Достаточное условие объективной "истины"

[Lukum]

Уехал в глубокий оффлайн, потом договорим.

[epros]

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #986660 писал(а):

С чего бы.

Ну, не знаю. Просто при всей остроте языка Вы мне почему-то представляетесь одним из самых образованных и притом, что не менее важно, разумных участников этого форума.

Nemiroff в сообщении #986660 писал(а):

М-м-м. Ну вот математика. Формальная логика. Истинность формулы конечно же зависит от интерпретации. Однако бывают общезначимые формулы. Чем не объективная истина? В логике.

Просто я не считаю, что общезначимость формул существует вне зависимости от представлений. По-моему, она существует только в рамках представлений той или иной логики. Например, в классическом исчислении высказываний $X \vee \neg X$ -- общезначимо, а в конструктивном -- нет.

[arseniiv]

Так ведь и есть. Как вообще можно было бы определить, что называть интерпретацией произвольной «логики»?

[epros]

Про интерпретации ничего сказать не могу, а истинность, по-моему, определяется только в рамках представления (которое включает как логику, так и подходящую к случаю прикладную аксиоматику).

[arseniiv]

Да аксиомы зачем? Существуют алгебры Гейтинга, в которых LEM не имеет значения $1$, так что он не общезначим в конструктивной логике. (Это я сейчас англовики открыл за незнанием источников.) Надо чтобы $1$ было значением формулы в любой алгебре Гейтинга. Булевы алгебры — самые «маленькие» из алгебр Гейтинга, классическая логика требует значение $1$ для общезначимости только во всех них.

-- Сб мар 07, 2015 20:06:35 --

Смотрел http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionistic_logic#Semantics, если что.

[Astronaft]

arseniiv в сообщении #986999 писал(а):

Так ведь и есть. Как вообще можно было бы определить, что называть интерпретацией произвольной «логики»?

Логика может интерпретироваться произвольно, но если она не отражает объективную истину хотя бы с какой-то из её сторон, то получится произвол произвольной логики.

[epros]

arseniiv в сообщении #987020 писал(а):

Да аксиомы зачем? Существуют алгебры Гейтинга, в которых LEM не имеет значения $1$, так что он не общезначим в конструктивной логике. (Это я сейчас англовики открыл за незнанием источников.) Надо чтобы $1$ было значением формулы в любой алгебре Гейтинга. Булевы алгебры — самые «маленькие» из алгебр Гейтинга, классическая логика требует значение $1$ для общезначимости только во всех них.

Это всё понятно, только непонятно зачем вообще нужно строить какие-то интерпретации для приписывания чему-либо значения истинности. Тот самый LEM в классической логике прямо задаётся аксиомой, что автоматически гарантирует его общезначимость. Другие аксиомы (в том числе, прикладные) определяют истинность много чего ещё. Кстати, интерпретация тоже определяется аксиоматикой, только на уровне метатеории.

[zt09]

Мне кажется, все гораздо проще. Самая важная особенность классической логики - это наличие в ней значения "ложь". В логике это "ложь", в математике - ноль, в теории множеств - пустое множество и т.п. Без закона исключенного третьего можно и обойтись (наверное), и без других аксиом типа закона противоречия. А вот без аксиомы существования нуля (пустого множества и т.п.) ничего не получится. Из нуля уже можно вывести все остальное путем добавления других аксиом. 0 - это "объективная истина", краеугольный камень классической логики.

В реальности этот камень отсутствует. А стало быть отсутствует и все то, что стоит на "классическом" фундаменте. И, как я уже сказал, все попытки найти объективную истину где-нибудь во Вселенной обречены на неудачу. Можно придумать любое условие, и оно будет нарушено. Квантовая механика работает только потому, что она не пытается искать абсолютную истину или ответ на вопрос "через какую щель на самом деле (="классическое" знание) прошел фотон". Объективная истина квантовой механики - волновая функция.

[arseniiv]

epros в сообщении #987085 писал(а):

Тот самый LEM в классической логике прямо задаётся аксиомой, что автоматически гарантирует его общезначимость.

Так ведь не общезначимость это гарантирует. Без интерпретации об общезначимости говорить не принято — отдельное слово «выводимость» уже есть.

epros в сообщении #987085 писал(а):

Это всё понятно, только непонятно зачем вообще нужно строить какие-то интерпретации для приписывания чему-либо значения истинности.

Не знаю. Захотелось кому-то, многим идея понравилась. Выводимость зависит от аксиом и правил вывода, обзщезначимость — нет.

epros в сообщении #987085 писал(а):

Кстати, интерпретация тоже определяется аксиоматикой, только на уровне метатеории.

Не совсем понял, что имеется в виду.

