Коллапс пылевого облака

[epros]

schekn в сообщении #979615 писал(а):

Такими преобразованиями Вы не устраните разрыв на границе в радиальной компоненте, поскольку $ g_{11}$ зависит также от времени $\tau$ :

$$g_{11}=-\frac{r'^2(\tau,R)}{1-F(R)/R}$$

Какое отношение к разрыву $g_{11}$ имеет зависимость от времени? Если Вы ухитрились выбрать координаты настолько неудачно, что координата $R$ границы сшивки меняется со временем, то при устранении разрыва $g_{11}$ Вы можете получить разрыв по $g_{00}$, но ничто не помешает Вам устранить разрыв $g_{11}$.

schekn в сообщении #979615 писал(а):

Кроме указанных вами , Я наложил условие $g_{00}=1$

А падающей пыли эти координаты хотя бы сопутствуют? Или Вы только с компонентами метрического тензора играетесь?

[schekn]

epros в сообщении #980190 писал(а):

Какое отношение к разрыву $g_{11}$ имеет зависимость от времени? Если Вы ухитрились выбрать координаты настолько неудачно, что координата $R$ границы сшивки меняется со временем, то при устранении разрыва $g_{11}$ Вы можете получить разрыв по $g_{00}$, но ничто не помешает Вам устранить разрыв $g_{11}$.

Координата $R$ не меняется со временем, с чего Вы взяли? На границе $R=a_0$ меняются функции $r(\tau,a_0)$ и $r'(\tau,a_0)$, но как я показал, на границе: $r_{+}=r_{-}$ сшить можно, а вот на границе $R=a_0$ функция $ r'_{+}$ не равна $r'_{-}$ при любом $\tau$. Это видно из выражений (23) и (24).
Следует написать на границе радиальную компоненту:

$$g_{11}=-\frac{r'(\tau,a_0)}{1-F(a_0)/a_0}$$

В общем случае $F$ внутри и вне границы она не совпадает.

epros в сообщении #980190 писал(а):

А падающей пыли эти координаты хотя бы сопутствуют? Или Вы только с компонентами метрического тензора играетесь?

Каждая пылинка имеет свою координату $R$ и она не меняется во время коллапса. В соответствии учебнику ЛЛ-2. Распределение пылинок и плотности энергии определяется функцией $F(R)$ . В начальный момент я выбрал координатную систему так : $r(0,R)=R$. Я выбрал ее так , как у Вайнберга внутри облака ( в координатах Вайнберга), это удобно. Аналогично я ее выбрал и в вакууме.

[KVV]

schekn в сообщении #980133 писал(а):

KVV в сообщении #979993 писал(а):

schekn в сообщении #979734 писал(а):

А если мы в системе меняем часть уравнений на другие

Это какой-то новый прикол...

Почитайте серьезную литературу. Хотя не уверен, что в Вашем случае это поможет. И посмотрите внимательно вычисления, которые я сделал в начале темы.

А это уже старые...

[schekn]

KVV в сообщении #980224 писал(а):

А это уже старые

Задумайтесь над вопросом, что если определитель $g$ в какой-то координатной системе в некоторой области равен нулю ,
и это предположительно координатная особенность, то в другой координатной системе он также будет равен нулю:

$\bar{g}=gJ^2$ , где $J$ - определитель матрицы Якоби. Поскольку якобиан должен быть невырожденным,
$\bar{g}=0$. Чтобы устранить такую особенность , надо перейти в другой координатный класс , а это значит поменять систему уравнений.

А пока далее я хотел все таки представить одно странное решение на основе полученных результатов, если технически все верно.
Может кто найдет ошибку.

[schekn]

Все таки сбился в нумерации. Выпишу еще раз основные формулы для дальнейшего анализа внутреннего решения коллапсирующего облака.

