2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Отынтегрироваться
Сообщение27.02.2015, 01:08 
Аватара пользователя


10/03/11
192
Здравствуйте!

Не могли бы вы мне помочь с интегралом? Сам он выглядит следующим образом:

$$\int\frac{n(x')}{(r - r')^2}dr'.$$

Что тут что: $n(x')$ - некоторая неизвестная функция, которая зависит только от штрихованной координаты $x'$. Координаты $r'$, $r$ - это просто полярные координаты: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, а $r' = \sqrt{x'^2 + y'^2}$. Интегрирование ведётся только по штрихованной координате. Скажу, что вид функции $n(x')$ неизвестен. На эту функцию будет получено интегральное уравнение. Оно уже получено. И вот этот интеграл там присутствует. Просто на первый взгляд кажется, что раз неизвестная функция зависит только от шрихованного $x'$ и не зависит вообще от $y'$, то вроде бы этот интеграл можно взять по этой самой $y'$. Чтобы оставить только иксовую переменную. Вопрос как сделать это безболезненно? Потому что я в лоб расписывал знаменатель, находил $dr'$ через $dx'$ и $dy'$. Но после подстановки у меня запутались глаза. Можете подать идею как тут можно попроще его взять? Скажу, что у меня есть некие соображения того, что должно получиться в итоге из самой геометрии задачи. Что-то типа
$$\int\frac{n(x')}{x - x'}dx'.$$
Но я пока совсем не понимаю как привести ответ к этим неким соображениям. И вообще можно ли. Мне бы просто идею того, как можно отынтегрироваться по $y'$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отынтегрироваться
Сообщение27.02.2015, 03:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4909
r0ma, если вы не ошиблись при получении этого интеграла, то интегрирование в нём ведётся при постоянном $\varphi'$, так что$$x'=r' \cos \varphi'$$$$dx'=dr' \cos \varphi'$$$$I=\int \frac {n(x')} {(r - x' / \cos \varphi')^2} \frac {dx'} {\cos \varphi'}=\cos \varphi' \cdot \int \frac {n(x')} {(r \cos \varphi' - x')^2} dx'$$
Но $\varphi'$ вы из-под интеграла не выковырните никак. Разве что вы найдёте основания приравнять $\varphi' = \varphi$, и тогда $r \cos \varphi' = x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отынтегрироваться
Сообщение27.02.2015, 10:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65076
Может, в интеграле стоит всё-таки не $dr',$ а $d^2r'$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отынтегрироваться
Сообщение27.02.2015, 13:52 
Аватара пользователя


10/03/11
192
Всем спасибо! Я разобрался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отынтегрироваться
Сообщение28.02.2015, 19:51 
Аватара пользователя


10/03/11
192
В решении задачки продолжают упорно возникать математические трудности. При решении преобразованием Фурье составленного в итоге интегрального уравнения типа свёртки необходимо взять следующий интеграл
$$\int_{- \infty}^{+ \infty}\frac{e^{-ixk}}{|x|} dx.$$
Это просто фурье от одной из функций, входящих в свёртку. Тут есть полюс в точке $x = 0$. Но я пока об этом забываю. Потом буду думать, как его регуляризовать. В общем, проблема не в этом. Фурье от этого интеграла я беру, наверное, слишком тупо и безхитростно:
$$\int\limits_{- \infty}^{+ \infty}\frac{e^{-ixk}}{|x|} dx = \int\limits_0^{+ \infty} \frac{e^{ixk}}{x}dx + \int\limits_0^{+ \infty} \frac{e^{-ixk}}{x}dx = 2\int\limits_0^{+ \infty} \frac{\cos xk}{x}dx = -2\operatorname{Ci}(0).$$
Ну и вроде возникает интегральный косинус. Ещё раз скажу, что я пока закрываю глаза на расходимость его в точке 0. Вместо этого можно поставить некоторое малое значение $\xi_0$, которое можно вынуть из физики задачи.

Взяв это же самое Фурье в математике, чтобы проверить верность сделанного, я с небольшим удивлением обнаружил, что фурье она посчитала по-другому. А именно:
$$\int_{- \infty}^{+ \infty}\frac{e^{-ixk}}{|x|} dx = -2 (\gamma + \ln |k|).$$

Это очень похоже на интегральный косинус, но это не он. И плюс есть зависимость от $k$, чего у меня нет в принципе.

Можете подсказать в чём моя ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.03.2015, 00:25 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14514
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: как-то физики в этом всем не видно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отынтегрироваться
Сообщение01.03.2015, 07:40 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
r0ma в сообщении #983788 писал(а):
необходимо взять следующий интеграл
$$\int_{- \infty}^{+ \infty}\frac{e^{-ixk}}{|x|} dx.$$

Чего его брать, если он очевидным образом равен плюс бесконечности (естественно, независимо от $k$)..

