Отынтегрироваться

[r0ma]

Slow в сообщении #984705 писал(а):

Пусть $k<0$, $\cos(kx)=\cos(-kx)$.

Вы меня совсем не понимаете.

[warlock66613]

r0ma в сообщении #984628 писал(а):

Вот эти рассуждения мои верны?

По-моему очень даже верны. Что касается знака $k$ - делайте замену переменной $\omega = |k|x$ и всё. (Можно и вашу $\omega = kx$ оставить, но тогда со знаком верхнего предела интегрирования надо разобраться.)

-- 02.03.2015, 22:27 --

Ну и, логикой полезно пользоваться - если, как вам "намекает" Slow, у вас было выражение, независящее от знака $k$, а получилось неопределённое при $k$, значит вы где-то сделали глупую ошибку (глупые ошибки я в оценке "очень верны" не считал, поскольку они легко исправляются).

[r0ma]

warlock66613 в сообщении #984808 писал(а):

Ну и, логикой полезно пользоваться - если, как вам "намекает" Slow, у вас было выражение, независящее от знака $k$, а получилось неопределённое при $k$, значит вы где-то сделали глупую ошибку (глупые ошибки я в оценке "очень верны" не считал, поскольку они легко исправляются).

Я могу подробно проделать и показать, что именно я имею ввиду.

$$\int_{\xi_0}^{+\infty}\frac{\cos kx}{x} dx = \int_{k\xi_0}^{+\infty}\frac{\cos kx}{kx} d(kx) = \int_{k\xi_0}^{+\infty}\frac{\cos \omega}{\omega} d\omega.$$

Интегральный косинус опрелён так, что его аргументом является нижний предел, причём, аргумент должен быть строго больше нуля. Другими словами

$$\int_{k\xi_0}^{+\infty}\frac{\cos \omega}{\omega} d\omega = -\operatorname{Ci}(k\xi_0).$$

Для существования необходимо, чтобы $k\xi_0 >0$. Так как $\xi_0 >0$, потому что я его так ввёл, соответсвенно $k$ может быть только больше нуля.

Вот что я подразумевал.

[grizzly]

r0ma в сообщении #984904 писал(а):

$$\int_{\xi_0}^{+\infty}\frac{\cos kx}{x} dx = \int_{k\xi_0}^{+\infty}\frac{\cos kx}{kx} d(kx) = \int_{k\xi_0}^{+\infty}\frac{\cos \omega}{\omega} d\omega.$$

...
Вот что я подразумевал.

Это как раз всем понятно. Лучше бы Вы или ещё в самой левой части формулы сказали "при отрицательном $k$ воспользуемся чётностью косинуса" или, если совсем уж охота поупрямиться, то хотя бы за пределами интегрирования проследили не только с одной стороны, но и с другой. А то у Вас ноль снова как-то попал в эти пределы.

[Slow]

Slow в сообщении #984705 писал(а):

Пусть $k<0$, $\cos(kx)=\cos(-kx)$.

$\omega=-kx$

$$\int_{\xi_0}^{+\infty}\frac{\cos kx}{|x|}dx=\int_{k\xi_0}^{+\infty}\frac{\cos \omega}{\omega} d\omega (k>0)$$

$$\int_{\xi_0}^{+\infty}\frac{\cos kx}{|x|}dx\ne \int_{k\xi_0}^{+\infty}\frac{\cos \omega}{\omega} d\omega (k<0)$$

Или я опять что то не так понял?

[r0ma]

Не. Вот. Всё. От знака $k$ тут ничего не зависит.

$$\int_{|k|\xi_0}^{+ \infty} \frac{\cos\omega}{\omega}d\omega = \operatorname{Ci}(|k|\xi_0),$$

где $\omega = |k| x$. Это правильно.