$$ds^2=d{\tau}^2-\frac {r'(\tau,R)^2}{1-F(R)/R}-r^2d{\Omega}^2 , \quad(25)$$

$$\tau=\frac{R^{3/2}[\arctg{\sqrt{R/r-1}}+\frac{r}{R}\sqrt{R/r-1}}{\sqrt{F}}], \quad(26)$$

$$r'(\tau,R)=\frac{r}{R}+\frac{1}{2}(3-\frac{F'}{F}R)\sqrt{R/r-1}(\arctg{\sqrt{R/r-1}}+\frac{r}{R}\sqrt{R/r-1}) , \quad(27)$$

$$8{\pi}G{\varepsilon}=\frac{F'}{r'r^2}, \quad(28)$$

$$F(0)=0,\quad F(a_0)=r_g,\quad F(R)/R<1, $$

Почему-то никто не обращает внимание, что плотность энергии (28) (а значит и скалярная кривизна) обращается в бесконечность не только при $r=0$ , но и при $r'=0$. В первом случае вырождается угловая компонента метрики , во втором радиальная. Ее я назвал второй сингулярностью, но как будет видно из примера , она может наступить раньше , чем первая. Если посмотреть на $(27)$, то возможны три ситуации:

$3-\frac{F'}{F}R=0, \quad 3-\frac{F'}{F}R<0 \quad 3-\frac{F'}{F}R>0$

1. В учебниках рассматривается именно первый случай. Вайнберг выбрал распределение именно так: $F=kR^3, \quad k=r_g/a_0^3 \quad (f=-kR^2) $
Тогда второй член в (27) зануляется и получается простое выражение:

$$r'(\tau,R)=\frac{r}{R}, \quad \to r=a(\tau)R \quad (29)$$

Именно в этом случае удается разделить переменные. А облако остается однородным во время всего коллапса.

$$8{\pi}G{\varepsilon}=\frac{3r_g}{a_0^3a(\tau)^3}$$

Сингулярное состояние достигается одновременно в каждом слое пылинок. Но видимо, этот случай маловероятен.

2. Второй случай $3-\frac{F'}{F}R<0$ дает интересный объект. Возьмем к примеру:

$$F(R)=r_g\frac{R^{3+\alpha}}{a_0^{3+\alpha}}\quad(30)$$

где ${\alpha}$ малый параметр. Здесь также облако имеет резкую границу с вакуумом , но в центре имеется разреженность.

Пусть $\alpha=0.1 \quad r_g=1, \quad a_0=6$ . Распределение плотности энергии в таком случае в начальный момент времени:

$$8{\pi}G{\varepsilon}=\frac{F'}{r'r^2}=\frac{r_g(3+\alpha)R^{\alpha}}{a_0^{3+\alpha}}$$

рисунок 1. Зависимость плотности энергии от координаты $R$.

Будем рассматривать пограничный слой $R=a_0$ . Заменим для удобства $x=\frac{a_0}{r(\tau,a_0)}$, получим вместо (28) :

$$r'(x)=\frac{\alpha}{2}\sqrt{x-1}(\arctg{\sqrt{x-1}}+\frac{\sqrt{x-1}}{x})+1/x , \quad x>1\quad(31)$$

Обращение в ноль $r'=0$ происходит в некоторой критической точке $x=x_k$


рисунок 2.

Точное значение $x_k=5.922, \quad r_k(a_0)=a_0/x_k=1.0137$. То есть это состояние достигается в области $r>r_g$. И соответственно Черной дыры не образуется, поскольку граница не уходит за гравитационный радиус за конечное собственное время. Скалярная кривизна бесконечна в видимой для удаленного наблюдателя области.

Можно оценить значения собственного времени для достижения этих двух сингулярностей:

$r=0$ происходит за собственное время в условных единицах:

$$\tau(r=0)=a_0^{3/2}\frac{{\pi}}{2\sqrt{r_g}}\approx339$$

$r'=0$ происходит за собственное время в условных единицах:

$$\tau(r=r_k)=\frac{a_0^{3/2}}{\sqrt{r_g}}(\arctg{\sqrt{x_k-1}}+\frac{\sqrt{x_k-1}}{x_k})\approx22$$

При этом в области $R=0$ разреженность остается на протяжении всего коллапса.

[schekn]

Все таки допустил опечатку: знак перед первым членом в (31) другой:

$$r'(x)=-\frac{\alpha}{2}\sqrt{x-1}(\arctg{\sqrt{x-1}}+\frac{\sqrt{x-1}}{x})+1/x , \quad x>1\quad(31)$$

[Someone]

schekn в сообщении #980407 писал(а):

Задумайтесь над вопросом, что если определитель $g$ в какой-то координатной системе в некоторой области равен нулю ,
и это предположительно координатная особенность, то в другой координатной системе он также будет равен нулю:

Например, в полярных координатах определитель метрического тензора в начале координат равен нулю, а в декартовых — не равен нулю.