[maximk]

Соглашусь с zt09.
И есть одно интересное предположение. Наука занимается поиском следствий из общепринятых субъективных норм (на самом деле это может быть так, над этим стоит задуматься, а не отвергать сразу), как бы сложно это увидеть ни было. Хотя может показаться, что согласованность в результатах опытов указывает на объективность. Но возможно лишь в той же мере, в какой мере теоремы указывают на объективные следствия из общепринятых соглашений о правилах вывода из принятых аксиом в математике. Как уже и замечали в этой теме. Может это не так, а может и так. Ведь бывает, что люди "спят на ходу", так может и этот случай не исключение. Тогда это один из сильнейших снов, и не так уж просто проснуться.
И еще мне стал интересен вопрос природы числа. Как число связано с объективной реальностью. Знаю очень много случаев (включая те, что случались со мной), где, допустим, время на часах чудило по полной (да и не только на часах). Возможно я и видел там лютые закономерности только потому, что я ждал их, а возможно те комбинации чисел, которые я там видел складывались в зависимости от других причин, в виде каких-либо знаков для меня, что-то типа отголосков вселенского кода. А даже если это и зависело от игры моего воображения, то почему я видел именно те комбинации чисел, а не другие и именно в той последовательности (кто-то может сказать, что просто время пришло (и вправду, оно же не стоит на месте)). Можно конечно все это "обсчетать" по теории вероятности, но когда ты видишь несколько раз подряд непрерывно комбинации, строящиеся по подобному же закону, каждый раз проходя мимо часов, начинаешь задумываться, как это связано с реальностью. В конце концов не я один над этим задумывался. Пифагор, нумерологи, все они просто поехавшие?
Как объяснить то совпадение, что раз 5 в день, а то и больше видишь "15:15", "16:16", "18:18" и так далее. Конечно вероятность столкнуться с этим не так уж и мала, но и теория вероятности тоже просто теория.
Замечаю, что такие явления учащаются, когда я проезжаю мимо часов, находясь рядом с матерью, там не только на часах левое число совпадает с правым, но и суммы чисел на билетах на прямом пути и обратном совпадают.

[arseniiv]

maximk в сообщении #987480 писал(а):

И есть одно интересное предположение. Наука занимается поиском следствий из общепринятых субъективных норм (на самом деле это может быть так, над этим стоит задуматься, а не отвергать сразу), как бы сложно это увидеть ни было.

С накоплением фактов многие поначалу кажущиеся стоящими идеи обесцениваются. Хотя и здесь можно найти повод для теории заговора. (Кстати, почему чай заканчивается всегда быстрее, чем предполагал? Никак, агенты тайного правительства допивают!)

maximk в сообщении #987480 писал(а):

Как объяснить то совпадение, что раз 5 в день, а то и больше видишь "15:15", "16:16", "18:18" и так далее.

Чем вас не удовлетворяют существующие? (И какие вы знаете, а то вдруг псевду какую-то посчитали за научное объяснение.)

maximk в сообщении #987480 писал(а):

Конечно вероятность столкнуться с этим не так уж и мала, но и теория вероятности тоже просто теория.

Ну не, с таким наплевательским отношением к точности описания мира чего-то объяснять вам, похоже, не стоит…

-- Вс мар 08, 2015 22:01:16 --

Но против комплекса привычек не попрёшь, так что я доскажу. Если вам нужно именно удовлетворяющее вас объяснение, то стоит передумать связываться с наукой, т. к. свойства нашей реальности почему-то не всем нравятся, и уж тем более их хорошее практически применимое описание.

maximk в сообщении #987480 писал(а):

И еще мне стал интересен вопрос природы числа.

Просто «числа» не бывает. Есть натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные и другое. Это всё неизоморфные алгебраические системы.

maximk в сообщении #987480 писал(а):

Возможно я и видел там лютые закономерности только потому, что я ждал их

Надеюсь, они хотя бы не были поголовно завязаны на цифры десятичной системы счисления? Хотя, судя по

maximk в сообщении #987480 писал(а):

там не только на часах левое число совпадает с правым, но и суммы чисел на билетах на прямом пути и обратном совпадают

, зря надеялся.

maximk в сообщении #987480 писал(а):

Тогда это один из сильнейших снов, и не так уж просто проснуться.

Если бы вы наблюдали за снами аккуратнее, вы бы заметили разницу. Да, фактоид о том, что реальность может быть сном «высшего порядка», живучий, но живучесть не повод.

[epros]

arseniiv в сообщении #987476 писал(а):

Так ведь не общезначимость это гарантирует. Без интерпретации об общезначимости говорить не принято — отдельное слово «выводимость» уже есть.

Какая разница при каких обстоятельствах "принято" говорить про общезначимость? Она гарантируется именно наличием соответствующей аксиомы (например, в Гильбертовской аксиоматизации исчисления высказываний): Есть в логике такая аксиома -- есть истинность в любой интерпретации, нет аксиомы -- нет таковой.

arseniiv в сообщении #987476 писал(а):

epros в сообщении #987085 писал(а):

Это всё понятно, только непонятно зачем вообще нужно строить какие-то интерпретации для приписывания чему-либо значения истинности.

