Отынтегрироваться

[r0ma]

Здравствуйте!

Не могли бы вы мне помочь с интегралом? Сам он выглядит следующим образом:

$$\int\frac{n(x')}{(r - r')^2}dr'.$$

Что тут что: $n(x')$ - некоторая неизвестная функция, которая зависит только от штрихованной координаты $x'$. Координаты $r'$, $r$ - это просто полярные координаты: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, а $r' = \sqrt{x'^2 + y'^2}$. Интегрирование ведётся только по штрихованной координате. Скажу, что вид функции $n(x')$ неизвестен. На эту функцию будет получено интегральное уравнение. Оно уже получено. И вот этот интеграл там присутствует. Просто на первый взгляд кажется, что раз неизвестная функция зависит только от шрихованного $x'$ и не зависит вообще от $y'$, то вроде бы этот интеграл можно взять по этой самой $y'$. Чтобы оставить только иксовую переменную. Вопрос как сделать это безболезненно? Потому что я в лоб расписывал знаменатель, находил $dr'$ через $dx'$ и $dy'$. Но после подстановки у меня запутались глаза. Можете подать идею как тут можно попроще его взять? Скажу, что у меня есть некие соображения того, что должно получиться в итоге из самой геометрии задачи. Что-то типа

$$\int\frac{n(x')}{x - x'}dx'.$$

Но я пока совсем не понимаю как привести ответ к этим неким соображениям. И вообще можно ли. Мне бы просто идею того, как можно отынтегрироваться по $y'$.

[warlock66613]

r0ma, если вы не ошиблись при получении этого интеграла, то интегрирование в нём ведётся при постоянном $\varphi'$, так что

$$x'=r' \cos \varphi'$$

$$dx'=dr' \cos \varphi'$$

$$I=\int \frac {n(x')} {(r - x' / \cos \varphi')^2} \frac {dx'} {\cos \varphi'}=\cos \varphi' \cdot \int \frac {n(x')} {(r \cos \varphi' - x')^2} dx'$$

Но $\varphi'$ вы из-под интеграла не выковырните никак. Разве что вы найдёте основания приравнять $\varphi' = \varphi$, и тогда $r \cos \varphi' = x$.

[Munin]

Может, в интеграле стоит всё-таки не $dr',$ а $d^2r'$?

[r0ma]

Всем спасибо! Я разобрался.

[r0ma]

В решении задачки продолжают упорно возникать математические трудности. При решении преобразованием Фурье составленного в итоге интегрального уравнения типа свёртки необходимо взять следующий интеграл

$$\int_{- \infty}^{+ \infty}\frac{e^{-ixk}}{|x|} dx.$$

Это просто фурье от одной из функций, входящих в свёртку. Тут есть полюс в точке $x = 0$. Но я пока об этом забываю. Потом буду думать, как его регуляризовать. В общем, проблема не в этом. Фурье от этого интеграла я беру, наверное, слишком тупо и безхитростно:

$$\int\limits_{- \infty}^{+ \infty}\frac{e^{-ixk}}{|x|} dx = \int\limits_0^{+ \infty} \frac{e^{ixk}}{x}dx + \int\limits_0^{+ \infty} \frac{e^{-ixk}}{x}dx = 2\int\limits_0^{+ \infty} \frac{\cos xk}{x}dx = -2\operatorname{Ci}(0).$$

Ну и вроде возникает интегральный косинус. Ещё раз скажу, что я пока закрываю глаза на расходимость его в точке 0. Вместо этого можно поставить некоторое малое значение $\xi_0$, которое можно вынуть из физики задачи.

Взяв это же самое Фурье в математике, чтобы проверить верность сделанного, я с небольшим удивлением обнаружил, что фурье она посчитала по-другому. А именно:

$$\int_{- \infty}^{+ \infty}\frac{e^{-ixk}}{|x|} dx = -2 (\gamma + \ln |k|).$$

Это очень похоже на интегральный косинус, но это не он. И плюс есть зависимость от $k$, чего у меня нет в принципе.

Можете подсказать в чём моя ошибка?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: как-то физики в этом всем не видно.

[ewert]

r0ma в сообщении #983788 писал(а):

необходимо взять следующий интеграл

$$\int_{- \infty}^{+ \infty}\frac{e^{-ixk}}{|x|} dx.$$

Чего его брать, если он очевидным образом равен плюс бесконечности (естественно, независимо от $k$)..