На самом деле, если мы говорим о несингулярных координатах, то точки, в которых определитель равен нулю, в карту включать не следует. Для таких точек нужна дополнительная карта, с другими координатами, в которых определитель не равен нулю.

А вообще, это всё такая банальность, на которую уже давным-давно никто не обращает внимания. Кроме Вас, придающего координатам некий сакральный смысл.

[schekn]

Someone в сообщении #981282 писал(а):

Например, в полярных координатах определитель метрического тензора в начале координат равен нулю, а в декартовых — не равен нулю.

Вы совершенно правы. Об этом и речь, что преобразованиями координат, которые описаны в учебниках, Вы данную особенность не устраните.
А когда мы произносим, как Вы любите говорить, сакральную фразу ( я бы сказал мистическую), что мы не знаем всего многообразия, мы сразу ставим теоретика в тупик. Мы его не знали до того, как решали уравнения Эйнштейна в некоторой координатной системе, так и не знаем его после, когда решили систему уравнений в разных координатных системах. Можно конечно приклеить гладко к модели A некий кусок многообразия , чтобы она была эквивалентна модели B , но это ничего не меняет, пока мы не убедимся в этом экспериментально, и пока это можно считать играми теоретиков.
То , что Вы называете банальностью, хорошо проверено для метрики Минковского, но совершенно неясно для геометрии, создаваемой массивным точечным
источником . Потому что метрику Минковского мы вводим аксиоматически (и кстати СТО проверено достаточно хорошо) , а метрику , описывающую некоторую модель гравитационного поля, мы получаем в результате решений сложной системы уравнений , которые еще и надо дополнить координатными условиями.

Еще раз советую хотя бы ознакомиться с работой математика Темчина " Уравнения Эйнштейна на многообразии", хотя бы первые 2 главы.
http://www.twirpx.com/file/1294932/

Он математик и изучает гиперболичность уравнений Эйнштейна и корректность задачи Коши в ОТО. Там в общем виде описано то, что я расписал для конкретной задачи.

[Someone]

schekn в сообщении #981402 писал(а):

А когда мы произносим, как Вы любите говорить, сакральную фразу ( я бы сказал мистическую), что мы не знаем всего многообразия, мы сразу ставим теоретика в тупик. Мы его не знали до того, как решали уравнения Эйнштейна в некоторой координатной системе, так и не знаем его после, когда решили систему уравнений в разных координатных системах.

Я Вам скажу даже больше: если Солнечная система окружена "хрустальной сферой", на которой "нарисованы" звёзды, галактики и прочее, а за сферой находится царство божие, то мы ничего об этом не узнаем, пока лично туда не доберёмся, независимо от того, какими физическими теориями будем пользоваться. Невозможность узнать всё многообразие, наблюдая только его ограниченную часть, — вещь совершенно банальная.

Кстати, я ни разу не говорил "сакральная фраза". Я говорил (и продолжаю утверждать), что Вы придаёте координатам сакральный смысл, которого у них нет. Координаты — это просто рабочий инструмент. И если мне показалась удобной координатная карта, не принадлежащая атласу класса $C^2$, а относящаяся к атласу класса $C$ я не постесняюсь ей воспользоваться. Разумеется, преобразование координат тоже будет принадлежать классу $C$. Ну и что? Многообразие остаётся тем же.

schekn в сообщении #981402 писал(а):

Еще раз советую хотя бы ознакомиться с работой математика Темчина " Уравнения Эйнштейна на многообразии"

Посмотрел. Это Вы, что-ли, её туда выложили? Это типичный альтернативщик. Достаточно уже заключение почитать. В этом издательстве (URSS) альтернативщиков издают много.

[KVV]

schekn в сообщении #980407 писал(а):

значит поменять систему уравнений.

А я вам предлагаю задуматься над тем, что в ОТО по сути всегда одно уравнение. И оно тензорное. А значит ему по барабану вся эта координатная ерунда.

[schekn]

Someone в сообщении #981440 писал(а):

Координаты — это просто рабочий инструмент. И если мне показалась удобной координатная карта, не принадлежащая атласу класса $C^2$, а относящаяся к атласу класса $C$ я не постесняюсь ей воспользоваться. Разумеется, преобразование координат тоже будет принадлежать классу $C$. Ну и что? Многообразие остаётся тем же.

