Замкнутое открытое множество

[Geen]

Dima S в сообщении #987051 писал(а):

Нет, ведь ей не принадлежит $X$.

А так же пустое мн-во и объединения...

Dima S в сообщении #987051 писал(а):

Это какая-то аналогия треугольника из двумерного пространства?

Почему аналогия? Просто в плоскости $xy$ Вы описали треугольник с вершинами $(0,0),(0,1),(1,1)$

[Dima S]

Цитата:

Кстати, я не уверен, но вроде бы открытость и замкнутость как всего множества, так и пустого множества, просто постулируется

По определению топологического пространства оба открыты. А так как дополняют друг друга, то и замкнуты, да

Цитата:

А именно -- рассмотрите на том же множестве из двух точек дискретную топологию

В дискретной топологии, получается, все подмножества, что-ли и открыты, и замкнуты?
Но в такой топологии нет подмножества, удовлетворяющего пункту 1 задачи.

Цитата:

Почему аналогия? Просто в плоскости $xy$ Вы описали треугольник с вершинами $(0,0),(0,1),(1,1)$

А почему координаты только целочисленные?

[Geen]

Dima S в сообщении #987069 писал(а):

Цитата:

Почему аналогия? Просто в плоскости $xy$ Вы описали треугольник с вершинами $(0,0),(0,1),(1,1)$

А почему координаты только целочисленные?

Ну, включая "все внутренности", естественно ("закрашенный" треугольник).

-- 07.03.2015, 20:07 --

Dima S в сообщении #987069 писал(а):

В дискретной топологии, получается, все подмножества, что-ли и открыты, и замкнуты?

Да

[provincialka]

Dima S
Вы неправильно цитаты оформляете: непонятно, кто сказал. Вы выделите нужный фрагмент и нажмите кнопку "вставка". Будет хорошо.

Dima S в сообщении #987069 писал(а):

Но в такой топологии нет подмножества, удовлетворяющего пункту 1 задачи.

А вам нужно в одном пространстве?

-- 07.03.2015, 20:14 --

Ну, возьмите трехточечное.

[Geen]

Dima S в сообщении #987069 писал(а):

Но в такой топологии нет подмножества, удовлетворяющего пункту 1 задачи.

Рассмотрим мн-во $X$ из двух эл-тов: $\{A,B\}$.
Составим следующую табличку:

$$\begin{tabular}{c|c c c c|c} A & 0 & 1 & 0 & 1\\ B & 0 & 0 & 1 & 1\\ \hline &1&0&0&1&T\\ &1&1&0&1&I_A\\ &1&0&1&1&I_B\\ &1&1&1&1&D \end{tabular} $$

где правее $A$ и $B$ "перечислены" подмножества $X$, а под ними - возможные топологии.
Можете сделать такую табличку для трёхэлементного мн-ва?

[Dima S]

Geen в сообщении #987072 писал(а):

Ну, включая "все внутренности", естественно ("закрашенный" треугольник).

А, точно!

provincialka в сообщении #987078 писал(а):

Dima S
Вы неправильно цитаты оформляете: непонятно, кто сказал. Вы выделите нужный фрагмент и нажмите кнопку "вставка". Будет хорошо.

Спасибо! Стеснялся спрашивать - писать не по теме.

provincialka в сообщении #987078 писал(а):

А вам нужно в одном пространстве?

Ну если строго подходить, то, кажется, условия задачи требуют в одной топологии примеры подмножеств 1 и 2 предъявить. А это вообще говоря другая задача, чем для разных топологий.

[provincialka]

Dima S в сообщении #987091 писал(а):

кажется, условия задачи требуют в одной топологии примеры подмножеств 1 и 2 предъявить.

А вы про трехточечное пространство поняли, как его можно использовать?

[Dima S]

Geen в сообщении #987087 писал(а):

Можете сделать такую табличку для трёхэлементного мн-ва?

Так, если я всё правильно понял, это таблица принадлежности всем возможным топологиям всех возможных подмножеств не содержащих в качестве элементов пустое множество и всё множество.
Думаю, смогу на бумаге. Вы не могли бы в LaTeX эту таблицу выложить, чтобы я её здесь оформил?

provincialka в сообщении #987095 писал(а):

А вы про трехточечное пространство поняли, как его можно использовать?