 Профиль  
                  
 
 Re: Отынтегрироваться
Сообщение01.03.2015, 09:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4909
ewert, как я понял, на самом деле ТС надо не взять этот интеграл, а найти преобразование Фурье от $1/|x|$. Если бы интеграл сходился, то он как раз был бы равен требуемому преобразованию. Дальше, насколько я знаю, в подобных случаях (если интеграл расходится), пользуясь непрерывностью фурье-преобразования, интеграл регуляризуют. Но здесь сразу видно - как не регуляризуй, а $\ln|k|$ не получится. И просто даже мне интересно - что же такого в $1/|x|$, что указанный интеграл настолько плох, и как же получить это самое $-2 (\gamma + \ln |k|)$ (что действительно похоже на регуляризованную главную часть интегрального косинуса, но очень уж хитро регуляризованную)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отынтегрироваться
Сообщение01.03.2015, 11:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4909
r0ma, ошибка у вас в том, что преобразование Фурье сводится к этому интегралу только если последний сходится. Здесь это не так, и результат надо искать не вычислением интеграла, а другим способом. Но вот как - неясно. Регуляризация интеграла, по-видимому, не работает (так как выпавшее из интеграла $k$ никакая регуляризация обратно не впихнёт). Я попробовал пару других подходов, получилась полная ерунда. wolframalha также не может выдать step-by-step решение.

-- 01.03.2015, 12:46 --

Да, а ещё вы там пишете про полюс в нуле. Не уверен, но по-моему в случае всюду неаналитической фунции говорить о каких-то полюсах вообще нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отынтегрироваться
Сообщение01.03.2015, 16:31 
Аватара пользователя


10/03/11
192
warlock66613 в сообщении #983999 писал(а):
r0ma, ошибка у вас в том, что преобразование Фурье сводится к этому интегралу только если последний сходится. Здесь это не так, и результат надо искать не вычислением интеграла, а другим способом. Но вот как - неясно. Регуляризация интеграла, по-видимому, не работает (так как выпавшее из интеграла $k$ никакая регуляризация обратно не впихнёт). Я попробовал пару других подходов, получилась полная ерунда. wolframalha также не может выдать step-by-step решение.

Понятно. Вообще, с интегральными уравнениями я практически дело не имел. Уравнение у меня получилось таким:
$$f(x) = \int dx'\frac{n(x')}{|x-x'|}.$$
$f(x)$ и фурье-образ $f_k$ - известны. Ну а в фурье оно будет выглядеть, как я понимаю, так:
$$f_k = n_k \int \frac{1}{|x|}e^{-ikx}dx.$$
Вроде верно, да? Ну вот этот интеграл и возникает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отынтегрироваться
Сообщение01.03.2015, 23:00 
Аватара пользователя


10/03/11
192
А нельзя ввести мнимую добавку к $k$ типа $k \rightarrow k+i\varepsilon_0$, чтобы обеспечить сходимость интеграла? Потом каким-то образом его взять, и устремить к нулю $\varepsilon_0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отынтегрироваться
Сообщение02.03.2015, 13:35 
Аватара пользователя


10/03/11
192
Не, погодите.
Вот есть интеграл в бесконечных пределах:
$$\int\frac{e^{-ikx}}{|x|}dx.$$
Который очевидным образом равен такому:
$$2\int_0^{+\infty}\frac{\cos}{|x|}dx.$$
(Например, расписать экспоненту как косинус + синус, и увидеть, что часть с синусом зануляется, т.к. функция нечётна, а интеграл с косинусом удваивается. Так как функция чётна).
Из физики задачи я его регуляризую в нуле
$$2\int_{\xi_0}^{+\infty}\frac{\cos kx}{|x|}dx.$$
Тут $\xi_0>0$, разумеется. Замечу, что данный интеграл сходится по признаку Дирихле на всём промежутке интегрирования.
Теперь я делаю замену переменной: $\omega = k x$. В сухом остатке:

$$2\int_{k \xi_0}^{+\infty}\frac{\cos\omega}{\omega}d\omega.$$

А это есть по определению $-2\operatorname{Ci}(k\xi_0)$.

Вот эти рассуждения мои верны?

-- Пн мар 02, 2015 13:41:56 --

Но тут возникает ограничение на $k$. Необходимо, чтобы $k>0$. Иначе $\operatorname{Ci}(k\xi_0)$ не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отынтегрироваться
Сообщение02.03.2015, 16:32 
Заслуженный участник


03/01/09
1230
москва
r0ma в сообщении #984628 писал(а):
Из физики задачи я его регуляризую в нуле
$$2\int_{\xi_0}^{+\infty}\frac{\cos kx}{|x|}dx.$$

Знак $k$ не имеет значения, так как $\cos kx $ четная функция $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отынтегрироваться
Сообщение02.03.2015, 17:02 
Аватара пользователя


10/03/11
192
mihiv в сообщении #984692 писал(а):
Знак $k$ не имеет значения, так как $\cos kx $ четная функция $k$.

Да вот нет, имеет. Аргумент интегрального косинуса определён по нижнему пределу и не может быть отрицательным. Другими словами, если $\xi_0 >0$, что у меня и есть, то $k$ тоже должно быть больше нуля. Иначе будет косинус от отрицательного аргумента $\operatorname{Ci}(-|k|\xi_0)$ - он не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отынтегрироваться
Сообщение02.03.2015, 17:22 


28/05/12
203
Пусть $k<0$, $\cos(kx)=\cos(-kx)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group