И сделаете ошибку в том плане, что в классе $C$ множество решений системы уравнений будет отличаться от $C^2$. Потеряете часть решений. Интересно , вы воспользуетесь преобразованиями координат, если это противоречит дифференциальной геометрии?

Someone в сообщении #981440 писал(а):

Посмотрел. Это Вы, что-ли, её туда выложили? Это типичный альтернативщик. Достаточно уже заключение почитать. В этом издательстве (URSS) альтернативщиков издают много.

Ну вот всегда почему-то апологеты ОТО судят по статье ее не читая, а обращая внимание на то, где оно издано. К тому же альтернативщики тоже могут быть серьезными математиками. Впрочем, Темчин не альтернативщик. Он пытался навести порядок в том бардаке, который оставили теоретики в ОТО.
(я выложил и сам оцифровал некоторые книги, которых просто не было в цифровом виде, мне все равно альты они или нет).

Но это все идеологический спор. Мне интересно, что за объект я получил в последних вычислениях?

KVV в сообщении #981453 писал(а):

А я вам предлагаю задуматься над тем, что в ОТО по сути всегда одно уравнение.

Ну во-первых, не одно уравнение, а система уравнений, во-вторых, неполная. Решать неполную систему, знаете, как-то неудобно. Чисто математически. Поэтому их всегда дополняют координатными условиями. Если посмотрите в ЛЛ-2 там в примерах везде количество независимых уравнений соответствует количеству неизвестных функций. И тогда полная система становится нековариантной. В зависимости от того, что добавили, получите разные совокупности решений. И область изменений координат будет разная.

То, что разные учебники по ОТО противоречат друг другу, с этим я смирился. Но даже в одном учебнике один параграф противоречит другому, на это вы не обращаете внимания.

-- 23.02.2015, 11:16 --

Someone в сообщении #981440 писал(а):

Невозможность узнать всё многообразие, наблюдая только его ограниченную часть, — вещь совершенно банальная.

Странно это от Вас слышать. Вы же недавно доказывали , что Черные дыры существуют почти наверняка. И даже картинки из МТУ приводили, как будто это является доказательством чего-либо.

[KVV]

schekn в сообщении #981535 писал(а):

Ну во-первых, не одно уравнение, а система уравнений, во-вторых, неполная. Решать неполную систему, знаете, как-то неудобно. Чисто математически. Поэтому их всегда дополняют координатными условиями. Если посмотрите в ЛЛ-2 там в примерах везде количество независимых уравнений соответствует количеству неизвестных функций. И тогда полная система становится нековариантной. В зависимости от того, что добавили, получите разные совокупности решений. И область изменений координат будет разная.

Одно. Тензорное. Уравнение. Продуктом решения которого является тензор. Метрический тензор.

Получить его можно различными путями для каждой конкретной задачи. В зависимости от разных координатных условий, получим метрический тензор, записанный в разных координатах. Но это один и тот же тензор.

schekn в сообщении #981535 писал(а):

То, что разные учебники по ОТО противоречат друг другу, с этим я смирился. Но даже в одном учебнике один параграф противоречит другому, на это вы не обращаете внимания.

Вы их просто не понимаете. И никто не может вам объяснить это уже несколько лет. Вы в точности как тот евнух из одной очень занятной притчи.

[schekn]

KVV в сообщении #981557 писал(а):

Одно. Тензорное. Уравнение. Продуктом решения которого является тензор. Метрический тензор.

Ошибка на ошибке. Ужос.

Цитата:

Получить его можно различными путями для каждой конкретной задачи. В зависимости от разных координатных условий, получим метрический тензор, записанный в разных координатах. Но это один и тот же тензор

У меня подозрение, что не понимаете , о чем пишите.

-- 23.02.2015, 12:48 --

KVV в сообщении #981557 писал(а):

Вы их просто не понимаете. И никто не может вам объяснить это уже несколько лет.

Извините, но это Вы не понимаете. А то, что так тяжело разобраться в теории, так это не я понаписал кучу учебников, где одно противоречит другому. Возьмите хотя бы Ландау-Лифшица. Параграфы 100 и 103 выполнены вполне корректно (ну с некоторыми оговорками). По крайней мере я их проверил.
А вот параграф 102 явное недоразумение. Вам уже это объясняли 100 раз.

[schekn]

Меня все таки больше в данной теме интересует не идеологический спор, а решение, которое я получил в рамках
исключительно пар. 103 ЛЛ-2.