[warlock66613]

ewert, как я понял, на самом деле ТС надо не взять этот интеграл, а найти преобразование Фурье от $1/|x|$. Если бы интеграл сходился, то он как раз был бы равен требуемому преобразованию. Дальше, насколько я знаю, в подобных случаях (если интеграл расходится), пользуясь непрерывностью фурье-преобразования, интеграл регуляризуют. Но здесь сразу видно - как не регуляризуй, а $\ln|k|$ не получится. И просто даже мне интересно - что же такого в $1/|x|$, что указанный интеграл настолько плох, и как же получить это самое $-2 (\gamma + \ln |k|)$ (что действительно похоже на регуляризованную главную часть интегрального косинуса, но очень уж хитро регуляризованную)?

[warlock66613]

r0ma, ошибка у вас в том, что преобразование Фурье сводится к этому интегралу только если последний сходится. Здесь это не так, и результат надо искать не вычислением интеграла, а другим способом. Но вот как - неясно. Регуляризация интеграла, по-видимому, не работает (так как выпавшее из интеграла $k$ никакая регуляризация обратно не впихнёт). Я попробовал пару других подходов, получилась полная ерунда. wolframalha также не может выдать step-by-step решение.

-- 01.03.2015, 12:46 --

Да, а ещё вы там пишете про полюс в нуле. Не уверен, но по-моему в случае всюду неаналитической фунции говорить о каких-то полюсах вообще нельзя.

[r0ma]

warlock66613 в сообщении #983999 писал(а):

r0ma, ошибка у вас в том, что преобразование Фурье сводится к этому интегралу только если последний сходится. Здесь это не так, и результат надо искать не вычислением интеграла, а другим способом. Но вот как - неясно. Регуляризация интеграла, по-видимому, не работает (так как выпавшее из интеграла $k$ никакая регуляризация обратно не впихнёт). Я попробовал пару других подходов, получилась полная ерунда. wolframalha также не может выдать step-by-step решение.

Понятно. Вообще, с интегральными уравнениями я практически дело не имел. Уравнение у меня получилось таким:

$$f(x) = \int dx'\frac{n(x')}{|x-x'|}.$$

$f(x)$ и фурье-образ $f_k$ - известны. Ну а в фурье оно будет выглядеть, как я понимаю, так:

$$f_k = n_k \int \frac{1}{|x|}e^{-ikx}dx.$$

Вроде верно, да? Ну вот этот интеграл и возникает.

[r0ma]

А нельзя ввести мнимую добавку к $k$ типа $k \rightarrow k+i\varepsilon_0$, чтобы обеспечить сходимость интеграла? Потом каким-то образом его взять, и устремить к нулю $\varepsilon_0$?

[r0ma]

Не, погодите.
Вот есть интеграл в бесконечных пределах:

$$\int\frac{e^{-ikx}}{|x|}dx.$$

Который очевидным образом равен такому:

$$2\int_0^{+\infty}\frac{\cos}{|x|}dx.$$

(Например, расписать экспоненту как косинус + синус, и увидеть, что часть с синусом зануляется, т.к. функция нечётна, а интеграл с косинусом удваивается. Так как функция чётна).
Из физики задачи я его регуляризую в нуле

$$2\int_{\xi_0}^{+\infty}\frac{\cos kx}{|x|}dx.$$

Тут $\xi_0>0$, разумеется. Замечу, что данный интеграл сходится по признаку Дирихле на всём промежутке интегрирования.
Теперь я делаю замену переменной: $\omega = k x$. В сухом остатке:

$$2\int_{k \xi_0}^{+\infty}\frac{\cos\omega}{\omega}d\omega.$$

А это есть по определению $-2\operatorname{Ci}(k\xi_0)$.

Вот эти рассуждения мои верны?

-- Пн мар 02, 2015 13:41:56 --

Но тут возникает ограничение на $k$. Необходимо, чтобы $k>0$. Иначе $\operatorname{Ci}(k\xi_0)$ не существует.

[mihiv]

r0ma в сообщении #984628 писал(а):

Из физики задачи я его регуляризую в нуле

$$2\int_{\xi_0}^{+\infty}\frac{\cos kx}{|x|}dx.$$

Знак $k$ не имеет значения, так как $\cos kx $ четная функция $k$.

[r0ma]

mihiv в сообщении #984692 писал(а):

Знак $k$ не имеет значения, так как $\cos kx $ четная функция $k$.

Да вот нет, имеет. Аргумент интегрального косинуса определён по нижнему пределу и не может быть отрицательным. Другими словами, если $\xi_0 >0$, что у меня и есть, то $k$ тоже должно быть больше нуля. Иначе будет косинус от отрицательного аргумента $\operatorname{Ci}(-|k|\xi_0)$ - он не существует.

[Slow]

Пусть $k<0$, $\cos(kx)=\cos(-kx)$.