Замкнутое открытое множество

[Dima S]

Задача: привести пример топологического пространства и множества в нём
1. не открытого и не замкнутого
2. открытого и замкнутого

Пространство-носитель $X=\left\lbrace(x,y):0\leqslant x \leqslant y \leqslant 1 , x , y \in \mathbb{R}\right\rbrace$, то есть все отрезки, умещающиеся в $[0;1]$.
Топология - $ \tau=\left\lbrace(x,y):0\leqslant x \leqslant y \leqslant 1 , x , y \in \mathbb{Q}\right\rbrace$, то есть все одноэлементные подмножества $X$ с рациональными концами.

1. Множество $M = [1;\frac{1}{\sqrt{2}}]$ не открыто, и его дополнение $X \setminus M$ не открыто, т.к. оно вообще не одноэлементное подмножество множества $X$. Так как дополнение $X \setminus M$ не открыто, то $M$ не замкнуто.
2. Предложено топологическое пространство неудачно , так как любое замкнутое множество - дополнение к некоторому открытому множеству - не является одноэлементным подмножеством $X$, а значит, не открыто.

Это не решение, но я хотя бы правильно рассуждаю?
Буду рад также другим конструктивным замечаниям.

[Hasek]

Если я правильно понимаю, то:
1. В качестве примера подойдёт любой полуинтервал (одну границу включаем, а другую -- нет). Причём в качестве пространства обычная вещественная прямая с обычной топологией.
2. Не бывает множеств кроме пустого и всего пространства, которые были бы одновременно и открытыми, и замкнутыми.

[demolishka]

А попроще пример не хотите придумать? Из двух-трех точек например.

Hasek в сообщении #986963 писал(а):

Не бывает множеств кроме пустого и всего пространства, которые были бы одновременно и открытыми, и замкнутыми.

Бывает.

[AGu]

Какой-то дикий перемудреж.
Все нужные примеры есть уже в рамках всем нам родного и интуитивно понятного $\mathbb R$ (не говоря уже о намекнутых выше конечных пространствах).

-- 2015.03.07 18:30 --

Hasek в сообщении #986963 писал(а):

В качестве примера подойдёт любой полуинтервал

Нехорошо сразу предлагать готовое решение. У нас так не принято. Надо было помучать топикстартера, чтобы он сам до всего догадался.

[Geen]

Dima S в сообщении #986955 писал(а):

Пространство-носитель $X=\left\lbrace(x,y):0\leqslant x \leqslant y \leqslant 1 , x , y \in \mathbb{R}\right\rbrace$, то есть все отрезки, умещающиеся в $[0;1]$.

Вообще-то, это треугольник.

Dima S в сообщении #986955 писал(а):

Топология - $ \tau=\left\lbrace(x,y):0\leqslant x \leqslant y \leqslant 1 , x , y \in \mathbb{Q}\right\rbrace$, то есть все одноэлементные подмножества $X$ с рациональными концами.

А это топология?

Dima S в сообщении #986955 писал(а):

Множество $M = [1;\frac{1}{\sqrt{2}}]$ не открыто

А разве $M$ хоть как-то относиться к $X$?

[Hasek]

demolishka, да, я ошибся. В пространстве из двух точек такой пример легко придумать. Теперь сам буду знать. :)
AGu, понял. Учту на будущее.

[provincialka]

Hasek
Вы слышали, что такое "компонента связности"?

[ewert]

Hasek в сообщении #986963 писал(а):

2. Не бывает множеств кроме пустого и всего пространства, которые были бы одновременно и открытыми, и замкнутыми.

provincialka в сообщении #987000 писал(а):

Hasek
Вы слышали, что такое "компонента связности"?

Связность тут не при чём, конечно. Но это хороший намёк на то, что любое тупое объединение двух пространств -- оно тоже пространство.

[provincialka]

ewert в сообщении #987011 писал(а):

Связность тут не при чём, конечно

Черт, а мне казалось, что открыто-замкнутые подмножества и есть компоненты связности. Видимо, перепутала с тем, что в связном пространстве открыто-замкнутые только тривиальные.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #987013 писал(а):

а мне казалось, что открыто-замкнутые подмножества и есть компоненты связности. Видимо, перепутала

Видимо, нет. Я просто в таких категориях не мыслил, а только в вещественно-осевых, в которых связности мне показались совершенно ненужными.