Не знаю. Захотелось кому-то, многим идея понравилась.

У меня другое мнение. Дело не в том, что это кому-то случайно "понравилось", а в том, что вывод в теории (с помощью которого всегда в реальной практике и определялась истинность), оказался непригодным для однозначного разделения всех высказываний на истинные и ложные. Поэтому пришлось придумать такую искусственную конструкцию, как "интерпретация".

arseniiv в сообщении #987476 писал(а):

Выводимость зависит от аксиом и правил вывода, обзщезначимость — нет.

Вы какие-то странные Вещи сейчас утверждаете. Выводимость без дополнительной (прикладной) аксиоматики, т.е. в любой теории, как раз и означает общезначимость (т.е. истинность в любой интерпретации).

P.S. Если быть точным, то в логике второго порядка это уже не так. Но по крайней мере в исчислении высказываний и других полных логиках -- всё же так.

arseniiv в сообщении #987476 писал(а):

epros в сообщении #987085 писал(а):

Кстати, интерпретация тоже определяется аксиоматикой, только на уровне метатеории.

Не совсем понял, что имеется в виду.

Имеется в виду, что для определения любой интерпретации (в частности, из Вашего примера -- алгебры Гейтинга, определяемой операциями с открытыми подмножествами $\mathbb{R}$) нужна какая-то теория. Это и есть та метатеория, аксиоматика которой определяет данную интерпретацию. Например, такие вещи, как $\mathbb{R}$ и "открытое множество" тоже определяются какой-то аксиоматикой.

[Munin]

maximk в сообщении #987480 писал(а):

И есть одно интересное предположение. Наука занимается поиском следствий из общепринятых субъективных норм (на самом деле это может быть так, над этим стоит задуматься, а не отвергать сразу), как бы сложно это увидеть ни было. Хотя может показаться, что согласованность в результатах опытов указывает на объективность. Но возможно лишь в той же мере, в какой мере теоремы указывают на объективные следствия из общепринятых соглашений о правилах вывода из принятых аксиом в математике. Как уже и замечали в этой теме.

Нет, это не так. Тот, кто "замечал" это в этой теме, ошибся.

Единственная субъективность в науке - в вопросе что изучать, и с какой стороны. А результаты опыта при этом объективны.

maximk в сообщении #987480 писал(а):

И еще мне стал интересен вопрос природы числа. Как число связано с объективной реальностью.

Приблизительно. Конкретно этот вопрос рассматривается в физике в теории погрешностей, в матстатистике.

maximk в сообщении #987480 писал(а):

В конце концов не я один над этим задумывался.

Это не признак того, что здесь что-то важное. Точно так же, как и обратное положение - тоже не признак.

maximk в сообщении #987480 писал(а):

но и теория вероятности тоже просто теория.

Это не "просто теория". Это абсолютная истина. (Как и всякая математическая теория.)

[arseniiv]

epros в сообщении #987517 писал(а):

Она гарантируется именно наличием соответствующей аксиомы

Не гарантируется. Просто аксиомы мы подбирали общезначимые и правила вывода сохраняющие общезначимость.

epros в сообщении #987517 писал(а):

Вы какие-то странные Вещи сейчас утверждаете. Выводимость без дополнительной (прикладной) аксиоматики, т.е. в любой теории, как раз и означает общезначимость (т.е. истинность в любой интерпретации).

В любой теории — нет.

epros в сообщении #987517 писал(а):

Имеется в виду, что для определения любой интерпретации (в частности, из Вашего примера -- алгебры Гейтинга, определяемой операциями с открытыми подмножествами $\mathbb{R}$) нужна какая-то теория. Это и есть та метатеория, аксиоматика которой определяет данную интерпретацию. Например, такие вещи, как $\mathbb{R}$ и "открытое множество" тоже определяются какой-то аксиоматикой.

Теперь ясно. Да, нужна, но ведь и для работы с выводимостью какая-то метатеория нужна.

[epros]

arseniiv в сообщении #987569 писал(а):

Просто аксиомы мы подбирали общезначимые и правила вывода сохраняющие общезначимость.

Что это значит, "выбирать общезначимые аксиомы"? Мы просто относим LEM к аксиоматике логики, а не к аксиоматике прикладной теории. Это и делает его общезначимым.

arseniiv в сообщении #987569 писал(а):

В любой теории — нет.

Вроде в исчислении высказываний и предикатов первого порядка не бывает недоказуемых общезначимых утверждений. Разве нет?

arseniiv в сообщении #987569 писал(а):

но ведь и для работы с выводимостью какая-то метатеория нужна.

Определение теории, разумеется, является делом метатеории. Но вывод конкретного утверждения -- это уже дело самой теории. Поэтому я не понимаю, зачем, имея вывод конкретного утверждения, для определения того, что оно истинно, нужно строить ещё какие-то интерпретации.