbrace \right\rbrace$
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A \right\rbrace, \left\lbrace A, B\right\rbrace, \left\lbrace A, C\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace, \left\lbrace B, A\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C, A\right\rbrace, \left\lbrace C, B\right\rbrace \right\rbrace$
Содержащие 6 элементов $ 2^X $ (в такой топологии не может быть трёх одноточечных и одного двуточечного подмножества $X$ также, как и трёх двуточечных и одного одноточечного):
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A \right\rbrace, \left\lbrace B\right\rbrace, \left\lbrace A, B\right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A \right\rbrace, \left\lbrace B\right\rbrace, \left\lbrace A, B\right\rbrace, \left\lbrace A, C\right\rbrace \right\rbrace$
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace C\right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace, \left\lbrace A, B\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace C\right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace, \left\lbrace A, C\right\rbrace \right\rbrace$
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace A\right\rbrace, \left\lbrace C, A\right\rbrace, \left\lbrace A, B\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace A\right\rbrace, \left\lbrace C, A\right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace \right\rbrace$
Содержащие 7 элементов $ 2^X $ (в такой топологии не может быть трёх одноточечных и двух двуточечных подмножеств $X$ также, как и трёх двуточечных и двух одноточечных):
нет таких
Содержащие 8 элементов $ 2^X $:
Дискретная.

29 топологий.

Geen в сообщении #987235 писал(а):

Про линейно-упорядоченные слышали?

Да, слышал про линейно упорядоченные множества. Не знаю, где они здесь, но Вы меня натолкнули на одну мысль. Я, пока считал топологии, заметил, что если ввести не линейный, а некий "циклический" порядок ($ A \prec B, B \prec C, C \prec A $) и некую операцию "увеличения" этого "порядка" для каждого элемента $X$, то, обнаруживая очередную топологию, мы автоматически обнаруживаем ещё две. То есть, если я не ошибаюсь, множество топологий разбивается на классы эквивалентности, где эквивалентность двух элементов это возможность описанным выше "увеличением порядка" одного элемента получить второй.
Если найти, сколько в каждом классе элементов, то топологии можно будет строить не штуками, а классами. (кажется, число элементов в классе зависит от простоты $\left\lvert X\right\rvert$ )
Есть ли в этом смысл и формулируется ли это корректнее?

Geen в сообщении #987235 писал(а):

И ещё одно соображение, использование двоичного кода часто упрощает жизнь

Можно ещё намёк?

provincialka в сообщении #987186 писал(а):

Dima S
Опять у вас в списке перпутались элементы и (под)множества! Скобки не пропускайте.

Сейчас всё по-честному.

[Geen]

Dima S в сообщении #987597 писал(а):

Я, пока считал топологии, заметил, что если ввести не линейный, а некий "циклический" порядок ($ A \prec B, B \prec C, C \prec A $) и некую операцию "увеличения" этого "порядка" для каждого элемента $X$, то, обнаруживая очередную топологию, мы автоматически обнаруживаем ещё две

Иногда 5 То о чём Вы говорите, и есть перестановка исходных элементов мн-ва. Если нас интересуют топологии как таковые, то такие перестановки не интересны - можно просто написать сколько их без явного перечисления.

Dima S в сообщении #987597 писал(а):

Не знаю, где они здесь

$$\{\varnothing,\{A\},\{A,B\},\{A,B,C\}\}:=A<B<C$$

Dima S в сообщении #987597 писал(а):

Можно ещё намёк?

Ну просто если бы Вы строили табличку по типу предложенной, её выгоднее было бы организовывать на основе двоичного кода - тогда удобнее было бы искать ответ на вопросы из первого поста... Но это ИМХО...

-- 09.03.2015, 00:29 --

Dima S в сообщении #987597 писал(а):

Содержащие 2 элемента

Классифицировать топологии по их "объёму" можно, но, опять же ИМХО, это не самая полезная классификация - её трудно продолжать при "увеличении" носителя.