[Padawan]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #987013 писал(а):

Черт, а мне казалось, что открыто-замкнутые подмножества и есть компоненты связности.

Да, это не верно. Например, в пространстве рациональных чисел компоненты связности - точки. Они замкнуты (компоненты связности всегда замкнуты), но не открыты.

[provincialka]

ewert
Я посмотрела в Вики (sorry ), там написано, что компоненты связности замкнуты, а в локально-связном пространстве еще и открыты.
Для построения примера это может пригодиться. Чтобы понять, откуда у задачи "ноги растут".
Padawan, спасибо, вроде разобралась.

[Hasek]

provincialka в сообщении #987000 писал(а):

Hasek
Вы слышали, что такое "компонента связности"?

Изначально нет. Но уже прочитал последующие сообщения в этой теме и что такое компоненты связности. Вроде разобрался.

[Dima S]

Hasek писал(а):

Если я правильно понимаю, то:
1. В качестве примера подойдёт любой полуинтервал

А, ну да, при такой топологии дополнения ко всякому открытому множеству есть множество отрезков с включёнными обоими концами. Соответственно, пример, предложенный Вами - ни интервал, и не отрезок.

demolishka писал(а):

А попроще пример не хотите придумать? Из двух-трех точек например.

Ну-ка.
$X = \left\lbrace A, B \right\rbrace$. Тогда рассмотрим $ 2^X \supset \tau = \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B\right\rbrace \right\rbrace $ - антидискретная топология.
1. $A$ не открыто. Но и $B = X \setminus A$ не открыто. Значит $A$ ещё и не замкнуто.
2. $\varnothing$ открыто. Но и $ \left\lbrace A, B\right\rbrace = X \setminus \varnothing$ открыто. Значит, $\varnothing$ замкнуто.
Ещё одно. Я правильно понимаю, что пространством - носителем здесь называется именно $X$, а не $2^X$?

Geen писал(а):

Dima S писал(а):

Пространство-носитель $X=\left\lbrace(x,y):0\leqslant x \leqslant y \leqslant 1 , x , y \in \mathbb{R}\right\rbrace$, то есть все отрезки, умещающиеся в $[0;1]$.

Вообще-то, это треугольник.

Это какая-то аналогия треугольника из двумерного пространства?

Geen писал(а):

Dima S писал(а):

Топология - $ \tau=\left\lbrace(x,y):0\leqslant x \leqslant y \leqslant 1 , x , y \in \mathbb{Q}\right\rbrace$, то есть все одноэлементные подмножества $X$ с рациональными концами.$[/math].

А это топология?

Нет, ведь ей не принадлежит $X$. Спасибо.

Geen писал(а):

Dima S писал(а):

Множество $M = [1;\frac{1}{\sqrt{2}}]$ не открыто$[/math].

А разве $M$ хоть как-то относиться к $X$?

Только сейчас заметил, что описывая носитель и топологию, везде круглые скобки ставил. Да, не относится.

[Hasek]

Dima S в сообщении #987051 писал(а):

demolishka писал(а):

А попроще пример не хотите придумать? Из двух-трех точек например.

Ну-ка.
$X = \left\lbrace A, B \right\rbrace$. Тогда рассмотрим $ 2^X \supset \tau = \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B\right\rbrace \right\rbrace $ - антидискретная топология.
1. $A$ не открыто. Но и $B = X \setminus A$ не открыто. Значит $A$ ещё и не замкнуто.
2. $\varnothing$ открыто. Но и $ \left\lbrace A, B\right\rbrace = X \setminus \varnothing$ открыто. Значит, $\varnothing$ замкнуто.
Ещё одно. Я правильно понимаю, что пространством - носителем здесь называется именно $X$, а не $2^X$?

В меру моего знания терминологии, то $X$, да. Опять же, если не прав, пусть кто-нибудь поправит.
1. Правильно.
2. Примеры со всем пространством и пустым множеством обычно считаются тривиальными и не рассматриваются. Кстати, я не уверен, но вроде бы открытость и замкнутость как всего множества, так и пустого множества, просто постулируется. Или это как-то выводится? Кстати, с равным правом можно было бы сказать, что пустое множество замкнуто и получить, что оно открыто. :) Ну да ладно, собственно я к тому, что не трудно получить более содержательный пример. А именно -- рассмотрите на том же множестве из двух точек дискретную топологию.