2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Замкнутое открытое множество
Сообщение08.03.2015, 23:29 


01/06/13
27
Geen в сообщении #987235 писал(а):
Не надо лениться, если уж взялись, систематически просмотрите все варианты...
Построим топологии в пространстве $ X = \left\lbrace A, B, C \right\rbrace$.
Содержащие 2 элемента $ 2^X $:
Антидискретная.
Содержащие 3 элемента $ 2^X $:
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace,\left\lbrace A \right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A, B \right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B, C \right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A, C \right\rbrace \right\rbrace$.
Содержащие 4 элемента $ 2^X $ (в такой топологии не может быть двух одноточечных подмножеств $X$ также, как и двух двуточечных):
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A \right\rbrace, \left\lbrace  A, B\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A \right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A \right\rbrace, \left\lbrace  A, C\right\rbrace \right\rbrace$
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace  A, B\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace  A, C\right\rbrace \right\rbrace$
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace  A, B\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace  A, C\right\rbrace \right\rbrace$
Содержащие 5 элементов $ 2^X $ (в такой топологии не может быть трёх одноточечных подмножеств $X$ также, как и трёх двуточечных):
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A \right\rbrace, \left\lbrace B\right\rbrace, \left\lbrace A, B\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace C\right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace A\right\rbrace, \left\lbrace C, A\right\rbrace \right\rbrace$
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A \right\rbrace, \left\lbrace A, B\right\rbrace, \left\lbrace A, C\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace, \left\lbrace B, A\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C, A\right\rbrace, \left\lbrace C, B\right\rbrace \right\rbrace$
Содержащие 6 элементов $ 2^X $ (в такой топологии не может быть трёх одноточечных и одного двуточечного подмножества $X$ также, как и трёх двуточечных и одного одноточечного):
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A \right\rbrace, \left\lbrace B\right\rbrace, \left\lbrace A, B\right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace A \right\rbrace, \left\lbrace B\right\rbrace, \left\lbrace A, B\right\rbrace, \left\lbrace A, C\right\rbrace \right\rbrace$
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace C\right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace, \left\lbrace A, B\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace C\right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace, \left\lbrace A, C\right\rbrace \right\rbrace$
$ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace A\right\rbrace, \left\lbrace C, A\right\rbrace, \left\lbrace A, B\right\rbrace \right\rbrace$, $ \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace A\right\rbrace, \left\lbrace C, A\right\rbrace, \left\lbrace B, C\right\rbrace \right\rbrace$
Содержащие 7 элементов $ 2^X $ (в такой топологии не может быть трёх одноточечных и двух двуточечных подмножеств $X$ также, как и трёх двуточечных и двух одноточечных):
нет таких
Содержащие 8 элементов $ 2^X $:
Дискретная.

29 топологий.
Geen в сообщении #987235 писал(а):
Про линейно-упорядоченные слышали? ;-)
Да, слышал про линейно упорядоченные множества. Не знаю, где они здесь, но Вы меня натолкнули на одну мысль. Я, пока считал топологии, заметил, что если ввести не линейный, а некий "циклический" порядок ($ A \prec B, B \prec C, C \prec A $) и некую операцию "увеличения" этого "порядка" для каждого элемента $X$, то, обнаруживая очередную топологию, мы автоматически обнаруживаем ещё две. То есть, если я не ошибаюсь, множество топологий разбивается на классы эквивалентности, где эквивалентность двух элементов это возможность описанным выше "увеличением порядка" одного элемента получить второй.
Если найти, сколько в каждом классе элементов, то топологии можно будет строить не штуками, а классами. (кажется, число элементов в классе зависит от простоты $\left\lvert X\right\rvert$ )
Есть ли в этом смысл и формулируется ли это корректнее?

Geen в сообщении #987235 писал(а):
И ещё одно соображение, использование двоичного кода часто упрощает жизнь ;-)
Можно ещё намёк?

provincialka в сообщении #987186 писал(а):
Dima S
Опять у вас в списке перпутались элементы и (под)множества! Скобки не пропускайте.





Сейчас всё по-честному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое открытое множество
Сообщение09.03.2015, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
Dima S в сообщении #987597 писал(а):
Я, пока считал топологии, заметил, что если ввести не линейный, а некий "циклический" порядок ($ A \prec B, B \prec C, C \prec A $) и некую операцию "увеличения" этого "порядка" для каждого элемента $X$, то, обнаруживая очередную топологию, мы автоматически обнаруживаем ещё две

Иногда 5 ;-) То о чём Вы говорите, и есть перестановка исходных элементов мн-ва. Если нас интересуют топологии как таковые, то такие перестановки не интересны - можно просто написать сколько их без явного перечисления.

Dima S в сообщении #987597 писал(а):
Не знаю, где они здесь

$$\{\varnothing,\{A\},\{A,B\},\{A,B,C\}\}:=A<B<C$$ ;-)

Dima S в сообщении #987597 писал(а):
Можно ещё намёк?

Ну просто если бы Вы строили табличку по типу предложенной, её выгоднее было бы организовывать на основе двоичного кода - тогда удобнее было бы искать ответ на вопросы из первого поста... Но это ИМХО...

-- 09.03.2015, 00:29 --

Dima S в сообщении #987597 писал(а):
Содержащие 2 элемента

Классифицировать топологии по их "объёму" можно, но, опять же ИМХО, это не самая полезная классификация - её трудно продолжать при "увеличении" носителя. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group