Да, $ \tau = \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C\right\rbrace , A, \left\lbrace B, C \right\rbrace\right\rbrace$.
$B$ не открыто и не замкнуто.
Помимо открытых и замкнутых $\varnothing$ и $\left\lbrace A, B, C\right\rbrace$, открыто и замкнуто ещё и $A$.

[provincialka]

Правильно. Только не $A$, а $\{A\}$
И, соответственно, $\{B\}$

[Geen]

Dima S в сообщении #987100 писал(а):

Так, если я всё правильно понял, это таблица принадлежности всем возможным топологиям всех возможных подмножеств не содержащих в качестве элементов пустое множество и всё множество.

Если я правильно понял что Вы тут написали, то не правильно

Кстати, таблица будет довольно большая - не имеет смысла приводить строки, отличающиеся перестановкой $A,B,C$...

Dima S в сообщении #987100 писал(а):

Вы не могли бы в LaTeX эту таблицу выложить, чтобы я её здесь оформил?

Вы имеете ввиду "шаблон"? Вообще-то код видно когда мышку на формулу наводишь... Ещё можно посмотреть http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Tables

Используется синтаксис LaTeX

\begin{tabular}{c|c c c c|c}
A&0&...\\
B&...\\
\hline
&1&0&0...&1&T\\
....
\end{tabular}

(Оффтоп)

Не хочет что-то "оффтоп" включать в себя код...

[Dima S]

provincialka в сообщении #987104 писал(а):

Правильно. Только не $A$, а $\{A\}$
И, соответственно, $\{B\}$

Точно, спасибо.

Geen в сообщении #987105 писал(а):

Вы имеете ввиду "шаблон"?

Да, шаблон.
Вот, что я думаю:
$\begin{tabular}{c|c c c c c c c c|c} A&0&0&0&1&1&1&0&1\\ B&0&0&1&0&1&0&1&1\\ С&0&1&0&0&0&1&1&1\\ \hline &1&0&0&0&0&0&0&1&T\\ &1&0&0&1&0&0&0&1&I_A\\ &1&0&1&0&0&0&0&1&I_B\\ &1&1&0&0&0&0&0&1&I_C\\ &1&0&0&1&0&0&1&1&I_{A,BC}\\ &1&0&1&0&0&1&0&1&I_{B,AC}\\ &1&1&0&0&1&0&0&1&I_{C,AB}\\ &1&0&1&1&1&0&0&1&I_{A,B,AB}\\ &1&1&1&0&0&0&1&1&I_{B,C,BC}\\ &1&1&0&1&0&1&0&1&I_{C,A,CA}\\ &1&1&1&1&1&1&1&1&D\\ \end{tabular} $
Правильно я понял?
​

[Geen]

Dima S в сообщении #987119 писал(а):

Правильно я понял?

Вы далеко не все возможные топологии указали...

[Dima S]

Geen в сообщении #987120 писал(а):

Вы далеко не все возможные топологии указали...

Точно-точно! Сейчас прогулялся, придумал ещё три. Одна из них такая $ \tau = \left\lbrace \varnothing, \left\lbrace A, B, C\right\rbrace, A, \left\lbrace A, B\right\rbrace , \left\lbrace A, C\right\rbrace\right\rbrace$, остальные "подобны".
Вроде все.

[provincialka]

Dima S
Опять у вас в списке перпутались элементы и (под)множества! Скобки не пропускайте.

[Geen]

Dima S в сообщении #987184 писал(а):

Сейчас прогулялся, придумал ещё три.

У меня получилось всего 29 (если различать исходные точки)... Про линейно-упорядоченные слышали?
Не надо лениться, если уж взялись, систематически просмотрите все варианты...

-- 08.03.2015, 02:25 --

Кроме того, подумайте, можно ли составить топологию из одного произвольного подмножества исходного множества...
Если к множеству, с какой-то топологией, мы добавляем ещё одну точку, какие варианты "порождённых" топологией есть...
Заодно, систематизируйте Ваши изыскания топологией...
Кстати, их вовсе не обязательно обозначать все буквой $I$ - скорее надо исходить из системы...

-- 08.03.2015, 02:29 --

И ещё одно соображение, использование двоичного кода часто упрощает жизнь